Kvadratický integrál - Quadratic integral

v matematika, a kvadratický integrál je integrální formuláře

${ displaystyle int { frac {dx} {a + bx + cx ^ {2}}}.}$

Lze jej vyhodnotit pomocí dokončení náměstí v jmenovatel.

${ displaystyle int { frac {dx} {a + bx + cx ^ {2}}} = { frac {1} {c}} int { frac {dx} { vlevo (x + { frac {b} {2c}} right) ^ {2} + left ({ frac {a} {c}} - { frac {b ^ {2}} {4c ^ {2}}} right) }}.}$

Pozitivně-diskriminační případ

Předpokládejme, že diskriminující q = b² − 4ac je pozitivní. V takovém případě definujte u a A podle

${ displaystyle u = x + { frac {b} {2c}}}$,

a

${ displaystyle -A ^ {2} = { frac {a} {c}} - { frac {b ^ {2}} {4c ^ {2}}} = { frac {1} {4c ^ { 2}}} vlevo (4ac-b ^ {2} vpravo).}$

Kvadratický integrál lze nyní zapsat jako

${ displaystyle int { frac {dx} {a + bx + cx ^ {2}}} = { frac {1} {c}} int { frac {du} {u ^ {2} -A ^ {2}}} = { frac {1} {c}} int { frac {du} {(u + A) (uA)}}.}$

The rozklad částečné frakce

${ displaystyle { frac {1} {(u + A) (uA)}} = { frac {1} {2A}} vlevo ({ frac {1} {uA}} - { frac {1 } {u + A}} vpravo)}$

umožňuje nám vyhodnotit integrál:

${ displaystyle { frac {1} {c}} int { frac {du} {(u + A) (uA)}} = { frac {1} {2Ac}} ln left ({ frac {uA} {u + A}} vpravo) + { text {constant}}.}$

Konečný výsledek pro původní integrál za předpokladu, že q > 0, je

${ displaystyle int { frac {dx} {a + bx + cx ^ {2}}} = { frac {1} { sqrt {q}}} ln left ({ frac {2cx + b - { sqrt {q}}} {2cx + b + { sqrt {q}}}} right) + { text {konstanta, kde}} q = b ^ {2} -4ac.}$

Negativně-diskriminační případ

Tato (narychlo napsaná) část možná vyžaduje pozornost.

V případě, že diskriminující q = b² − 4ac je záporný, druhý člen ve jmenovateli v

${ displaystyle int { frac {dx} {a + bx + cx ^ {2}}} = { frac {1} {c}} int { frac {dx} { vlevo (x + { frac {b} {2c}} right) ^ {2} + left ({ frac {a} {c}} - { frac {b ^ {2}} {4c ^ {2}}} right) }}.}$

je pozitivní. Pak se stane integrál

${ displaystyle { begin {aligned} & {} qquad { frac {1} {c}} int { frac {du} {u ^ {2} + A ^ {2}}} [9 bodů ] & = { frac {1} {cA}} int { frac {du / A} {(u / A) ^ {2} +1}} [9 bodů] & = { frac {1} {cA}} int { frac {dw} {w ^ {2} +1}} [9pt] & = { frac {1} {cA}} arctan (w) + mathrm {constant} [9pt] & = { frac {1} {cA}} arctan left ({ frac {u} {A}} right) + { text {constant}} [9pt] & = { frac {1} {c { sqrt {{ frac {a} {c}} - { frac {b ^ {2}} {4c ^ {2}}}}}}} arctan left ( { frac {x + { frac {b} {2c}}} { sqrt {{ frac {a} {c}} - { frac {b ^ {2}} {4c ^ {2}}}} }} right) + { text {constant}} [9pt] & = { frac {2} { sqrt {4ac-b ^ {2} ,}}} arctan left ({ frac {2cx + b} { sqrt {4ac-b ^ {2}}}} right) + { text {constant}}. End {zarovnáno}}}$

Reference

• Weisstein, Eric W. “Kvadratická integrace." Z MathWorld--Wolfram Web Resource, kde je odkazováno na následující:
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Jurij Veniaminovič; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [říjen 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabulka integrálů, sérií a produktů. Přeložil Scripta Technica, Inc. (8. vydání). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.