Vektorový prostor - Vector space - Wikipedia

A vektorový prostor (také nazývaný a lineární prostor) je kolekce nazývaných objektů vektory, což může být přidané společně a znásobeno ("zmenšen") podle čísel, tzv skaláry. Skaláry jsou často považovány za reálná čísla, ale existují také vektorové prostory se skalárním násobením komplexní čísla, racionální čísla, nebo obecně jakékoli pole. Operace sčítání vektorů a skalární násobení musí splňovat určité požadavky, které se nazývají vektor axiomy (uvedeno níže v § Definice ). Chcete-li určit, že skaláry jsou reálná nebo komplexní čísla, jsou to termíny skutečný vektorový prostor a složitý vektorový prostor jsou často používány.

Určité sady Euklidovské vektory jsou běžnými příklady vektorového prostoru. Oni reprezentují fyzický množství jako síly, kde lze přidat libovolné dvě síly (stejného typu), čímž se získá třetí, a násobení a vektor síly skutečným multiplikátorem je další vektor síly. Ve stejném duchu (ale ve více geometrický sense), vektory představující posuny v rovině nebo trojrozměrný prostor také tvoří vektorové prostory. Vektory ve vektorových prostorech nemusí být nutně objekty podobné šipkám, jak se objevují ve zmíněných příkladech: vektory jsou považovány za abstraktní matematické objekty s konkrétními vlastnostmi, které lze v některých případech zobrazit jako šipky.

Vektorové prostory jsou předmětem lineární algebra a jsou dobře charakterizovány jejich dimenze, který zhruba řečeno určuje počet nezávislých směrů v prostoru. Nekonečno-dimenzionální vektorové prostory vznikají přirozeně matematická analýza tak jako funkční prostory, jehož vektory jsou funkce. Tyto vektorové prostory jsou obecně vybaveny nějakou další strukturou, například a topologie, což umožňuje zohlednění otázek blízkosti a kontinuita. Mezi těmito topologiemi jsou ty, které jsou definovány a norma nebo vnitřní produkt jsou běžněji používány (jsou vybaveny pojmem vzdálenost mezi dvěma vektory). To je zejména případ Banachovy prostory a Hilbertovy prostory, které jsou v matematické analýze zásadní.

Historicky lze první myšlenky vedoucí k vektorovým prostorům vysledovat až do 17. století analytická geometrie, matice, systémy lineární rovnice a euklidovské vektory. Moderní, abstraktnější zacházení, poprvé formulované autorem Giuseppe Peano v roce 1888 zahrnuje obecnější objekty než Euklidovský prostor, ale hodně z teorie může být viděno jako rozšíření klasických geometrických myšlenek jako řádky, letadla a jejich vysoce dimenzionální analogy.

Dnes jsou vektorové prostory použity v celém rozsahu matematika, Věda a inženýrství. Jsou vhodnou lineárně-algebraickou představou, se kterou se musíme vypořádat soustavy lineárních rovnic. Nabízejí rámec pro Fourierova expanze, který je zaměstnán v komprese obrazu rutiny a poskytují prostředí, které lze použít pro techniky řešení pro parciální diferenciální rovnice. Kromě toho vektorové prostory poskytují abstrakt, bez souřadnic způsob nakládání s geometrickými a fyzickými objekty, jako je tenzory. To zase umožňuje zkoumání místních vlastností rozdělovače linearizačními technikami. Vektorové prostory lze zobecnit několika způsoby, což vede k pokročilejším pojmům v geometrii a abstraktní algebra.

Algebraické struktury
Skupina -jako Skupina Poloskupina  / Monoidní Regál a hádka Kvazigroup a smyčka Abelian skupina Magma Lež skupina Skupinová teorie
Prsten -jako Prsten Semiring Blízký prsten Komutativní prsten Integrovaná doména Pole Divizní prsten Prstenová teorie
Mříž -jako Mříž Semilattice Doplněná mříž Celková objednávka Heyting algebra Booleova algebra Mapa svazů Teorie mřížky
Modul -jako Modul Skupina s operátory Vektorový prostor Lineární algebra
Algebra -jako Algebra Asociativní Neasociativní Složení algebra Lež algebra Odstupňované Bialgebra

Úvod a definice

Koncept vektorového prostoru bude nejprve vysvětlen popisem dvou konkrétních příkladů:

První příklad: šipky v rovině

První příklad vektorového prostoru se skládá z šipky v pevném letadlo, počínaje jedním pevným bodem. Toto se používá ve fyzice k popisu síly nebo rychlosti. Vzhledem ke dvěma takovým šípům proti a w, rovnoběžník rozložený těmito dvěma šipkami obsahuje také jednu diagonální šipku, která začíná také na počátku. Tato nová šipka se nazývá součet dvou šipek a je označen proti + w.^[1] Ve zvláštním případě dvou šipek na stejné linii je jejich součtem šipka na této linii, jejíž délka je součtem nebo rozdílem délek, podle toho, zda mají šipky stejný směr. Další operací, kterou lze provést pomocí šipek, je změna měřítka: zadáno jakékoli kladné reálné číslo A, šipka, která má stejný směr jako proti, ale je rozšířen nebo zmenšen vynásobením jeho délky o A, je nazýván násobení z proti podle A. Je označen Aproti. Když A je negativní, Aproti je definována jako šipka namířená opačným směrem.

Následuje ukázka několika příkladů: if A = 2, výsledný vektor Aw má stejný směr jako w, ale je natažen na dvojnásobnou délku w (pravý obrázek níže). Ekvivalentně 2w je součet w + w. Navíc, (−1)proti = −proti má opačný směr a stejnou délku jako proti (modrý obrázek směřující dolů na pravém obrázku).

Druhý příklad: seřazené dvojice čísel

Druhý klíčový příklad vektorového prostoru poskytují dvojice reálných čísel X a y. (Pořadí komponent X a y je významné, proto se takové dvojici říká také objednaný pár.) Takový pár se píše jako (X, y). Součet dvou takových párů a násobení dvojice s číslem je definován takto:

${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) + (x_ {2}, y_ {2}) = (x_ {1} + x_ {2}, y_ {1} + y_ {2})}$

a

${ displaystyle a (x, y) = (sekera, ay)}$ .

První příklad výše se redukuje na tento, pokud jsou šipky reprezentovány dvojicí Kartézské souřadnice jejich koncových bodů.

Definice

V tomto článku jsou vektory znázorněny tučně, aby se odlišily od skalárů.^{[poznámka 1]}

Vektorový prostor nad a pole F je soubor  PROTI společně se dvěma operacemi, které splňují osm níže uvedených axiomů. V následujícím, PROTI × PROTI označuje kartézský součin z PROTI sám se sebou a → označuje a mapování z jedné sady do druhé.

• První operace, tzv vektorové přidání nebo jednoduše přidání + : PROTI × PROTI → PROTI, bere libovolné dva vektoryproti a w a přiřadí jim třetí vektor, který se běžně píše jako proti + wa nazval součet těchto dvou vektorů. (Výsledný vektor je také prvkem množiny PROTI.)
• Druhá operace, tzv skalární násobení · : F × PROTI → PROTI， Vezme jakýkoli skalárníA a jakýkoli vektorproti a dává další vektorAproti. (Podobně vektor Aproti je prvek sady PROTI. Skalární násobení nelze zaměňovat s skalární součin, také zvaný vnitřní produkt nebo Tečkovaný produkt, což je další struktura přítomná v některých konkrétních, ale ne ve všech vektorových prostorech. Skalární násobení je násobení vektoru podle skalární; druhým je znásobení dvou vektorů produkující skalární.)

Prvky PROTI se běžně nazývají vektory. PrvkyF se běžně nazývají skaláry. Mezi běžné symboly pro označení vektorových prostorů patří ${ displaystyle U}$, ${ displaystyle V}$ a ${ displaystyle W}$.^[1]

Ve dvou výše uvedených příkladech je toto pole polem reálných čísel a sada vektorů se skládá z rovinných šipek s pevným počátečním bodem a dvojic reálných čísel.

Chcete-li se kvalifikovat jako vektorový prostor, sadaPROTI a operace sčítání a násobení musí splňovat řadu volaných požadavků axiomy.^[2] Ty jsou uvedeny v tabulce níže, kde u, proti a w označuje libovolné vektory v PROTI, a A a b označit skaláry v F.^[3][4]

Axiom	Význam
Asociativita sčítání	u + (proti + w) = (u + proti) + w
Komutativita sčítání	u + proti = proti + u
Prvek identity sčítání	Existuje prvek 0 ∈ PROTI, volal nulový vektor, takový, že proti + 0 = proti pro všechny proti ∈ PROTI.
Inverzní prvky sčítání	Pro každého proti ∈ PROTI, existuje prvek −proti ∈ PROTI, volal aditivní inverzní z proti, takový, že proti + (−proti) = 0.
Kompatibilita skalárního násobení s násobením pole	A(bproti) = (ab)proti [pozn. 2]
Prvek identity skalárního násobení	1proti = proti, kde 1 označuje multiplikativní identita v F.
Distribuce skalárního násobení s ohledem na sčítání vektorů	A(u + proti) = Au + Aproti
Distribučnost skalárního násobení s ohledem na sčítání pole	(A + b)proti = Aproti + bproti

Tyto axiomy zobecňují vlastnosti vektorů zavedených ve výše uvedených příkladech. Výsledek přidání dvou uspořádaných párů (jako v druhém příkladu výše) ve skutečnosti nezávisí na pořadí sčítanců:

(X_proti, y_proti) + (X_w, y_w) = (X_w, y_w) + (X_proti, y_proti).

Podobně v geometrickém příkladu vektorů jako šipky, proti + w = w + proti protože rovnoběžník definující součet vektorů je nezávislý na pořadí vektorů. Všechny ostatní axiomy lze v obou příkladech ověřit podobným způsobem. Tedy bez ohledu na konkrétní povahu konkrétního typu vektorů definice zahrnuje tyto dva a mnoho dalších příkladů do jednoho pojmu vektorového prostoru.

Odečtení dvou vektorů a dělení (nenulovým) skalárem lze definovat jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {v} - mathbf {w} & = mathbf {v} + (- mathbf {w}) { frac { mathbf {v}} {a }} & = { frac {1} {a}} mathbf {v} end {zarovnáno}}}$.

Když skalární pole F je reálná čísla R, vektorový prostor se nazývá a skutečný vektorový prostor. Když je skalární pole komplexní čísla C, vektorový prostor se nazývá a složitý vektorový prostor. Tyto dva případy se nejčastěji používají ve strojírenství. Obecná definice vektorového prostoru umožňuje skalárům být prvky libovolného fixního pole F. Pojem je pak známý jako F-vektorový prostor nebo a vektorový prostor nad F. Pole je v podstatě sada čísel, která vlastní přidání, odčítání, násobení a divize operace.^{[pozn. 3]} Například, racionální čísla tvoří pole.

Na rozdíl od intuice vyplývající z vektorů v rovině a případů vyšších dimenzí obecně v vektorových prostorech neexistuje pojem blízkost, úhly nebo vzdálenosti. Pro řešení těchto záležitostí jsou představeny konkrétní typy vektorových prostorů; vidět § Vektorové prostory s další strukturou níže pro více.

Alternativní formulace a základní důsledky

Sčítání vektorů a skalární násobení jsou operace, které splňují uzavření vlastnictví: u + proti a Aproti jsou v PROTI pro všechny A v F, a u, proti v PROTI. Některé starší zdroje zmiňují tyto vlastnosti jako samostatné axiomy.^[5]

V řeči abstraktní algebra, první čtyři axiomy jsou ekvivalentní požadavku, aby sada vektorů byla abelianská skupina pod přidáním. Zbývající axiomy dávají této skupině F-modul struktura. Jinými slovy, existuje kruhový homomorfismus F z pole F do endomorfismus prsten skupiny vektorů. Pak skalární násobení Aproti je definován jako (F(A))(proti).^[6]

Existuje řada přímých důsledků axiomů vektorového prostoru. Některé z nich pocházejí teorie základních grup, aplikováno na aditivní skupinu vektorů: například nulový vektor 0 z PROTI a aditivní inverzní −proti libovolného vektoru proti jsou jedinečné. Další vlastnosti následují použitím například také distributivního zákona pro skalární násobení Aproti rovná se 0 kdyby a jen kdyby A rovná se 0 nebo proti rovná se 0.

Dějiny

Vektorové prostory pocházejí z afinní geometrie prostřednictvím zavedení souřadnice v rovině nebo trojrozměrném prostoru. Kolem roku 1636 francouzští matematici René Descartes a Pierre de Fermat Založený analytická geometrie identifikací řešení rovnice dvou proměnných s body v rovině křivka.^[7] Chcete-li dosáhnout geometrických řešení bez použití souřadnic, Bolzano zavedl v roce 1804 určité operace s body, přímkami a rovinami, které jsou předchůdci vektorů.^[8] Tato práce byla využita při koncepci barycentrické souřadnice podle Möbius v roce 1827.^[9] Základ definice vektorů byl Bellavitida „pojem bipointu, orientovaného segmentu, jehož jeden konec je počátek a druhý cíl. Vektory byly přehodnoceny s uvedením komplexní čísla podle Argand a Hamilton a vznik čtveřice tím druhým.^[10] Jsou to prvky v R² a R⁴; zacházet s nimi pomocí lineární kombinace jde zpět do Laguerre v roce 1867, který také definoval soustavy lineárních rovnic.

V roce 1857 Cayley představil maticová notace což umožňuje harmonizaci a zjednodušení lineární mapy. Přibližně ve stejnou dobu Grassmann studoval barycentrický počet iniciovaný Möbiem. Předpokládal sady abstraktních předmětů vybavených operacemi.^[11] Ve své práci pojmy lineární nezávislost a dimenze, stejně jako skalární produkty jsou přítomny. Grassmannovo dílo z roku 1844 ve skutečnosti překračuje rámec vektorových prostorů, protože i jeho uvažování o násobení ho přivedlo k tomu, čemu se dnes říká algebry. Italský matematik Peano jako první poskytl moderní definici vektorových prostorů a lineárních map v roce 1888.^[12]

Důležitý vývoj vektorových prostorů je způsoben konstrukcí funkční prostory podle Henri Lebesgue. Toto bylo později formalizováno Banach a Hilbert kolem roku 1920.^[13] Toho času, algebra a nové pole funkční analýza začal komunikovat, zejména s klíčovými pojmy jako např prostory str-integrovatelné funkce a Hilbertovy prostory.^[14] Také v této době byly provedeny první studie týkající se nekonečně-dimenzionálních vektorových prostorů.

Příklady

Prostor souřadnic

Nejjednodušší příklad vektorového prostoru nad polem F je pole samotné, vybavené standardním sčítáním a množením. Obecněji vše n- n-tice (sekvence délky n)

(A₁, A₂, ..., A_n)

prvků F tvoří vektorový prostor, který je obvykle označován Fⁿ a zavolal a souřadnicový prostor.^[15] Pouzdro n = 1 je výše zmíněný nejjednodušší příklad, ve kterém je pole F je také považován za vektorový prostor nad sebou. Pouzdro F = R a n = 2 bylo diskutováno v úvodu výše.

Složitá čísla a další rozšíření pole

Sada komplexní čísla C, tj. čísla, která lze zapsat do formuláře X + iy pro reálná čísla X a y kde i je imaginární jednotka, tvoří vektorový prostor nad reálemi s obvyklým sčítáním a násobením: (X + iy) + (A + ib) = (X + A) + i(y + b) a C ⋅ (X + iy) = (C ⋅ X) + i(C ⋅ y) pro reálná čísla X, y, A, b a C. Různé axiomy vektorového prostoru vyplývají ze skutečnosti, že pro aritmetiku komplexního čísla platí stejná pravidla.

Ve skutečnosti je příklad komplexních čísel v podstatě stejný (to je izomorfní) do vektorového prostoru uspořádaných párů reálných čísel uvedených výše: když uvažujeme o komplexním čísle X + i y jako představující objednaný pár (X, y) v složité letadlo pak vidíme, že pravidla pro sčítání a skalární násobení přesně odpovídají pravidlům v předchozím příkladu.

Obecněji, rozšíření pole poskytnout další třídu příkladů vektorových prostorů, zejména v algebře a algebraická teorie čísel: pole F obsahující a menší pole E je E-vektorový prostor, danými operacemi násobení a sčítání F.^[16] Například komplexní čísla jsou vektorovým prostorem Ra rozšíření pole ${ displaystyle mathbf {Q} (i { sqrt {5}})}$ je vektorový prostor Q.

Funkční prostory

Funkce z jakékoli pevné sady Ω na pole F také tvoří vektorové prostory tím, že provádí sčítání a skalární násobení bodově. To znamená součet dvou funkcí F a G je funkce (F + G) dána

(F + G)(w) = F(w) + G(w),

a podobně pro množení. Takové funkční prostory se vyskytují v mnoha geometrických situacích, když Ω je skutečná linie nebo interval, nebo jiný podmnožiny z R. Mnoho pojmů v topologii a analýze, jako např kontinuita, integrovatelnost nebo rozlišitelnost jsou dobře chovaní s ohledem na linearitu: součty a skalární násobky funkcí, které mají takovou vlastnost, tuto vlastnost stále mají.^[17] Sada takových funkcí jsou proto vektorové prostory. Jsou studovány podrobněji metodami funkční analýza viz níže.^{[je zapotřebí objasnění ]} Algebraická omezení také poskytují vektorové prostory: vektorový prostor F[X] darováno polynomiální funkce:

F(X) = r₀ + r₁X + ... + r_n−1Xⁿ⁻¹ + r_nXⁿ, Kde koeficienty r₀, ..., r_n jsou v F.^[18]

Lineární rovnice

Systémy homogenní lineární rovnice jsou úzce svázány s vektorovými prostory.^[19] Například řešení

A	+	3b	+	C	= 0
4A	+	2b	+	2C	= 0

jsou dány trojicemi s libovolnými A, b = A/2, a C = −5A/2. Tvoří vektorový prostor: součty a skalární násobky těchto trojic stále uspokojují stejné poměry tří proměnných; jsou tedy také řešením. Matice lze použít ke kondenzaci více lineárních rovnic, jak je uvedeno výše, do jedné vektorové rovnice, a to

AX = 0,

kde A = ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 4 & 2 & 2 end {bmatrix}}}$ je matice obsahující koeficienty daných rovnic, X je vektor (A, b, C), AX označuje maticový produkt, a 0 = (0, 0) je nulový vektor. V podobném duchu, řešení homogenní lineární diferenciální rovnice tvoří vektorové prostory. Například,

F′′(X) + 2F′(X) + F(X) = 0

výnosy F(X) = a e^−X + bx e^−X, kde A a b jsou libovolné konstanty a E^X je přirozená exponenciální funkce.

Základ a rozměr

Základny dovolte jednomu reprezentovat vektory pomocí a sekvence skalárů souřadnice nebo komponenty. Základem je (konečná nebo nekonečná) množina B = {b_i}_{i ∈ Já} vektorů b_i, pro pohodlí často indexovány některými sada indexů Já, který pokrývá celý prostor a je lineárně nezávislé. „Rozpětí celého prostoru“ znamená jakýkoli vektor proti lze vyjádřit jako konečný součet (nazývaný a lineární kombinace ) základních prvků:

${ displaystyle mathbf {v} = a_ {1} mathbf {b} _ {i_ {1}} + a_ {2} mathbf {b} _ {i_ {2}} + cdots + a_ {n} mathbf {b} _ {i_ {n}},}$

(1)

Kde A_k jsou skaláry, které se nazývají souřadnice (nebo komponenty) vektoru proti s ohledem na základ B, a b_ik (k = 1, ..., n) prvky B. Lineární nezávislost znamená, že souřadnice A_k jsou jednoznačně určeny pro libovolný vektor ve vektorovém prostoru.

Například vektory souřadnic E₁ = (1, 0, ..., 0), E₂ = (0, 1, 0, ..., 0), do E_n = (0, 0, ..., 0, 1), tvoří základ Fⁿ, volal standardní základ, protože jakýkoli vektor (X₁, X₂, ..., X_n) lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci těchto vektorů:

(X₁, X₂, ..., X_n) = X₁(1, 0, ..., 0) + X₂(0, 1, 0, ..., 0) + ... + X_n(0, ..., 0, 1) = X₁E₁ + X₂E₂ + ... + X_nE_n.

Odpovídající souřadnice X₁, X₂, ..., X_n jsou jen Kartézské souřadnice vektoru.

Každý vektorový prostor má základ. To vyplývá z Zornovo lemma, ekvivalentní formulace Axiom výběru.^[20] Vzhledem k dalším axiomům Teorie množin Zermelo – Fraenkel, existence bází je ekvivalentní s axiomem volby.^[21] The ultrafiltrační lemma, který je slabší než axiom výběru, znamená, že všechny báze daného vektorového prostoru mají stejný počet prvků, nebo mohutnost (srov. Věta o dimenzi pro vektorové prostory ).^[22] Říká se tomu dimenze vektorového prostoru, označené dim PROTI. Pokud je prostor překlenut konečně mnoha vektory, lze výše uvedená tvrzení dokázat bez takového zásadního vstupu z teorie množin.^[23]

Rozměr souřadného prostoru Fⁿ je n, na základě výše uvedeného. Dimenze polynomiálního kruhu F[X] představen výše^{[je zapotřebí objasnění ]} je počítatelně nekonečný, základ je dán 1, X, X², ... Tím spíše, rozměr obecnějších funkčních prostorů, jako je prostor funkcí v nějakém (ohraničeném nebo neohraničeném) intervalu, je nekonečný.^{[pozn. 4]} Za vhodných předpokladů pravidelnosti na příslušných koeficientech je dimenze prostoru řešení homogenní obyčejná diferenciální rovnice se rovná stupni rovnice.^[24] Například prostor řešení pro nad rovnicí^{[je zapotřebí objasnění ]} generuje E^−X a xe^−X. Tyto dvě funkce jsou lineárně nezávislé R, takže rozměr tohoto prostoru je dva, stejně jako stupeň rovnice.

Rozšíření pole nad racionální Q lze považovat za vektorový prostor Q (definováním sčítání vektoru jako sčítání pole, definováním skalárního násobení jako násobení pole prvky prvku Qa jinak ignorujete násobení pole). Dimenze (nebo stupeň ) rozšíření pole Q(α) přes Q záleží na α. Li α splňuje nějakou polynomickou rovnici

s racionálními koeficienty q_n, ..., q₀ (jinými slovy, pokud α je algebraický ), rozměr je konečný. Přesněji se to rovná stupni minimální polynom mít α jako a vykořenit.^[25] Například komplexní čísla C jsou dvourozměrný skutečný vektorový prostor, generovaný 1 a imaginární jednotka i. Ten druhý uspokojuje i² + 1 = 0, rovnice druhého stupně. Tím pádem, C je dvojrozměrný R-vektorový prostor (a jako každé pole jednorozměrný jako vektorový prostor nad sebou, C). Pokud α není algebraické, pak rozměr Q(α) přes Q je nekonečný. Například pro α = π taková rovnice neexistuje, jinými slovy π ano transcendentální.^[26]

Lineární mapy a matice

Vztah dvou vektorových prostorů lze vyjádřit pomocí lineární mapa nebo lineární transformace. Oni jsou funkce které odrážejí strukturu vektorového prostoru, tj. zachovávají součty a skalární násobení:

${ displaystyle f ( mathbf {v} + mathbf {w}) = f ( mathbf {v}) + f ( mathbf {w})}$ a F(A · proti) ${ displaystyle =}$ A · F(proti) pro všechny proti a w v PROTI, Všechno A v F.^[27]

An izomorfismus je lineární mapa F : PROTI → Ž takové, že existuje inverzní mapa G : Ž → PROTI, což je mapa taková, že dva možné složení F ∘ G : Ž → Ž a G ∘ F : PROTI → PROTI jsou mapy totožnosti. Ekvivalentně F je jeden k jednomu (injekční ) a na (surjektivní ).^[28] Pokud existuje izomorfismus mezi PROTI a Ž, se říká, že tyto dva mezery jsou izomorfní; pak jsou v podstatě identické jako vektorové prostory, protože všechny identity drží PROTI jsou prostřednictvím F, přepraveno k podobným v Ža naopak prostřednictvím G.

Například vektorové šípy „šipky v rovině“ a „seřazené dvojice čísel“ jsou v úvodu izomorfní: rovinná šipka proti odlétající u původ některých (opraveno) souřadnicový systém lze vyjádřit jako objednaný pár s ohledem na X- a y- složka šipky, jak je znázorněno na obrázku vpravo. Naopak, vzhledem k dvojici (X, y)šipka míjí X doprava (nebo vlevo, pokud X je záporný), a y nahoru (dolů, pokud y je záporný) otočí šipku zpět proti.

Lineární mapy PROTI → Ž mezi dvěma vektorovými prostory tvoří vektorový prostor Hom_F(PROTI, Ž), také označeno L (PROTI, Ž).^[29] Prostor lineárních map z PROTI na F se nazývá duální vektorový prostor, označeno PROTI^∗.^[30] Přes injekčního přírodní mapa PROTI → PROTI^∗∗, lze do něj vložit jakýkoli vektorový prostor dvojitý; mapa je izomorfismus právě tehdy, když je prostor konečně-dimenzionální.^[31]

Jednou základem PROTI je vybráno, lineární mapy F : PROTI → Ž jsou zcela určeny určením obrazů základních vektorů, protože jakýkoli prvek PROTI je vyjádřen jednoznačně jako jejich lineární kombinace.^[32] Li ztlumit PROTI = dim Ž, a Korespondence 1: 1 mezi pevnými základnami PROTI a Ž dává vzniknout lineární mapě, která mapuje jakýkoli základní prvek PROTI na odpovídající základní prvek Ž. Je to izomorfismus, ze své samotné definice.^[33] Proto jsou dva vektorové prostory izomorfní, pokud se jejich rozměry shodují a naopak. Jiným způsobem, jak to vyjádřit, je to, že existuje jakýkoli vektorový prostor úplně utajeno (až do izomorfismus) svou dimenzí, jediným číslem. Zejména jakékoli n-dimenzionální F-vektorový prostor PROTI je izomorfní s Fⁿ. Neexistuje však žádný „kanonický“ nebo preferovaný izomorfismus; ve skutečnosti izomorfismus φ : Fⁿ → PROTI odpovídá výběru základu PROTImapováním standardní základny Fⁿ na PROTI, přes φ. Svoboda výběru vhodného základu je zvláště užitečná v nekonečně dimenzionálním kontextu; vidět níže.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Matice

Matice jsou užitečným pojmem pro kódování lineárních map.^[34] Jsou psány jako obdélníkové pole skalárů jako na obrázku vpravo. Žádný m-podle-n matice A dává vzniknout lineární mapě z Fⁿ na F^m, následujícím

${ displaystyle mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) mapsto left ( sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {1j} x_ {j}, sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {2j} x_ {j}, ldots, sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {mj} x_ {j} doprava )}$, kde ${ displaystyle sum}$ označuje součet,

nebo pomocí násobení matic matice A s vektorem souřadnic X:

X ↦ AX.

Navíc po výběru základů PROTI a Ž, žádný lineární mapa F : PROTI → Ž je jedinečně reprezentován maticí prostřednictvím tohoto přiřazení.^[35]

The určující det (A) a čtvercová matice A je skalár, který říká, zda je asociovaná mapa izomorfismem či nikoli: je tedy dostačující a nutné, aby determinant byl nenulový.^[36] Lineární transformace Rⁿ odpovídá reálnému n-podle-n matice je zachování orientace právě když je jeho determinant pozitivní.

Vlastní čísla a vlastní vektory

Endomorfismy, lineární mapy F : PROTI → PROTI, jsou zvláště důležité, protože v tomto případě vektory proti lze porovnat s jejich obrázkem pod F, F(proti). Libovolný nenulový vektor proti uspokojující λproti = F(proti), kde λ je skalární, nazývá se vlastní vektor z F s vlastní číslo λ.^{[pozn. 5][37]} Ekvivalentně proti je prvkem jádro rozdílu F − λ · Id (kde Id je mapa identity PROTI → PROTI). Li PROTI je konečně-dimenzionální, lze to přeformulovat pomocí determinantů: F s vlastním číslem λ je ekvivalentní k

det (F − λ · Id) = 0.

Vyslovením definice determinantu lze výraz na levé straně považovat za polynomickou funkci v λ, volal charakteristický polynom z F.^[38] Pokud pole F je dostatečně velký na to, aby obsahoval nulu tohoto polynomu (což se automaticky stane pro F algebraicky uzavřeno, jako F = C) jakákoli lineární mapa má alespoň jeden vlastní vektor. Vektorový prostor PROTI může nebo nemusí vlastnit vlastní základna, základ tvořený vlastními vektory. Tento jev je řízen Jordan kanonická forma mapy.^{[39][pozn. 6]} Sada všech vlastních vektorů odpovídající konkrétní vlastní hodnotě F tvoří vektorový prostor známý jako vlastní prostor odpovídající vlastní hodnotě (a F) v otázce. K dosažení spektrální věta, odpovídající výrok v případě nekonečně dimenzionálního, je zapotřebí aparát funkční analýzy, viz níže.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Základní konstrukce

Kromě výše uvedených konkrétních příkladů existuje řada standardních lineárních algebraických konstrukcí, které poskytují vektorové prostory související s danými. Kromě níže uvedených definic se také vyznačují univerzální vlastnosti, které určují objekt X zadáním lineárních map z X do jiného vektorového prostoru.

Meziprostory a mezery kvocientů

Neprázdné podmnožina Ž vektorového prostoru PROTI který je uzavřen při sčítání a skalárním násobení (a proto obsahuje 0-vektor PROTI) se nazývá a lineární podprostor z PROTI, nebo jednoduše a podprostor z PROTI, když okolní prostor je jednoznačně vektorový prostor.^{[40][pozn. 7]} Podprostory PROTI jsou vektorové prostory (přes stejné pole) samy o sobě. Průsečík všech podprostorů obsahujících danou množinu S vektorů se nazývá jeho rozpětí a je to nejmenší podprostor PROTI obsahující sadu S. Vyjádřeno v pojmech prvků, rozpětí je podprostor skládající se ze všech lineární kombinace prvků S.^[41]

Lineární podprostor dimenze 1 je a vektorové čáry. Lineární podprostor dimenze 2 je a vektorové letadlo. Lineární podprostor, který obsahuje všechny prvky kromě jednoho ze základů okolního prostoru, je a vektorové nadrovina. Ve vektorovém prostoru konečné dimenze n, vektorová nadrovina je tedy podprostorem dimenze n – 1.

Protějšek podprostorů je kvocientové vektorové prostory.^[42] Vzhledem k jakémukoli podprostoru Ž ⊂ PROTI, kvocientový prostor PROTI/Ž ("PROTI modulo Ž") je definován následovně: jako sada se skládá z proti + Ž = {proti + w : w ∈ Ž}, kde proti je libovolný vektor v PROTI. Součet dvou takových prvků proti₁ + Ž a proti₂ + Ž je (proti₁ + proti₂) + Ž, a skalární násobení je dáno vztahem A · (proti + Ž) = (A · proti) + Ž. Klíčovým bodem v této definici je to proti₁ + Ž = proti₂ + Ž kdyby a jen kdyby rozdíl proti₁ a proti₂ leží v Ž.^{[pozn. 8]} Tímto způsobem kvocientový prostor „zapomene“ informace obsažené v podprostoru Ž.

The jádro ker (F) lineární mapy F : PROTI → Ž sestává z vektorů proti které jsou mapovány na 0 v Ž.^[43] Jádro a obraz im (F) = {F(proti) : proti ∈ PROTI} jsou podprostory PROTI a Ž, resp.^[44] Existence jader a obrázků je součástí prohlášení, že kategorie vektorových prostorů (přes pevné pole F) je abelianská kategorie, tj. Korpus matematických objektů a mapy zachovávající strukturu mezi nimi (a kategorie ), který se chová podobně jako kategorie abelianských skupin.^[45] Z tohoto důvodu mnoho prohlášení, jako je první věta o izomorfismu (také zvaný věta o nulitě z hlediska matice)

PROTI / ker (F) ≡ im (F).

a teorém o druhém a třetím izomorfismu lze formulovat a dokázat způsobem velmi podobným odpovídajícím výrokům pro skupiny.

Důležitým příkladem je jádro lineární mapy X ↦ AX pro nějakou pevnou matici A, tak jako výše.^{[je zapotřebí objasnění ]} Jádro této mapy je podprostorem vektorů X takhle AX = 0, což je přesně sada řešení systému homogenních lineárních rovnic, které patří A. Tento koncept se vztahuje i na lineární diferenciální rovnice

${ displaystyle a_ {0} f + a_ {1} { frac {df} {dx}} + a_ {2} { frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} + cdots + a_ {n} { frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}} = 0}$kde jsou koeficienty A_i jsou funkce v X, také.

Na příslušné mapě

${ displaystyle f mapsto D (f) = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} { frac {d ^ {i} f} {dx ^ {i}}}}$,

the deriváty funkce F se objevují lineárně (na rozdíl od F′′(X)², například). Protože diferenciace je lineární postup (tj. (F + G)′ = F′ + G ′ a (C·F)′ = C·F′ pro konstantu C) toto přiřazení je lineární, nazývá se a operátor lineárního diferenciálu. Zejména řešení diferenciální rovnice D(F) = 0 tvoří vektorový prostor (přes R nebo C).

Přímý součin a přímý součet

The přímý produkt vektorových prostorů a přímý součet vektorových prostorů jsou dva způsoby, jak kombinovat indexovanou rodinu vektorových prostorů do nového vektorového prostoru.

The přímý produkt ${ displaystyle textstyle { prod _ {i in I} V_ {i}}}$ rodiny vektorových prostorů PROTI_i sestává ze sady všech n-tic (proti_i)_{i ∈ Já}, které specifikují pro každý index i v některých sada indexů Já prvek proti_i z PROTI_i.^[46] Sčítání a skalární násobení se provádí po částech. Varianta této konstrukce je přímý součet ${ displaystyle oplus _ {i v I} V_ {i}}$ (také zvaný koprodukt a označil ${ displaystyle textstyle { coprod _ {i in I} V_ {i}}}$), kde jsou povoleny pouze n-tice s konečně mnoha nenulovými vektory. Pokud je nastaven index Já je konečný, obě konstrukce se shodují, ale obecně se liší.

Tenzorový produkt

The tenzorový produkt PROTI ⊗_F Žnebo jednoduše PROTI ⊗ Ž, ze dvou vektorových prostorů PROTI a Ž je jedním z ústředních pojmů multilineární algebra která se zabývá rozšířením pojmů, jako jsou lineární mapy, na několik proměnných. Mapa G : PROTI × Ž → X je nazýván bilineární -li G je lineární v obou proměnných proti a w. To znamená, pro pevné w mapa proti ↦ G(proti, w) je lineární ve smyslu výše a obdobně pro fixní proti.

Produktem tensor je konkrétní vektorový prostor, který je a univerzální příjemce bilineárních map G, jak následuje. Je definován jako vektorový prostor skládající se z konečných (formálních) součtů volaných symbolů tenzory

proti₁ ⊗ w₁ + proti₂ ⊗ w₂ + ... + proti_n ⊗ w_n,

podléhá pravidlům

A · (proti ⊗ w) = (A · proti) ⊗ w = proti ⊗ (A · w), kde A je skalární,

(proti₁ + proti₂) ⊗ w = proti₁ ⊗ w + proti₂ ⊗ w, a

proti ⊗ (w₁ + w₂) = proti ⊗ w₁ + proti ⊗ w₂.^[47]

Tato pravidla zajišťují, že mapa F z PROTI × Ž na PROTI ⊗ Ž který mapuje a n-tice (proti, w) na proti ⊗ w je bilineární. Univerzálnost uvádí, že dané žádný vektorový prostor X a žádný bilineární mapa G : PROTI × Ž → X, existuje jedinečná mapa u, zobrazené na schématu s tečkovanou šipkou, jehož složení s F rovná se G: u(proti ⊗ w) = G(proti, w).^[48] Tomu se říká univerzální vlastnictví tenzorového produktu, instance metody - často používaná v pokročilé abstraktní algebře - k nepřímému definování objektů zadáním map z nebo do tohoto objektu.

Vektorové prostory s další strukturou

Z pohledu lineární algebry se vektorovým prostorům zcela rozumí, protože jakýkoli vektorový prostor je charakterizován až do izomorfismu svou dimenzí. Avšak vektorové prostory per se nenabízejí rámec pro řešení otázky - rozhodující pro analýzu - zda posloupnost funkcí konverguje do jiné funkce. Rovněž lineární algebra není přizpůsobena k řešení nekonečná řada, protože operace přidání umožňuje přidat pouze konečně mnoho výrazů. Proto potřeby funkční analýza vyžadují zvážení dalších struktur.

Může být dán vektorový prostor a částečná objednávka ≤, pod kterým lze některé vektory srovnávat.^[49] Například, n-dimenzionální skutečný prostor Rⁿ lze objednat porovnáním jeho vektorů po částech. Uspořádané vektorové prostory, například Rieszovy prostory, jsou zásadní pro Lebesgueova integrace, která se opírá o schopnost vyjádřit funkci jako rozdíl dvou pozitivních funkcí

F = F⁺ − F⁻,

kde F⁺ označuje kladnou část F a F⁻ negativní část.^[50]

Normované vektorové prostory a vnitřní produktové prostory

"Měření" vektorů se provádí zadáním a norma, vztažný bod, který měří délky vektorů, nebo pomocí vnitřní produkt, který měří úhly mezi vektory. Normy a vnitřní produkty jsou označeny ${ displaystyle | mathbf {v} |}$ a ${ displaystyle langle mathbf {v}, mathbf {w} rangle}$, resp. Datum vnitřního produktu znamená, že lze také definovat délky vektorů definováním příslušné normy ${ displaystyle | mathbf {v} |: = { sqrt { langle mathbf {v}, mathbf {v} rangle}}}$. Vektorové prostory vybavené takovými daty jsou známé jako normované vektorové prostory a vnitřní produktové prostory, resp.^[51]

Prostor souřadnic Fⁿ může být vybaven standardem Tečkovaný produkt:

${ displaystyle langle mathbf {x}, mathbf {y} rangle = mathbf {x} cdot mathbf {y} = x_ {1} y_ {1} + cdots + x_ {n} y_ { n}.}$

v R², to odráží společný pojem úhlu mezi dvěma vektory X a ytím, že zákon kosinů:

${ displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {y} = cos doleva ( úhel ( mathbf {x}, mathbf {y}) doprava) cdot | mathbf {x} | cdot | mathbf {y} |.}$

Z tohoto důvodu splňují dva vektory ${ displaystyle langle mathbf {x}, mathbf {y} rangle = 0}$ jsou nazývány ortogonální. Je použita důležitá varianta standardního produktu s tečkami Minkowského prostor: R⁴ obdařen produktem Lorentz

${ displaystyle langle mathbf {x} | mathbf {y} rangle = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} -x_ {4} y_ {4}.}$^[52]

Na rozdíl od standardního produktu s tečkami to tak není pozitivní určitý: ${ displaystyle langle mathbf {x} | mathbf {x} rangle}$ bere také záporné hodnoty, například pro ${ displaystyle mathbf {x} = (0,0,0,1)}$. Vyjmenování čtvrté souřadnice -odpovídající času, na rozdíl od tří prostorových dimenzí - je užitečný pro matematické zpracování speciální relativita.

Topologické vektorové prostory

Konvergenční otázky jsou zpracovány zvážením vektorových prostorů PROTI nesoucí kompatibilní topologie, struktura, která umožňuje hovořit o bytí prvků blízko sebe.^[53][54] Kompatibilní zde znamená, že sčítání a skalární násobení musí být průběžné mapy. Zhruba pokud X a y v PROTI, a A v F se liší o omezenou částku, tak se také dělejte X + y a AX.^{[pozn. 9]} Chcete-li dát smysl určit částku, kterou skalární změny, pole F v této souvislosti také musí nést topologii; běžnou volbou jsou reálné nebo komplexní čísla.

V takové topologické vektorové prostory lze uvažovat série vektorů. The nekonečný součet

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ { infty} f_ {i}}$

označuje omezit odpovídajících konečných dílčích součtů posloupnosti (F_i)_i∈N prvků PROTI. Například F_i mohou být (skutečné nebo složité) funkce patřící k některým funkční prostor PROTI, v takovém případě je série a funkční řady. The režim konvergence řady závisí na topologii uložené na funkční prostor. V takových případech, bodová konvergence a jednotná konvergence jsou dva prominentní příklady.

Způsob, jak zajistit existenci limitů určitých nekonečných řad, je omezit pozornost na mezery, pokud existují Cauchyova posloupnost má limit; takový vektorový prostor se nazývá kompletní. Zhruba je vektorový prostor kompletní za předpokladu, že obsahuje všechna nezbytná omezení. Například vektorový prostor polynomů na jednotkovém intervalu [0,1], vybavený znakem topologie jednotné konvergence není kompletní, protože jakoukoli spojitou funkci na [0,1] lze rovnoměrně aproximovat posloupností polynomů pomocí Weierstrassova věta o aproximaci.^[55] Naproti tomu prostor Všechno spojité funkce na [0,1] se stejnou topologií jsou kompletní.^[56] Norma vede k topologii definováním sekvence vektorů proti_n konverguje k proti kdyby a jen kdyby

${ displaystyle { text {lim}} _ {n rightarrow infty} | mathbf {v} _ {n} - mathbf {v} | = 0.}$

Banachovy a Hilbertovy prostory jsou úplné topologické vektorové prostory, jejichž topologie jsou dány normou a vnitřním součinem. Jejich studium - klíčový kus funkční analýza —Zaměřuje se na nekonečno-dimenzionální vektorové prostory, protože všechny normy o konečných-dimenzionálních topologických vektorových prostorech vedou ke stejnému pojetí konvergence.^[57] Obrázek vpravo ukazuje ekvivalenci 1-normy a ∞-normy na R²: protože jednotka „koule“ se navzájem obklopuje, posloupnost konverguje k nule v jedné normě tehdy a jen tehdy, pokud tomu tak je v druhé normě. V případě nekonečné dimenze však obecně existují nerovnoměrné topologie, díky nimž je studium topologických vektorových prostorů bohatší než studium vektorových prostorů bez dalších dat.

Z koncepčního hlediska by všechny pojmy související s topologickými vektorovými prostory měly odpovídat topologii. Například místo zvažování všech lineárních map (nazývaných také funkcionáři ) PROTI → Ž, mapy mezi topologickými vektorovými prostory musí být spojité.^[58] Zejména (topologický) duální prostor PROTI^∗ sestává ze spojitých funkcionálů PROTI → R (nebo do C). Základní Hahnova – Banachova věta se zabývá oddělením podprostorů vhodných topologických vektorových prostorů spojitými funkcionály.^[59]

Banachovy prostory

Banachovy prostory, představil Stefan Banach, jsou úplné normované vektorové prostory.^[60]

První příklad je vektorový prostor ${ displaystyle ell ^ {p}}$ skládající se z nekonečných vektorů se skutečnými vstupy ${ displaystyle mathbf {x} = vlevo (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}, ldots right)}$jehož ${ displaystyle p}$-norma ${ displaystyle (1 leq {p} leq infty)}$dána

${ displaystyle left Vert mathbf {x} right Vert _ {p}: = left ( sum _ {i} left vert x_ {i} right vert ^ {p} right) ^ { frac {1} {p}}}$ pro ${ displaystyle p < infty}$ a ${ displaystyle left Vert mathbf {x} right Vert _ { infty}: = { text {sup}} _ {i} left vert x_ {i} right vert}$.

Topologie v nekonečně dimenzionálním prostoru ${ displaystyle ell ^ {p}}$ jsou různé pro různé ${ displaystyle p}$. Například posloupnost vektorů ${ displaystyle mathbf {x} _ {n} = vlevo (2 ^ {- n}, 2 ^ {- n}, ldots, 2 ^ {- n}, 0,0, ldots right)}$, ve kterém první ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ komponenty jsou ${ displaystyle 2 ^ {- n}}$ a následující jsou ${ displaystyle 0}$, konverguje k nulový vektor pro ${ displaystyle p = infty}$, ale ne pro ${ displaystyle p = 1}$:

${ displaystyle left Vert mathbf {x} _ {n} right Vert _ {_ { infty}} = sup (2 ^ {- n}, 0) = 2 ^ {- n} rightarrow 0}$, ale ${ displaystyle left Vert mathbf {x} _ {n} right Vert _ {1} = součet _ {i = 1} ^ {2 ^ {n}} 2 ^ {- n} = 2 ^ {n} cdot 2 ^ {- n} = 1.}$

Obecněji než posloupnosti reálných čísel, funkce ${ displaystyle f colon Omega to mathbb {R}}$jsou obdařeni normou, která nahrazuje výše uvedený součet znakem Lebesgueův integrál

${ displaystyle left Vert {f} right Vert _ {p}: = left ( int _ { Omega} left vert {f} left (x right) right vert ^ { p} , {d mu left (x right)} right) ^ { frac {1} {p}}.}$

Prostor integrovatelné funkce na dané doména ${ displaystyle Omega}$ (například interval) uspokojující ${ displaystyle left Vert {f} right Vert _ {p} < infty}$, a vybavené touto normou se nazývají Lebesgueovy prostory, označeno ${ displaystyle L ^ {; ! p} vlevo ( Omega vpravo)}$.^{[pozn. 10]}

Tyto prostory jsou kompletní.^[61] (Pokud někdo používá Riemannův integrál místo toho je prostor ne úplné, což lze považovat za ospravedlnění Lebesgueovy integrační teorie.^{[pozn. 11]}) Konkrétně to znamená, že pro jakoukoli sekvenci Lebesgue integrovatelných funkcí ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, ldots, f_ {n}, ldots}$ s${ displaystyle left Vert {f} _ {n} right Vert _ {p} < infty}$, satisfying the condition

${displaystyle lim _{k, n o infty }int _{Omega }leftvert {f}_{k}(x)-{f}_{n}(x) ightvert ^{p},{dmu left(x ight)}=0}$

existuje funkce ${displaystyle {f}left(x ight)}$ belonging to the vector space ${displaystyle L^{;!p}left(Omega ight)}$ takhle

${displaystyle lim _{k o infty }int _{Omega }leftvert {f}left(x ight)-{f}_{k}left(x ight) ightvert ^{p},{dmu left(x ight)}=0.}$

Imposing boundedness conditions not only on the function, but also on its deriváty vede k Sobolevovy prostory.^[62]

Hilbertovy prostory

Complete inner product spaces are known as Hilbertovy prostory, na počest David Hilbert.^[63]The Hilbert space L²(Ω), with inner product given by

${displaystyle langle f , g angle =int _{Omega }f(x){overline {g(x)}},dx,}$

kde ${displaystyle {overline {g(x)}}}$ označuje komplexní konjugát z G(X),^{[64][pozn. 12]} is a key case.

By definition, in a Hilbert space any Cauchy sequence converges to a limit. Conversely, finding a sequence of functions F_n with desirable properties that approximates a given limit function, is equally crucial. Early analysis, in the guise of the Taylor approximation, established an approximation of diferencovatelné funkce F by polynomials.^[65] Podle Věta Stone-Weierstrass, every continuous function on [A, b] can be approximated as closely as desired by a polynomial.^[66] A similar approximation technique by trigonometrické funkce is commonly called Fourierova expanze, and is much applied in engineering, see níže.^{[je zapotřebí objasnění ]} More generally, and more conceptually, the theorem yields a simple description of what "basic functions", or, in abstract Hilbert spaces, what basic vectors suffice to generate a Hilbert space H, in the sense that the uzavření of their span (that is, finite linear combinations and limits of those) is the whole space. Such a set of functions is called a základ z H, its cardinality is known as the Hilbert space dimension.^{[pozn. 13]} Not only does the theorem exhibit suitable basis functions as sufficient for approximation purposes, but also together with the Gram – Schmidtův proces, it enables one to construct a basis of orthogonal vectors.^[67] Such orthogonal bases are the Hilbert space generalization of the coordinate axes in finite-dimensional Euklidovský prostor.

The solutions to various diferenciální rovnice can be interpreted in terms of Hilbert spaces. For example, a great many fields in physics and engineering lead to such equations and frequently solutions with particular physical properties are used as basis functions, often orthogonal.^[68] As an example from physics, the time-dependent Schrödingerova rovnice v kvantová mechanika describes the change of physical properties in time by means of a parciální diferenciální rovnice, whose solutions are called vlnové funkce.^[69] Definite values for physical properties such as energy, or momentum, correspond to vlastní čísla of a certain (linear) operátor diferenciálu and the associated wavefunctions are called vlastní státy. The spektrální věta decomposes a linear kompaktní operátor acting on functions in terms of these eigenfunctions and their eigenvalues.^[70]

Algebras over fields

General vector spaces do not possess a multiplication between vectors. A vector space equipped with an additional bilinear operator defining the multiplication of two vectors is an algebra nad polem.^[71] Many algebras stem from functions on some geometrical object: since functions with values in a given field can be multiplied pointwise, these entities form algebras. The Stone–Weierstrass theorem, for example, relies on Banachovy algebry which are both Banach spaces and algebras.

Komutativní algebra makes great use of rings of polynomials in one or several variables, introduced výše.^{[je zapotřebí objasnění ]} Their multiplication is both komutativní a asociativní. These rings and their kvocienty tvoří základ algebraická geometrie, protože oni jsou rings of functions of algebraic geometric objects.^[72]

Another crucial example are Lež algebry, which are neither commutative nor associative, but the failure to be so is limited by the constraints ([X, y] označuje produkt X a y):

• [X, y] = −[y, X] (anticommutativity ), a
• [X, [y, z]] + [y, [z, X]] + [z, [X, y]] = 0 (Jacobi identita ).^[73]

Examples include the vector space of n-podle-n matrices, with [X, y] = xy − yx, komutátor of two matrices, and R³, obdařen křížový produkt.

The tenzorová algebra T(PROTI) is a formal way of adding products to any vector space PROTI to obtain an algebra.^[74] As a vector space, it is spanned by symbols, called simple tenzory

proti₁ ⊗ proti₂ ⊗ ⋯ ⊗ proti_n, where the stupeň n liší se.

The multiplication is given by concatenating such symbols, imposing the distribuční právo under addition, and requiring that scalar multiplication commute with the tensor product ⊗, much the same way as with the tensor product of two vector spaces introduced výše.^{[je zapotřebí objasnění ]} In general, there are no relations between proti₁ ⊗ proti₂ a proti₂ ⊗ proti₁. Forcing two such elements to be equal leads to the symetrická algebra, whereas forcing proti₁ ⊗ proti₂ = − proti₂ ⊗ proti₁ výnosy vnější algebra.^[75]

When a field, F is explicitly stated, a common term used is F-algebra.

Aplikace

Vector spaces have many applications as they occur frequently in common circumstances, namely wherever functions with values in some field are involved. They provide a framework to deal with analytical and geometrical problems, or are used in the Fourier transform. This list is not exhaustive: many more applications exist, for example in optimalizace. The věta o minimaxu z herní teorie stating the existence of a unique payoff when all players play optimally can be formulated and proven using vector spaces methods.^[76] Teorie reprezentace fruitfully transfers the good understanding of linear algebra and vector spaces to other mathematical domains such as teorie skupin.^[77]

Distribuce

A rozdělení (nebo zobecněná funkce) is a linear map assigning a number to each "test" function, typicky a plynulá funkce s kompaktní podpora, in a continuous way: in the výše^{[je zapotřebí objasnění ]} terminology the space of distributions is the (continuous) dual of the test function space.^[78] The latter space is endowed with a topology that takes into account not only F itself, but also all its higher derivatives. A standard example is the result of integrating a test function F over some domain Ω:

${displaystyle I(f)=int _{Omega }f(x),dx.}$

Když Ω = {str}, the set consisting of a single point, this reduces to the Diracova distribuce, denoted by δ, which associates to a test function F its value at the str: δ(F) = F(str). Distributions are a powerful instrument to solve differential equations. Since all standard analytic notions such as derivatives are linear, they extend naturally to the space of distributions. Therefore, the equation in question can be transferred to a distribution space, which is bigger than the underlying function space, so that more flexible methods are available for solving the equation. Například, Greenovy funkce a zásadní řešení are usually distributions rather than proper functions, and can then be used to find solutions of the equation with prescribed boundary conditions. The found solution can then in some cases be proven to be actually a true function, and a solution to the original equation (for example, using the Lax–Milgram theorem, a consequence of the Rieszova věta o reprezentaci ).^[79]

Fourierova analýza

Resolving a periodická funkce do součtu trigonometrické funkce tvoří a Fourierova řada, a technique much used in physics and engineering.^{[pozn. 14][80]} The underlying vector space is usually the Hilbertův prostor L²(0, 2π), for which the functions sin mx and cos mx (m an integer) form an orthogonal basis.^[81] The Fourierova expanze z L² funkce F je

${displaystyle {frac {a_{0}}{2}}+sum _{m=1}^{infty }left[a_{m}cos left(mx ight)+b_{m}sin left(mx ight) ight].}$

Koeficienty A_m a b_m jsou nazývány Fourierovy koeficienty z F, and are calculated by the formulas^[82]

${displaystyle a_{m}={frac {1}{pi }}int _{0}^{2pi }f(t)cos(mt),dt}$, ${displaystyle b_{m}={frac {1}{pi }}int _{0}^{2pi }f(t)sin(mt),dt.}$

In physical terms the function is represented as a superpozice z sinusové vlny and the coefficients give information about the function's frekvenční spektrum.^[83] A complex-number form of Fourier series is also commonly used.^[82] The concrete formulae above are consequences of a more general mathematical duality volala Pontryaginova dualita.^[84] Aplikováno na skupina R, it yields the classical Fourier transform; an application in physics are reciprocal lattices, where the underlying group is a finite-dimensional real vector space endowed with the additional datum of a mříž encoding positions of atomy v krystaly.^[85]

Fourier series are used to solve problémy s hraniční hodnotou v parciální diferenciální rovnice.^[86] V roce 1822 Fourier first used this technique to solve the rovnice tepla.^[87] A discrete version of the Fourier series can be used in vzorkování applications where the function value is known only at a finite number of equally spaced points. In this case the Fourier series is finite and its value is equal to the sampled values at all points.^[88] The set of coefficients is known as the diskrétní Fourierova transformace (DFT) of the given sample sequence. The DFT is one of the key tools of zpracování digitálních signálů, a field whose applications include radar, kódování řeči, komprese obrazu.^[89] The JPEG image format is an application of the closely related diskrétní kosinová transformace.^[90]

The rychlá Fourierova transformace is an algorithm for rapidly computing the discrete Fourier transform.^[91] It is used not only for calculating the Fourier coefficients but, using the konvoluční věta, also for computing the konvoluce of two finite sequences.^[92] They in turn are applied in digitální filtry^[93] and as a rapid multiplikační algoritmus for polynomials and large integers (Schönhage – Strassenův algoritmus ).^[94][95]

Diferenciální geometrie

The tečná rovina to a surface at a point is naturally a vector space whose origin is identified with the point of contact. The tangent plane is the best lineární aproximace nebo linearizace, of a surface at a point.^{[pozn. 15]} Even in a three-dimensional Euclidean space, there is typically no natural way to prescribe a basis of the tangent plane, and so it is conceived of as an abstract vector space rather than a real coordinate space. The tečný prostor is the generalization to higher-dimensional diferencovatelné potrubí.^[96]

Riemannovy rozdělovače are manifolds whose tangent spaces are endowed with a suitable inner product.^[97] Derived therefrom, the Riemannův tenzor zakřivení encodes all zakřivení of a manifold in one object, which finds applications in obecná relativita, for example, where the Einstein curvature tensor describes the matter and energy content of vesmírný čas.^[98][99] The tangent space of a Lie group can be given naturally the structure of a Lie algebra and can be used to classify compact Lie groups.^[100]

Zobecnění

Vektorové svazky

A vektorový svazek is a family of vector spaces parametrized continuously by a topologický prostor X.^[96] More precisely, a vector bundle over X is a topological space E equipped with a continuous map

π: E → X

tak, že pro každého X v X, vlákno π⁻¹(X) is a vector space. The case dim PROTI = 1 se nazývá a svazek řádků. For any vector space PROTI, projekce X × PROTI → X makes the product X × PROTI do "trivial" vector bundle. Vector bundles over X jsou povinni být lokálně produkt X and some (fixed) vector space PROTI: pro každého X v X, tady je sousedství U z X such that the restriction of π to π⁻¹(U) is isomorphic^{[pozn. 16]} to the trivial bundle U × PROTI → U. Despite their locally trivial character, vector bundles may (depending on the shape of the underlying space X) be "twisted" in the large (that is, the bundle need not be (globally isomorphic to) the trivial bundle X × PROTI). Například Möbiusův proužek can be seen as a line bundle over the circle S¹ (podle identifying open intervals with the real line ). It is, however, different from the válec S¹ × R, because the latter is orientovatelný whereas the former is not.^[101]

Properties of certain vector bundles provide information about the underlying topological space. Například tečný svazek consists of the collection of tangent spaces parametrized by the points of a differentiable manifold. The tangent bundle of the circle S¹ is globally isomorphic to S¹ × R, since there is a global nonzero vektorové pole na S¹.^{[pozn. 17]} In contrast, by the teorém o chlupaté kouli, there is no (tangent) vector field on the 2 koule S² which is everywhere nonzero.^[102] K-teorie studies the isomorphism classes of all vector bundles over some topological space.^[103] In addition to deepening topological and geometrical insight, it has purely algebraic consequences, such as the classification of finite-dimensional real divize algebry: R, C, čtveřice H a octonions Ó.

The kotangenský svazek of a differentiable manifold consists, at every point of the manifold, of the dual of the tangent space, the kotangensový prostor. Sekce of that bundle are known as differential one-forms.

Moduly

Moduly jsou prsteny what vector spaces are to fields: the same axioms, applied to a ring R instead of a field F, yield modules.^[104] The theory of modules, compared to that of vector spaces, is complicated by the presence of ring elements that do not have multiplikativní inverze. For example, modules need not have bases, as the Z-module (that is, abelianská skupina ) Z/2Z přehlídky; those modules that do (including all vector spaces) are known as bezplatné moduly. Nevertheless, a vector space can be compactly defined as a modul přes prsten což je pole, with the elements being called vectors. Někteří autoři tento termín používají vektorový prostor to mean modules over a dělící prsten.^[105] The algebro-geometric interpretation of commutative rings via their spektrum allows the development of concepts such as locally free modules, the algebraic counterpart to vector bundles.

Affine and projective spaces

Zhruba, afinní prostory are vector spaces whose origins are not specified.^[106] More precisely, an affine space is a set with a free transitive vektorový prostor akce. In particular, a vector space is an affine space over itself, by the map

PROTI × PROTI → PROTI, (proti, A) ↦ A + proti.

Li Ž is a vector space, then an affine subspace is a subset of Ž obtained by translating a linear subspace PROTI by a fixed vector X ∈ Ž; this space is denoted by X + PROTI (je to coset z PROTI v Ž) and consists of all vectors of the form X + proti pro proti ∈ PROTI. An important example is the space of solutions of a system of inhomogeneous linear equations

AX = b

zevšeobecňující homogenní případ b = 0 výše.^{[je zapotřebí objasnění ][107]} Prostorem řešení je afinní podprostor X + PROTI kde X je konkrétní řešení rovnice a PROTI je prostor řešení homogenní rovnice ( prázdný prostor z A).

Sada jednorozměrných podprostorů pevného konečného trojrozměrného vektorového prostoru PROTI je známý jako projektivní prostor; může být použit k formalizaci myšlenky paralelní čáry protínající se v nekonečnu.^[108] Grassmannians a příznaky potrubí zobecnit to parametrizací lineárních podprostorů pevné dimenze k a vlajky podprostorů.

Viz také

• Vektor (matematika a fyzika), pro seznam různých druhů vektorů

Poznámky

Citace

Reference

Algebra

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN  978-0-89871-510-1
• Blass, Andreas (1984), „Existence bází implikuje axiom výběru“, Axiomatická teorie množin (Boulder, Colorado, 1983), Současná matematika, 31„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 31–33, PAN  0763890
• Brown, William A. (1991), Matice a vektorové prostory, New York: M. Dekker, ISBN  978-0-8247-8419-5
• Lang, Serge (1987), Lineární algebra, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96412-6
• Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556
• Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3. vyd.), S. 193–222, ISBN  978-0-8218-1646-2
• Meyer, Carl D. (2000), Maticová analýza a aplikovaná lineární algebra, SIAM, ISBN  978-0-89871-454-8
• Roman, Steven (2005), Pokročilá lineární algebra, Postgraduální texty z matematiky, 135 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-24766-3
• Spindler, Karlheinz (1993), Abstraktní algebra s aplikacemi: Svazek 1: Vektorové prostory a skupiny, CRC, ISBN  978-0-8247-9144-5
• van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (v němčině) (9. vydání), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-56799-8

Analýza

• Bourbaki, Nicolasi (1987), Topologické vektorové prostory„Základy matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-13627-9
• Bourbaki, Nicolasi (2004), Integrace I, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-41129-1
• Braun, Martin (1993), Diferenciální rovnice a jejich aplikace: úvod do aplikované matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97894-9
• BSE-3 (2001) [1994], "Tečné letadlo", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Choquet, Gustave (1966), Topologie, Boston, MA: Akademický tisk
• Dennery, Philippe; Krzywicki, Andre (1996), Matematika pro fyzikyPublikace Courier Dover, ISBN  978-0-486-69193-0
• Dudley, Richard M. (1989), Skutečná analýza a pravděpodobnost„Wadsworth & Brooks / Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks / Cole Advanced Books & Software, ISBN  978-0-534-10050-6
• Dunham, William (2005), Galerie kalkulů, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-09565-3
• Evans, Lawrence C. (1998), Parciální diferenciální rovnice„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0772-9
• Folland, Gerald B. (1992), Fourierova analýza a její aplikace, Brooks-Cole, ISBN  978-0-534-17094-3
• Gasquet, Claude; Witomski, Patrick (1999), Fourierova analýza a aplikace: filtrování, numerické výpočty, vlnkyTexty z aplikované matematiky, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98485-8
• Ifeachor, Emmanuel C .; Jervis, Barrie W. (2001), Digitální zpracování signálu: praktický přístup (2. vyd.), Harlow, Essex, Anglie: Prentice-Hall (publikováno 2002), ISBN  978-0-201-59619-9
• Krantz, Steven G. (1999), Panorama harmonické analýzy, Carus Mathematical Monographs, Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN  978-0-88385-031-2
• Kreyszig, Erwin (1988), Pokročilá inženýrská matematika (6. vydání), New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-85824-9
• Kreyszig, Erwin (1989), Úvodní funkční analýza s aplikacemi, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-50459-7, PAN  0992618
• Lang, Serge (1983), Skutečná analýza, Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-14179-5
• Lang, Serge (1993), Reálná a funkční analýza, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94001-4
• Loomis, Lynn H. (1953), Úvod do abstraktní harmonické analýzy, Toronto-New York – Londýn: D. Van Nostrand Company, Inc., s. X + 190, hdl:2027 / uc1.b4250788
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Treves, François (1967), Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra, Boston, MA: Akademický tisk

Historické odkazy

• Banach, Stefan (1922), „Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (O operacích v abstraktních množinách a jejich aplikaci na integrální rovnice)“ (PDF), Fundamenta Mathematicae (francouzsky), 3: 133–181, doi:10,4064 / fm-3-1-133-181, ISSN  0016-2736
• Bolzano, Bernard (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Úvahy o některých aspektech elementární geometrie) (v němčině)
• Bourbaki, Nicolasi (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Základy dějin matematiky) (ve francouzštině), Paris: Hermann
• Dorier, Jean-Luc (1995), „Obecný nástin geneze teorie vektorového prostoru“, Historia Mathematica, 22 (3): 227–261, doi:10.1006 / hmat.1995.1024, PAN  1347828
• Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur (ve francouzštině), Chez Firmin Didot, père et fils
• Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (v němčině), O. Wigand, dotisk: Grassmann, Hermann (2000), Kannenberg, L.C. (vyd.), Teorie rozšíření, překládal Kannenberg, Lloyd C., Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-2031-5
• Hamilton, William Rowan (1853), Přednášky o čtveřicích, Royal Irish Academy
• Möbius, August Ferdinand (1827), Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentrický počet: nový nástroj pro analytické zpracování geometrie) (v němčině), archivovány od originál dne 23. 11. 2006
• Moore, Gregory H. (1995), „Axiomatizace lineární algebry: 1875–1940“, Historia Mathematica, 22 (3): 262–303, doi:10.1006 / hmat.1995.1025
• Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann předcházející dalle Operazioni della Logica Deduttiva (v italštině), Turín
• Peano, G. (1901) Formulario mathematico: vct axiomy přes Internetový archiv

Další reference

• Ashcroft, Neil; Mermin, N. David (1976), Fyzika pevných látek, Toronto: Thomson Learning, ISBN  978-0-03-083993-1
• Atiyah, Michael Francis (1989), K-teorie, Advanced Book Classics (2. vydání), Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-09394-0, PAN  1043170
• Bourbaki, Nicolasi (1998), Základy matematiky: Algebra I kapitoly 1-3, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-64243-5
• Bourbaki, Nicolasi (1989), Obecná topologie. Kapitoly 1-4, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-64241-1
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1987), Projektivní geometrie (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96532-1
• Eisenberg, Murray; Guy, Robert (1979), „Důkaz věty o chlupaté kouli“, Americký matematický měsíčník, 86 (7): 572–574, doi:10.2307/2320587, JSTOR  2320587
• Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra, Postgraduální texty z matematiky, 150, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94269-8, PAN  1322960
• Goldrei, Derek (1996), Classic Set Theory: A Guided independent study (1. vyd.), Londýn: Chapman a Hall, ISBN  978-0-412-60610-6
• Griffiths, David J. (1995), Úvod do kvantové mechaniky, Horní sedlo, NJ: Prentice Hall, ISBN  978-0-13-124405-4
• Halmos, Paul R. (1974), Konečně-dimenzionální vektorové prostory, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90093-3
• Halpern, James D. (červen 1966), „Základny ve vektorových prostorech a axiom volby“, Proceedings of the American Mathematical Society, 17 (3): 670–673, doi:10.2307/2035388, JSTOR  2035388
• Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G .; Gleason, Andrew M. (2013), Calculus: Single and Multivariable (6. vyd.), John Wiley & Sons, ISBN  978-0470-88861-2
• Husemoller, Dale (1994), Svazky vláken (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94087-8
• Jost, Jürgen (2005), Riemannova geometrie a geometrická analýza (4. vydání), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-25907-7
• Kreyszig, Erwin (1991), Diferenciální geometrie, New York: Dover Publications, str. xiv + 352, ISBN  978-0-486-66721-8
• Kreyszig, Erwin (1999), Pokročilá inženýrská matematika (8. vydání), New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-15496-9
• Luenberger, David (1997), Optimalizace metodami vektorového prostoru, New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-18117-0
• Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro Working Mathematician (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98403-2
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitace, W. H. Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0
• Naber, Gregory L. (2003), Geometrie Minkowského časoprostoru, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-43235-9, PAN  2044239
• Schönhage, A.; Strassen, Volker (1971), "Schnelle Multiplikation großer Zahlen (Rychlé množení velkých čísel)", Výpočetní (v němčině), 7 (3–4): 281–292, doi:10.1007 / bf02242355, ISSN  0010-485X, S2CID  9738629
• Spivak, Michael (1999), Komplexní úvod do diferenciální geometrie (svazek dva), Houston, TX: Publikovat nebo zahynout
• Stewart, Iane (1975), Galoisova teorie, Chapman a Hall Matematická řada, Londýn: Chapman a Hall, ISBN  978-0-412-10800-6
• Varadarajan, V. S. (1974), Lieovy skupiny, Lieovy algebry a jejich reprezentace, Prentice Hall, ISBN  978-0-13-535732-3
• Wallace, G.K. (Únor 1992), "Standard komprese statických obrázků JPEG" (PDF), Transakce IEEE na spotřební elektroniku, 38 (1): xviii – xxxiv, CiteSeerX  10.1.1.318.4292, doi:10.1109/30.125072, ISSN  0098-3063, archivovány z originál (PDF) dne 13.01.2007, vyvoláno 2017-10-25
• Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-55987-4. PAN  1269324. OCLC  36131259.

externí odkazy

• "Vektorový prostor", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]