Frustum - Frustum

Sada pyramidových komol
Příklady: Pentagonal a square frustum
Tváře	n lichoběžníky, 2 n-gons
Hrany	3n
Vrcholy	2n
Skupina symetrie	Cnproti, [1,n], (*nn)
Vlastnosti	konvexní

v geometrie, a frustum^[1] (množný: frusta nebo frustums) je část a pevný (obvykle a kužel nebo pyramida ), který leží mezi jednou nebo dvěma paralelní roviny řezání. A pravý frustum je paralela zkrácení a pravá pyramida nebo pravý kužel.^[1]

v počítačová grafika, prohlížení frustum je trojrozměrná oblast, která je viditelná na obrazovce. Je tvořen a oříznut pyramida; zejména, frustum utracení je metoda stanovení skrytého povrchu.

V letecký a kosmický průmysl, frustum je kapotáž mezi dvěma fázemi a vícestupňová raketa (tak jako Saturn V ), který má tvar a zkrácen kužel.

Li všechny hrany jsou nuceny být identické, frustum se stává uniformou hranol.

Prvky, speciální případy a související pojmy

Square frustum

Pravidelný osmistěn lze rozšířit na 3 tvářích a vytvořit trojúhelníkové komolé

Osa komolého je osa původního kužele nebo pyramidy. Frustum je kruhový, pokud má kruhové základny; má pravdu, pokud je osa kolmá k oběma základnám, a jinak šikmá.

Výška komolého je kolmá vzdálenost mezi rovinami obou základen.

Na kužely a pyramidy lze pohlížet jako na zvrhlé případy frusty, kde jedno z řezných letadel prochází skrz vrchol (aby se odpovídající základna zmenšila na bod). Pyramidální frusta jsou podtřídou prizmatoidy.

Dva frusta se spojili na svých základnách a bifrustum.

Vzorec

Objem

Objemový vzorec frustum čtvercové pyramidy představil starověký Egyptská matematika v tom, co se nazývá Moskevský matematický papyrus, napsáno v 13. dynastie (C. 1850 před naším letopočtem):

${ displaystyle V = { tfrac {1} {3}} h vlevo (a ^ {2} + ab + b ^ {2} vpravo).}$

kde A a b jsou délky základny a horní strany zkrácené pyramidy a h je výška. Egypťané věděli správný vzorec pro získání objemu zkrácené čtvercové pyramidy, ale v moskevském papyru není uveden žádný důkaz této rovnice.

The objem kuželovitého nebo pyramidového komolého kříže je objem pevné látky před krájením vrcholu, minus objem vrcholu:

${ displaystyle V = { frac {h_ {1} B_ {1} -h_ {2} B_ {2}} {3}}}$

kde B₁ je plocha jedné základny, B₂ je plocha druhé základny a h₁, h₂ jsou kolmé výšky od vrcholu k rovinám obou základen.

Vezmeme-li v úvahu, že

${ displaystyle { frac {B_ {1}} {h_ {1} ^ {2}}} = { frac {B_ {2}} {h_ {2} ^ {2}}} = { frac { sqrt {B_ {1} B_ {2}}} {h_ {1} h_ {2}}} = alpha}$,

vzorec pro objem lze vyjádřit jako produkt této proporcionality α / 3 a a rozdíl kostek výšek h₁ a h₂ pouze.

${ displaystyle V = { frac {h_ {1} alpha h_ {1} ^ {2} -h_ {2} alpha h_ {2} ^ {2}} {3}} = { frac { alfa } {3}} (h_ {1} ^ {3} -h_ {2} ^ {3})}$

Rozdělením rozdílu dvou kostek A³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²), jeden dostane h₁ − h₂ = h, výška komolého hřbetu a αh₁² + h₁h₂ + h₂²/3.

Rozdělující α a dosazením ze své definice, Heronský průměr oblastí B₁ a B₂ je získáno. Alternativní vzorec tedy je

${ displaystyle V = { frac {h} {3}} vlevo (B_ {1} + { sqrt {B_ {1} B_ {2}}} + B_ {2} vpravo)}$.

Volavka Alexandrijská je známý tím, že odvozuje tento vzorec a setkává se s ním imaginární jednotka, druhá odmocnina záporné.^[2]

Obzvláště objem kruhového kuželu je

${ displaystyle V = { frac { pi h} {3}} doleva (r_ {1} ^ {2} + r_ {1} r_ {2} + r_ {2} ^ {2} doprava)}$

kde r₁, r₂ jsou poloměry ze dvou základen.

Objem pyramidového komolého tělesa, jehož základny jsou n-stranné pravidelné polygony jsou

${ displaystyle V = { frac {nh} {12}} vlevo (a_ {1} ^ {2} + a_ {1} a_ {2} + a_ {2} ^ {2} vpravo) cot { frac { pi} {n}}}$

kde A₁ a A₂ jsou strany obou základen.

Plocha povrchu

Kuželovitý komol

3D model kuželovitého komolého kužele.

Pro pravý kruhový komolý kónus^[3][4]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { text {Lateral surface area}} & = pi left (r_ {1} + r_ {2} right) s & = pi left (r_ {1 } + r_ {2} right) { sqrt { left (r_ {1} -r_ {2} right) ^ {2} + h ^ {2}}} end {aligned}}}$

a

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { text {Celková plocha}} & = pi left ( left (r_ {1} + r_ {2} right) s + r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} right) & = pi left ( left (r_ {1} + r_ {2} right) { sqrt { left (r_ {1} -r_ { 2} vpravo) ^ {2} + h ^ {2}}} + r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} vpravo) end {zarovnáno}}}$

kde r₁ a r₂ jsou základní poloměr a horní poloměr a s je šikmá výška komolého kužele.

Povrch pravého frustum, jehož základny jsou podobné pravidelné n-stranný mnohoúhelníky je

${ displaystyle A = { frac {n} {4}} left [ left (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} right) cot { frac { pi} {n}} + { sqrt { left (a_ {1} ^ {2} -a_ {2} ^ {2} right) ^ {2} sec ^ {2} { frac { pi} { n}} + 4 h ^ {2} left (a_ {1} + a_ {2} right) ^ {2}}} right]}$

kde A₁ a A₂ jsou strany obou základen.

Příklady

Rolo značkové čokolády se blíží pravému kruhovému kuželovitému komolému kužele, i když nejsou nahoře ploché

• Na zadní (zadní) straně a Jednodolarová bankovka Spojených států, na zadní straně Velká pečeť Spojených států, převyšoval Oko prozřetelnosti.
• Zikkuraty, krokové pyramidy a jisté starobylé Rodilý Američan mohyly také tvoří komolé z jedné nebo více pyramid, s přidanými dalšími funkcemi, jako jsou schody.
• Čínské pyramidy.
• The Centrum Johna Hancocka v Chicago, Illinois je frustum, jehož základny jsou obdélníky.
• The Washingtonův památník je úzký čtvercový pyramidový komolý vrchol zakončený malou pyramidou.
• The prohlížení frustum v 3D počítačová grafika je použitelná virtuální fotografická nebo videokamera zorné pole vymodelováno jako pyramidální komolé.
• V Angličtina překlad Stanislaw Lem sbírka povídek Kyberiada, báseň Milovat a tenzorová algebra tvrdí, že „každé frustum touží být kuželem“.
• Kbelíky a typické stínidla jsou každodenní příklady kuželovitých komol.
• Sklenice na pití a některé vesmírné kapsle jsou také některé příklady.

Viz také

• Sférické frustum

Poznámky

1.^ Termín „frustum“ pochází z latinský frustum což znamená „kus“ nebo „drobenka“. Anglické slovo je často chybně napsáno jako frustrum, jiné latinské slovo příbuzné anglickému slovu "frustrate".^[5] Zmatek mezi těmito dvěma slovy je velmi starý: varování o nich lze nalézt v Dodatek Probi a díla Plautus zahrnout na ně hříčku.^[6]

Reference

externí odkazy

• Odvození vzorce pro objem komolců pyramidy a kužele (Mathalino.com)
• Weisstein, Eric W. "Pyramidální frustum". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Kuželovité zoubky". MathWorld.
• Papírové modely komolic (komolých pyramid)
• Papírový model komolého kužele (komolý kužel)
• Designové papírové modely kuželovitého komolého kužele (komolé kužely)