Bochnerův integrál - Bochner integral

v matematika, Bochnerův integrál, pojmenovaný pro Salomon Bochner, rozšiřuje definici Lebesgueův integrál k funkcím, které nabývají hodnot v a Banachův prostor jako limit integrálů jednoduché funkce.

Definice

Nechť (X, Σ, μ) být a změřte prostor a B Banachův prostor. Bochnerův integrál je definován podobně jako Lebesgueův integrál. Nejprve je jednoduchá funkce jakýkoli konečný součet tvaru

${displaystyle s (x) = součet _ {i = 1} ^ {n} chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i}}$

Kde E_i jsou disjunktní členové σ-algebry Σ, b_i jsou odlišné prvky Ba χ_E je charakteristická funkce z E. Li μ(E_i) je konečný kdykoli b_i ≠ 0, pak je jednoduchá funkce integrovatelný, a integrál je pak definován

${displaystyle int _ {X} left [sum _ {i = 1} ^ {n} chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i} ight], dmu = sum _ {i = 1} ^ {n } mu (E_ {i}) b_ {i}}$

přesně tak, jak je to pro běžný Lebesgueův integrál.

Měřitelná funkce ƒ: X → B je Bochner integrovatelný pokud existuje posloupnost integrovatelných jednoduchých funkcí s_n takhle

${displaystyle lim _ {n o infty} int _ {X} | f-s_ {n} | _ {B}, dmu = 0,}$

kde integrál na levé straně je obyčejný Lebesgueův integrál.

V tomto případě Bochnerův integrál je definováno

${displaystyle int _ {X} f, dmu = lim _ {n o infty} int _ {X} s_ {n}, dmu.}$

Je možné ukázat, že funkce je Bochnerova integrovatelná právě tehdy, když leží v Bochnerův prostor ${displaystyle L ^ {1}}$.

Vlastnosti

Mnoho známých vlastností Lebesgueova integrálu nadále platí pro Bochnerův integrál. Obzvláště užitečné je Bochnerovo kritérium pro integrovatelnost, které uvádí, že pokud (X, Σ, μ) je prostor míry, pak Bochner-měřitelná funkce ƒ : X → B je Bochner integrovatelný právě tehdy

${displaystyle int _ {X} | f | _ {B}, dmu$

Funkce ƒ : X → B se nazývá Bochner-měřitelný, pokud se rovná μ téměř všude funkci G získávání hodnot v oddělitelném podprostoru B₀ z B, a takové, že inverzní obraz G⁻¹(U) každé otevřené sady U v B patří Σ. Ekvivalentně ƒ je limit μ-téměř všude v posloupnosti jednoduchých funkcí.

Li ${displaystyle T}$ je spojitý lineární operátor a ${displaystyle f}$ je tedy integrovatelný Bochner ${displaystyle Tf}$ je Bochner integrovatelný a integrační a ${displaystyle T}$ lze zaměnit:

${displaystyle int _ {X} Tfdmu = Tint _ {X} fdmu.}$

To vzhledem k tomu platí i pro uzavřené operátory ${displaystyle Tf}$ být sám integrovatelný (což prostřednictvím výše uvedeného kritéria triviálně platí pro ohraničené ${displaystyle T}$).

Verze dominující věta o konvergenci platí také pro Bochnerův integrál. Konkrétně pokud ƒ_n : X → B je posloupnost měřitelných funkcí na úplném prostoru míry, směřující téměř všude k limitní funkci ƒ, a pokud

${displaystyle | f_ {n} (x) | _ {B} leq g (x)}$

téměř pro každého X ∈ X, a G ∈ L¹(μ), pak

${displaystyle int _ {X} | f-f_ {n} | _ {B}, dmu o 0}$

tak jako n → ∞ a

${displaystyle int _ {E} f_ {n}, dmu o int _ {E} f, dmu}$

pro všechny E ∈ Σ.

Li ƒ je Bochner integrovatelný, pak nerovnost

${displaystyle left | int _ {E} f, dmu ight | _ {B} leq int _ {E} | f | _ {B}, dmu}$

platí pro všechny E ∈ Σ. Zejména nastavená funkce

${displaystyle Emapsto int _ {E} f, dmu}$

definuje spočitatelnou přísadu B-hodnota vektorové opatření na X který je absolutně kontinuální vzhledem k μ.

Vlastnost Radon – Nikodym

Důležitým faktem o Bochnerově integrálu je, že Věta Radon – Nikodym selže držet obecně. Výsledkem je důležitá vlastnost Banachových prostorů známá jako vlastnost Radon – Nikodym. Konkrétně, pokud μ je míra na (X, Σ), pak B má vlastnost Radon – Nikodym vzhledem k μ, pokud pro každou spočetnou přísadu vektorové opatření ${displaystyle gamma}$ na (X, Σ) s hodnotami v B který má ohraničená variace a je absolutně spojitý s ohledem na μ, existuje integrovatelná funkce μ G : X → B takhle

${displaystyle gamma (E) = int _ {E} g, dmu}$

pro každou měřitelnou sadu E ∈ Σ.^[1]

Banachův prostor B má Vlastnost Radon – Nikodym -li B má vlastnost Radon – Nikodym s ohledem na každou konečnou míru. Je známo, že prostor ${displaystyle l_ {1}}$ má vlastnost Radon – Nikodym, ale ${displaystyle c_ {0}}$ a mezery ${displaystyle L ^ {infty} (Omega)}$, ${displaystyle L ^ {1} (Omega)}$, pro ${displaystyle Omega}$ otevřená ohraničená podmnožina ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, a ${displaystyle C (K)}$, pro K. nekonečný kompaktní prostor, ne. Prostory s vlastností Radon – Nikodym zahrnují oddělitelné duální prostory (toto je Dunford – Pettisova věta ) a reflexní prostory, které zahrnují zejména Hilbertovy prostory.

Viz také

• Bochnerův prostor
• Pettisův integrál
• Vektorové opatření

Reference

• Bochner, Salomon (1933), „Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind“ (PDF), Fundamenta Mathematicae, 20: 262–276
• Cohn, Donald (2013), Teorie měření, Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher, Springer, doi:10.1007/978-1-4614-6956-8, ISBN  978-1-4614-6955-1
• Yosida, Kôsaku (1980), Funkční analýza, Klasika v matematice, 123Springer, doi:10.1007/978-3-642-61859-8, ISBN  978-3-540-58654-8
• Diestel, Joseph (1984), Sekvence a série v Banachových prostorech, Postgraduální texty z matematiky, 92Springer, doi:10.1007/978-1-4612-5200-9, ISBN  978-0-387-90859-5
• Diestel; Uhl (1977), Vektorové míry, Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-1515-1
• Hille, Einar; Phillips, Ralph (1957), Funkční analýza a poloskupiny, Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-1031-6
• Lang, Serge (1993), Reálná a funkční analýza (3. vyd.), Springer, ISBN  978-0387940014
• Sobolev, V. I. (2001) [1994], "Bochnerův integrál", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• van Dulst, D. (2001) [1994], „Vektorové míry“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS