Frullani integrální - Frullani integral

v matematika, Frullaniho integrály jsou specifickým typem nesprávný integrál pojmenoval podle italského matematika Giuliano Frullani. Integrály mají tvar

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {f (sekera) -f (bx)} {x}} , { rm {d}} x}$

kde ${ displaystyle f}$ je funkce definované pro všechny nezáporné reálná čísla který má omezit na ${ displaystyle infty}$, které označujeme ${ displaystyle f ( infty)}$.

Následující vzorec pro jejich obecné řešení platí za určitých podmínek:^{[je zapotřebí objasnění ]}

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {f (sekera) -f (bx)} {x}} , { rm {d}} x = { Big (} f ( infty) -f (0) { Big)} ln { frac {a} {b}}.}$

Důkaz

Jednoduchý důkaz vzorce lze dosáhnout rozšířením integrand do integrálu a poté pomocí Fubiniho věta vyměnit dva integrály:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ { infty} { frac {f (ax) -f (bx)} {x}} , dx & = int _ {0} ^ { infty} left [{ frac {f (xt)} {x}} right] _ {t = b} ^ {t = a} , dx & = int _ {0} ^ { infty} int _ {b} ^ {a} f '(xt) , dt , dx & = int _ {b} ^ {a} int _ {0} ^ { infty} f' (xt) , dx , dt & = int _ {b} ^ {a} left [{ frac {f (xt)} {t}} right] _ {x = 0} ^ { x to infty} , dt & = int _ {b} ^ {a} { frac {f ( infty) -f (0)} {t}} , dt & = { Big (} f ( infty) -f (0) { Big)} { Big (} ln (a) - ln (b) { Big)} & = { Big (} f ( infty) -f (0) { Big)} ln { Big (} { frac {a} {b}} { Big)} end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že integrál ve druhém řádku výše byl převzat z interval ${ displaystyle [b, a]}$, ne ${ displaystyle [a, b]}$.

Aplikace

Vzorec lze použít k odvození integrální reprezentace pro přirozený logaritmus ${ displaystyle ln (x)}$ necháním ${ displaystyle f (x) = e ^ {- x}}$ a ${ displaystyle a = 1}$:

${ displaystyle { int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- x} -e ^ {- bx}} {x}} , { rm {d}} x = { Velký (} lim _ {n to infty} { frac {1} {e ^ {n}}} - e ^ {0} { Big)} ln { Big (} { frac {1 } {b}}} { Big)} = ln (b)}$

Vzorec lze také zobecnit několika různými způsoby.^[1]

Reference

• G. Boros, V. Moll, Irresistible Integrals (2004), s. 98
• Juan Arias-de-Reyna, K Frullaniho větě (PDF; 884 kB), Proc. A.M.S. 109 (1990), 165-175.
• ProofWiki, důkaz Frullaniho integrálu.