Implicitní funkce - Implicit function
Část série článků o | |||||
Počet | |||||
---|---|---|---|---|---|
| |||||
Specializované | |||||
v matematika, an implicitní rovnice je vztah formuláře R(X1,…, Xn) = 0, kde R je funkce několika proměnných (často a polynomiální ). Například implicitní rovnice jednotkový kruh je X2 + y2 − 1 = 0.
An implicitní funkce je funkce která je definována implicitně implicitní rovnicí přidružením jedné z proměnných ( hodnota ) s ostatními (dále jen argumenty ).[1]:204–206 Implicitní funkce tedy pro y v kontextu jednotkový kruh je definována implicitně X2 + F(X)2 − 1 = 0. Tato implicitní rovnice definuje F jako funkce X jen když −1 ≤ X ≤ 1 a jeden bere v úvahu pouze nezáporné (nebo nepozitivní) hodnoty pro hodnoty funkce.
The věta o implicitní funkci poskytuje podmínky, za kterých některé druhy vztahů definují implicitní funkci, konkrétně vztahy definované jako funkce indikátoru z nulová sada některých průběžně diferencovatelné vícerozměrný funkce.
Příklady
Inverzní funkce
Běžným typem implicitní funkce je inverzní funkce. Ne všechny funkce mají jedinečnou inverzní funkci. Li G je funkce X který má jedinečnou inverzi, pak inverzní funkci G, volala G−1, je jedinečná funkce poskytující a řešení rovnice
pro X ve smyslu y. Toto řešení lze potom zapsat jako
Definování G−1 jako inverzní k G je implicitní definice. Pro některé funkce G, G−1(y) lze výslovně zapsat jako uzavřený výraz - například pokud G(X) = 2X − 1, pak G−1(y) = 1/2(y + 1). To však často není možné, nebo pouze zavedením nové notace (jako v produktový protokol příklad níže).
Intuitivně se inverzní funkce získává z G záměnou rolí závislých a nezávislých proměnných.
- Příklad. The produktový protokol je implicitní funkce poskytující řešení pro X rovnice y − xeX = 0.
Algebraické funkce
An algebraická funkce je funkce, která splňuje polynomickou rovnici, jejíž koeficienty jsou samy polynomy. Například algebraická funkce v jedné proměnné X dává řešení pro y rovnice
kde koeficienty Ai(X) jsou polynomiální funkce X. Tuto algebraickou funkci lze zapsat jako pravou stranu rovnice řešení y = F(X). Napsáno takto F je vícecenný implicitní funkce.
Algebraické funkce hrají důležitou roli v matematická analýza a algebraická geometrie. Jednoduchý příklad algebraické funkce je uveden na levé straně rovnice jednotkové kružnice:
Řešení pro y dává explicitní řešení:
Ale i bez zadání tohoto explicitního řešení je možné odkazovat na implicitní řešení rovnice jednotkové kružnice jako y = F(X), kde F je implicitní funkce s více hodnotami.
Zatímco explicitní řešení lze nalézt pro rovnice, které jsou kvadratický, krychlový, a kvartální v ytotéž obecně neplatí pro kvintický a vyšší rovnice, jako např
Přesto je možné se odvolat na implicitní řešení y = F(X) zahrnující implicitní funkci s více hodnotami F.
Upozornění
Ne každá rovnice R(X, y) = 0 implikuje graf funkce s jednou hodnotou, přičemž jedním významným příkladem je kruhová rovnice. Dalším příkladem je implicitní funkce daná X − C(y) = 0 kde C je kubický polynom mít ve svém grafu „hrb“. Tedy, aby implicitní funkce byla a skutečný (jednohodnotová) funkce může být nutné použít pouze část grafu. Implicitní funkci lze někdy úspěšně definovat jako skutečnou funkci až po „přiblížení“ na některé části souboru X-osa a "odříznutí" některých nežádoucích funkčních větví. Pak rovnice vyjadřující y protože lze zapsat implicitní funkci ostatních proměnných.
Definující rovnice R(X, y) = 0 může mít i jiné patologie. Například rovnice X = 0 neznamená funkci F(X) dávat řešení pro y vůbec; je to svislá čára. Aby se předešlo takovým problémům, jsou často kladena různá omezení na povolené druhy rovnic nebo na doména. The věta o implicitní funkci poskytuje jednotný způsob řešení těchto druhů patologií.
Implicitní diferenciace
v počet, metoda zvaná implicitní diferenciace využívá řetězové pravidlo rozlišovat implicitně definované funkce.
K odlišení implicitní funkce y(X), definovaný rovnicí R(X, y) = 0, není obecně možné to výslovně vyřešit y a pak rozlišovat. Místo toho je možné zcela odlišit R(X, y) = 0 s ohledem na X a y a poté vyřešte výslednou lineární rovnici pro dy/dx výslovně získat derivát ve smyslu X a y. I když je možné výslovně vyřešit původní rovnici, vzorec vyplývající z totální diferenciace je obecně mnohem jednodušší a snadněji použitelný.
Příklady
Příklad 1. Zvážit
Tuto rovnici lze snadno vyřešit ydávat
kde pravá strana je explicitní forma funkce y(X). Diferenciace pak dává dy/dx = −1.
Alternativně lze zcela odlišit původní rovnici:
Řešení pro dy/dx dává
stejná odpověď, jaká byla získána dříve.
Příklad 2. Příkladem implicitní funkce, pro kterou je implicitní diferenciace snazší než použití explicitní diferenciace, je funkce y(X) definovaný rovnicí
Toto výslovně odlišit s ohledem na X, jeden musí nejprve dostat
a poté tuto funkci rozlišit. Tím se vytvoří dva deriváty: jeden pro y ≥ 0 a další pro y < 0.
Je podstatně jednodušší implicitně odlišit původní rovnici:
dávat
Příklad 3. Často je obtížné nebo nemožné explicitně vyřešit ya implicitní diferenciace je jedinou proveditelnou metodou diferenciace. Příkladem je rovnice
To je nemožné algebraicky vyjádřit y výslovně jako funkce X, a proto jeden nemůže najít dy/dx explicitní diferenciací. Pomocí implicitní metody dy/dx lze získat diferenciací rovnice a získat
kde dx/dx = 1. Rozúčtování dy/dx ukázat to
což vede k výsledku
který je definován pro
Obecný vzorec pro derivaci implicitní funkce
Li R(X, y) = 0, derivace implicitní funkce y(X) darováno[2]:§11.5
kde RX a Ry označte částečné derivace z R s ohledem na X a y.
Výše uvedený vzorec pochází z použití zobecněné pravidlo řetězu získat celková derivace - s ohledem na X - obou stran R(X, y) = 0:
proto
který, když je vyřešen pro dy/dx, dává výše uvedený výraz.
Věta o implicitní funkci
Nechat R(X, y) být diferencovatelná funkce dvou proměnných a (A, b) být pár reálná čísla takhle R(A, b) = 0. Li ∂R/∂y ≠ 0, pak R(X, y) = 0 definuje implicitní funkci, která je v některých dostatečně odlišitelná sousedství z (A, b); jinými slovy, existuje rozlišitelná funkce F to je definováno a rozlišitelné v nějakém sousedství A, takový, že R(X, F(X)) = 0 pro X v této čtvrti.
Kondice ∂R/∂y ≠ 0 znamená, že (A, b) je pravidelný bod z implicitní křivka implicitní rovnice R(X, y) = 0 Kde tečna není vertikální.
V méně technickém jazyce existují implicitní funkce, které lze odlišit, pokud má křivka nevislou tečnu.[2]:§11.5
V algebraické geometrii
Zvažte a vztah formuláře R(X1,…, Xn) = 0, kde R je více proměnný polynom. Sada hodnot proměnných, které splňují tento vztah, se nazývá an implicitní křivka -li n = 2 a implicitní povrch -li n = 3. Implicitní rovnice jsou základem algebraická geometrie, jehož základními studijními předměty jsou simultánní řešení několika implicitních rovnic, jejichž levé strany jsou polynomy. Tyto sady simultánních řešení se nazývají afinní algebraické množiny.
V diferenciálních rovnicích
Řešení diferenciálních rovnic se obecně objevují vyjádřená implicitní funkcí.[3]
Aplikace v ekonomii
Mezní míra substituce
v ekonomika, když je nastavena úroveň R(X, y) = 0 je křivka indiference pro množství X a y spotřebované ze dvou statků, absolutní hodnota implicitního derivátu dy/dx je interpretován jako mezní míra substituce ze dvou věcí: o kolik více y jeden musí obdržet, aby byl lhostejný ke ztrátě jedné jednotkyX.
Mezní míra technické substituce
Podobně někdy nastavená úroveň R(L, K.) je Isoquant zobrazující různé kombinace použitých množství L práce a K. z fyzický kapitál z nichž každý by vedl k produkci stejného daného množství výstupu nějakého zboží. V tomto případě absolutní hodnota implicitního derivátu dK/dL je interpretován jako mezní míra technické substituce mezi těmito dvěma výrobními faktory: o kolik většího kapitálu musí firma použít, aby vyprodukovala stejné množství výstupu s jednou menší jednotkou práce.
Optimalizace
Často v ekonomická teorie, některé funkce jako a užitková funkce nebo a zisk funkce má být maximalizována s ohledem na vybraný vektor X i když objektivní funkce nebyla omezena na žádnou konkrétní funkční formu. The věta o implicitní funkci zaručuje, že podmínky prvního řádu optimalizace definují implicitní funkci pro každý prvek optimálního vektoru X* vektoru volby X. Když se maximalizuje zisk, obvykle jsou výsledné implicitní funkce poptávka po pracovní síle funkce a funkce napájení různého zboží. Když se obslužný program maximalizuje, obvykle jsou výsledné implicitní funkce nabídka práce funkce a funkce poptávky pro různé zboží.
Navíc vliv problému parametry na X* - dílčí derivace implicitní funkce - lze vyjádřit jako deriváty celkem systému podmínek prvního řádu nalezených pomocí totální diferenciace.
Viz také
Reference
- ^ Chiang, Alpha C. (1984). Základní metody matematické ekonomie (Třetí vydání.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
- ^ A b Stewart, James (1998). Koncepty a kontexty počtu. Nakladatelství Brooks / Cole. ISBN 0-534-34330-9.
- ^ Kaplan, Wilfred (2003). Pokročilý počet. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-79937-5.
Další čtení
- Binmore, K. G. (1983). „Implicitní funkce“. Počet. New York: Cambridge University Press. 198 až 211. ISBN 0-521-28952-1.
- Rudin, Walter (1976). Principy matematické analýzy. Boston: McGraw-Hill. str.223–228. ISBN 0-07-054235-X.
- Simon, Carl P .; Blume, Lawrence (1994). „Implicitní funkce a jejich deriváty“. Matematika pro ekonomy. New York: W. W. Norton. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.
externí odkazy
- „Implicitní diferenciace, co se tady děje?“. 3Modrá1Hnědá. Esence kalkulu. 3. května 2017 - prostřednictvím Youtube.