Radian - Radian
Radian | |
---|---|
Systém jednotek | Jednotka odvozená od SI |
Jednotka | Úhel |
Symbol | rad neboC |
V jednotkách | Bezrozměrný s délkou oblouku rovnou poloměru, tj. 1m/m |
Převody | |
1 rad v ... | ... je rovný ... |
miliradiáni | 1000 mrad |
zatáčky | 1/2π otáčet se |
stupňů | 180/π ≈ 57.296° |
gradians | 200/π ≈ 63.662G |
The radián, označený symbolem ,[1] je Jednotka SI pro měření úhly a je standardní jednotkou úhlového měření používanou v mnoha oblastech matematika. Délka oblouku a jednotkový kruh se číselně rovná měření v radiánech úhel že to subtends; jeden radián je 180/π stupňů nebo těsně pod 57,3 °.[A][2] Jednotka byla dříve SI doplňková jednotka (předtím, než byla tato kategorie zrušena v roce 1995) a radián je nyní považován za Jednotka odvozená od SI.[3] Radián je v SI definován jako bezrozměrná hodnota a jeho symbol je proto často vynechán, zejména v matematickém psaní.
Definice
Radian popisuje letadlo úhel podřízený oběžníkem oblouk, jako délka oblouku děleno poloměr oblouku. Jeden radián je úhel pod středem a kruh podle oblouk která je stejně dlouhá jako poloměr kruhu. Obecněji, velikost v radiánech takového podřízeného úhlu se rovná poměru délky oblouku k poloměru kruhu; to je θ = s / r, kde θ je podřízený úhel v radiánech, s je délka oblouku a r je poloměr. Naopak, délka uzavřeného oblouku se rovná poloměru vynásobenému velikostí úhlu v radiánech; to je s = rθ.
I když se běžně tvrdí, že jako poměr dvou délek je radián „čisté číslo „, ačkoli Mohr a Phillips toto tvrzení zpochybňují.[4] V matematickém psaní je však symbol „rad“ téměř vždy vynechán.[4] Při kvantifikaci úhlu při absenci jakéhokoli symbolu se předpokládají radiány, a když se myslí stupně, pak stupeň znamení ° se používá. Radian je definován jako 1.[5] Spory se vedou o to, zda je v EU uspokojivá SI považovat úhly za bezrozměrné.[6] To může vést ke zmatku při zvažování jednotek frekvence a Planckovy konstanty.[4][7]
Z toho vyplývá, že velikost v radiánech jedné úplné otáčky (360 stupňů) je délka celého obvodu dělená poloměrem, nebo 2πr / rnebo 2π. Tak 2π radiánů se rovná 360 stupňů, což znamená, že jeden radián se rovná 180 /π stupňů.[8]
Vztah 2π rad = 360 ° lze odvodit pomocí vzorce pro délka oblouku. Vezmeme-li vzorec pro délku oblouku, nebo . Za předpokladu jednotkové kružnice; poloměr je tedy 1. Protože radián je míra úhlu, který svírá oblouk o délce rovné poloměru kružnice, . To lze dále zjednodušit na . Násobení obou stran o 360 ° dává 360° = 2π rad.
Dějiny
Koncept radiánské míry, na rozdíl od stupně úhlu, se obvykle připisuje Roger Cotes v roce 1714.[9][10] Radian popsal ve všem kromě jména a poznal jeho přirozenost jako jednotku úhlové míry. Před termínem radián když se jednotka rozšířila, běžně se jí říkalo kruhová míra úhlu.[11]
Myšlenka měření úhlů podle délky oblouku již byla používána jinými matematiky. Například, al-Kashi (kolem 1400) používá tzv průměr dílů jako jednotky, kde byla jedna část průměru 1/60 radián. Použili také šestnáctkové podjednotky části průměru.[12]
Termín radián se poprvé objevil v tisku dne 5. června 1873 ve zkušebních otázkách stanovených James Thomson (bratr Lord Kelvin ) na Queen's College, Belfast. Termín použil již v roce 1871, zatímco v roce 1869 Thomas Muir, pak z University of St Andrews, kolísá mezi podmínkami rad, radiální, a radián. V roce 1874, po konzultaci s Jamesem Thomsonem, Muir přijal radián.[13][14][15] Název radián po nějakou dobu nebyl všeobecně přijat. Longmansova školní trigonometrie stále nazývá Radian kruhová míra když vyšlo v roce 1890.[16]
Symbol jednotky
The Mezinárodní úřad pro míry a váhy[17] a Mezinárodní organizace pro normalizaci[18] upřesnit rad jako symbol pro radián. Alternativní symboly používané před 100 lety jsou C (horní písmeno c, pro „kruhovou míru“), písmeno r nebo horní index R,[19] ale tyto varianty se používají jen zřídka, protože je lze zaměnit za a symbol stupně (°) nebo poloměr (r). Proto by se hodnota 1,2 radiánu nejčastěji psala jako 1,2 rad; další notace zahrnují 1.2 r, 1.2rad, 1.2Cnebo 1.2R.
Převody
Otočí se | Radiány | Stupně | Gradians nebo gons |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0° | 0G |
1/24 | π/12 | 15° | 16+2/3G |
1/12 | π/6 | 30° | 33+1/3G |
1/10 | π/5 | 36° | 40G |
1/8 | π/4 | 45° | 50G |
1/2π | 1 | C. 57.3° | C. 63.7G |
1/6 | π/3 | 60° | 66+2/3G |
1/5 | 2π/5 | 72° | 80G |
1/4 | π/2 | 90° | 100G |
1/3 | 2π/3 | 120° | 133+1/3G |
2/5 | 4π/5 | 144° | 160G |
1/2 | π | 180° | 200G |
3/4 | 3π/2 | 270° | 300G |
1 | 2π | 360° | 400G |
Převod mezi radiány a stupni
Jak je uvedeno, jeden radián se rovná 180 /π stupňů. Chcete-li tedy převést z radiánů na stupně, vynásobte je 180 /π.
Například:
Naopak pro převod ze stupňů na radiány vynásobte π/180.
Například:
Radiány lze převést na zatáčky (úplné otáčky) dělením počtu radiánů 2π.
Odvození převodu radián na stupeň
Délka obvodu kruhu je dána vztahem , kde je poloměr kruhu.
Platí tedy následující ekvivalentní vztah:
[Protože a je zapotřebí tažení k nakreslení celého kruhu]
Podle definice radiánu představuje plný kruh:
Kombinace obou výše uvedených vztahů:
Konverze mezi radiány a gradiány
radiány se rovná jedné otáčet se, což je podle definice 400 gradians (400 gons nebo 400G). Takže pro převod z radiánů na gradiány vynásobte a převést z gradiánů na radiány vynásobit . Například,
Výhody měření v radiánech
v počet a většina ostatních oborů matematiky nad rámec praktických geometrie, úhly jsou obecně měřeny v radiánech. Je to proto, že radiány mají matematickou „přirozenost“, která vede k elegantnější formulaci řady důležitých výsledků.
Nejpozoruhodnější je, že výsledky v analýza zahrnující trigonometrické funkce lze elegantně konstatovat, když jsou argumenty funkcí vyjádřeny v radiánech. Například použití radiánů vede k jednoduchosti omezit vzorec
který je základem mnoha dalších identit v matematice, včetně
Kvůli těmto a dalším vlastnostem se trigonometrické funkce objevují v řešení matematických úloh, které zjevně nesouvisí s geometrickými významy funkcí (například řešení diferenciální rovnice , hodnocení integrálu a tak dále). Ve všech těchto případech se zjistí, že argumenty funkcí jsou nejpřirozeněji psány ve formě, která odpovídá v geometrických kontextech radiánovému měření úhlů.
Trigonometrické funkce mají také jednoduché a elegantní rozšíření řady, jsou-li použity radiány. Například když X je v radiánech, Taylor série za hříchX se stává:
Li X byly vyjádřeny ve stupních, pak by série obsahovala chaotické faktory zahrnující mocnosti π/ 180: pokud X je počet stupňů, počet radiánů je y = πX / 180, tak
V podobném duchu jsou matematicky důležité vztahy mezi sinusovými a kosinovými funkcemi a exponenciální funkce (viz například Eulerův vzorec ) lze elegantně uvést, když jsou argumenty funkcí v radiánech (a jinak chaotické).
Dimenzionální analýza
Přestože je radián měrnou jednotkou, je to a bezrozměrné množství. To lze vidět z výše uvedené definice: úhel pod středem kruhu, měřený v radiánech, se rovná poměru délky uzavřeného oblouku k délce poloměru kruhu. Protože se měrné jednotky ruší, je tento poměr bezrozměrný.
Ačkoli polární a sférické souřadnice použijte radiány k popisu souřadnic ve dvou a třech rozměrech, jednotka je odvozena od souřadnice poloměru, takže míra úhlu je stále bezrozměrná.[20]
Použití ve fyzice
Radian je široce používán v fyzika když jsou požadována úhlová měření. Například, úhlová rychlost se obvykle měří v radiány za sekundu (rad / s). Jedna otáčka za sekundu se rovná 2π radiány za sekundu.
Podobně, úhlové zrychlení se často měří v radiánech za sekundu za sekundu (rad / s2).
Pro účely rozměrové analýzy jsou jednotkami úhlové rychlosti a úhlového zrychlení s−1 a s−2 resp.
Stejně tak fázový rozdíl dvou vln lze měřit také v radiánech. Například pokud je fázový rozdíl dvou vln (k⋅2π) radiány, kde k je celé číslo, jsou považovány za fáze, zatímco pokud je fázový rozdíl dvou vln (k⋅2π + π), kde k je celé číslo, jsou považovány za antifázi.
SI násobky
Metrické předpony mají omezené použití s radiány a žádné v matematice. A miliradián (mrad) je tisícina radiánu a mikroradián (μrad) je miliontina radiánu, tj. 1 rad = 103 mrad = 106 μrad.
K dispozici jsou 2π × 1 000 miliradiánů (≈ 6283 185 mrad) v kruhu. Takže miliradián je těsně pod 1/6283 úhlu podřízeného plnou kružnicí. Tuto „skutečnou“ jednotku úhlového měření kruhu používá dalekohled výrobci používají (stadiametrický) dálkoměr v mřížky. The divergence z laser paprsky se také obvykle měří v miliradiánech.
Aproximaci milliradian (0,001 rad) používá NATO a další vojenské organizace v dělostřelba a cílení. Každý úhlový mil představuje 1/6400 kruhu a je 15/8% nebo o 1,875% menší než miliradián. U malých úhlů, které se obvykle vyskytují při práci s cílením, výhoda použití čísla 6400 při výpočtu převáží malé matematické chyby, které zavádí. V minulosti jiné dělostřelecké systémy používaly různé aproximace 1/2000π; například Švédsko použilo 1/6300 streck a použitý SSSR 1/6000. Na základě miliradiánů mílí NATO subtituuje zhruba 1 mv rozsahu 1000 m (při tak malých úhlech je zakřivení zanedbatelné).
Menší jednotky jako mikroradiánů (μrad) a nanoradiánů (nrad) se používají v astronomii a lze je také použít k měření kvality paprsků laserů s ultra nízkou divergencí. Častější je oblouková sekunda, který je π/648,000 rad (kolem 4,8481 mikroradiánů). Podobně předpony menší než mili- jsou potenciálně užitečné při měření extrémně malých úhlů.
Viz také
- Úhlová frekvence
- Minuta a sekunda oblouku
- Steradský, trojrozměrný analog radianu, který měří plný úhel
- Trigonometrie
Poznámky a odkazy
- ^ "Seznam symbolů geometrie a trigonometrie". Matematický trezor. 2020-04-17. Citováno 2020-08-31.
- ^ „Radian - definice matematického slova - Math Open Reference“. www.mathopenref.com. Citováno 2020-08-31.
- ^ „Rezoluce 8 CGPM na jejím 20. zasedání (1995)“. Bureau International des Poids et Mesures. Citováno 2014-09-23.
- ^ A b C Mohr, J. C .; Phillips, W. D. (2015). "Bezrozměrné jednotky v SI". Metrologia. 52 (1): 40–47. arXiv:1409.2794. Bibcode:2015Metro..52 ... 40M. doi:10.1088/0026-1394/52/1/40. S2CID 3328342.
- ^ ISO 80000-3: 2006
- ^ „Jednotky SI potřebují reformu, aby nedošlo k záměně.“. Redakční. Příroda. 548 (7666): 135. 7. srpna 2011. doi:10.1038 / 548135b. PMID 28796224.
- ^ Mills, I. M. (2016). Msgstr "Na jednotce radián a cyklus pro rovinný úhel množství". Metrologia. 53 (3): 991–997. Bibcode:2016Metro..53..991M. doi:10.1088/0026-1394/53/3/991.
- ^ A b Weisstein, Eric W. „Radian“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-31.
- ^ O'Connor, J. J .; Robertson, E. F. (únor 2005). "Biografie Roger Cotes". MacTutor Dějiny matematiky.
- ^ Roger Cotes zemřel v roce 1716. Do roku 1722 jeho bratranec Robert Smith shromáždil a publikoval Cotesovy matematické spisy v knize, Harmonia mensurarum …. V kapitole redakčních komentářů Smitha uvádí poprvé hodnotu jednoho radiánu ve stupních. Viz: Roger Cotes s Robertem Smithem, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, Anglie: 1722), kapitola: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, horní část stránky 95. Ze strany 95: Poté, co se uvádí, že 180 ° odpovídá délce π (3.14159…) po jednotkovém kruhu (tj. π radians), Smith píše: „Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 atd.“ (Odkud se zobrazí jednotka trigonometrické míry, 57,2957795130… [stupně na radián].)
- ^ Isaac Todhunter, Plane trigonometry: For the Use of Colleges and Schools, p. 10, Cambridge a Londýn: MacMillan, 1864 OCLC 500022958
- ^ Luckey, Paul (1953) [Překlad 1424 knihy]. Siggel, A. (ed.). Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi [Pojednání o obvodu al-Kashi]. Berlín: Akademie Verlag. p. 40.
- ^ Cajori, Florian (1929). Historie matematických notací. 2. Dover Publications. str.147–148. ISBN 0-486-67766-4.
- ^ Muir, Thos. (1910). „Termín„ Radian “ve trigonometrii. Příroda. 83 (2110): 156. Bibcode:1910Natur..83..156M. doi:10.1038 / 083156a0. S2CID 3958702.Thomson, James (1910). „Termín„ Radian “ve trigonometrii. Příroda. 83 (2112): 217. Bibcode:1910Natur..83..217T. doi:10.1038 / 083217c0. S2CID 3980250.Muir, Thos. (1910). „Termín„ Radian “ve trigonometrii. Příroda. 83 (2120): 459–460. Bibcode:1910Natur..83..459M. doi:10.1038 / 083459d0. S2CID 3971449.
- ^ Miller, Jeff (23. listopadu 2009). „Nejstarší známá použití některých slov matematiky“. Citováno 30. zář 2011.
- ^ Frederick Sparks, Longmansova školní trigonometrie, str. 6, London: Longmans, Green, and Co., 1890 OCLC 877238863 (Vydání z roku 1891)
- ^ Brožura BIPM 2019
- ^ ISO 80000-3: 2006 Veličiny a jednotky - prostor a čas
- ^ Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (leden 1909). „Kapitola VII. Obecný úhel [55] Známky a omezení hodnoty. Cvičení XV.“. Napsáno v Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometrie. Část I: Rovinná trigonometrie. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. p. 73. Citováno 2017-08-12.
- ^ Debata o tomto významu a použití viz:Brownstein, K. R. (1997). „Úhly - pojďme s nimi zacházet rovně“. American Journal of Physics. 65 (7): 605–614. Bibcode:1997AmJPh..65..605B. doi:10.1119/1.18616.,Romain, J.E. (1962). „Úhly jako čtvrtá základní veličina“. Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B. 66B (3): 97. doi:10,6028 / jres.066B.012.,LéVy-Leblond, Jean-Marc (1998). "Dimenzionální úhly a univerzální konstanty". American Journal of Physics. 66 (9): 814–815. Bibcode:1998AmJPh..66..814L. doi:10.1119/1.18964., a Romer, Robert H. (1999). „Jednotky - pouze SI nebo multikulturní rozmanitost?“. American Journal of Physics. 67 (1): 13–16. Bibcode:1999AmJPh..67 ... 13R. doi:10.1119/1.19185.
externí odkazy
- Média související s Radian na Wikimedia Commons