Eulerovo střídání - Euler substitution

Eulerovo střídání je metoda pro hodnocení integrálů formuláře

${ displaystyle int R (x, { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}) , dx,}$

kde ${ displaystyle R}$ je racionální funkcí ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$. V takových případech může být integrand změněn na racionální funkci pomocí substitucí Eulera.^[1]

Eulerovo první střídání

První substituce Eulera se použije, když ${ displaystyle a> 0}$. Nahrazujeme

${ displaystyle { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = pm x { sqrt {a}} + t}$

a vyřešit výsledný výraz pro ${ displaystyle x}$. To máme ${ displaystyle x = { frac {c-t ^ {2}} { pm 2t { sqrt {a}} - b}}}$ a to ${ displaystyle dx}$ termín je racionálně vyjádřitelný v ${ displaystyle t}$.

V této substituci lze zvolit kladné nebo záporné znaménko.

Eulerovo druhé střídání

Li ${ displaystyle c> 0}$, bereme

${ displaystyle { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = xt pm { sqrt {c}}.}$

Řešíme pro ${ displaystyle x}$ podobně jako výše a najít${ displaystyle x = { frac { pm 2t { sqrt {c}} - b} {a-t ^ {2}}}.}$

Lze opět zvolit kladné nebo záporné znaménko.

Eulerovo třetí střídání

Pokud je polynom ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$ má skutečné kořeny ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$, můžeme si vybrat${ displaystyle { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = { sqrt {a (x- alpha) (x- beta)}} = (x- alpha) t}$. To přináší ${ displaystyle x = { frac {a beta - alpha t ^ {2}} {a-t ^ {2}}},}$a stejně jako v předchozích případech můžeme celé integrand vyjádřit racionálně ${ displaystyle t}$.

Pracoval příklady

Příklady prvního Eulerova střídání

Jeden

V integrálu ${ displaystyle int ! { frac { dx} { sqrt {x ^ {2} + c}}}}$ můžeme použít první substituci a set ${ displaystyle { sqrt {x ^ {2} + c}} = - x + t}$, tím pádem

${ displaystyle x = { frac {t ^ {2} -c} {2t}} quad quad dx = { frac {t ^ {2} + c} {2t ^ {2}}} , dt}$

${ displaystyle { sqrt {x ^ {2} + c}} = - { frac {t ^ {2} -c} {2t}} + t = { frac {t ^ {2} + c} { 2t}}}$

V souladu s tím získáváme:

${ displaystyle int { frac { dx} { sqrt {x ^ {2} + c}}} = int { frac { frac {t ^ {2} + c} {2t ^ {2} }} { frac {t ^ {2} + c} {2t}}} , dt = int ! { frac { dt} {t}} = ln | t | + C = ln | x + { sqrt {x ^ {2} + c}} | + C}$

Případy ${ displaystyle c = pm 1}$ dejte vzorce

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int { frac { dx} { sqrt {x ^ {2} +1}}} & = { mbox {arsinh}} (x) + C [6 bodů ] int { frac { dx} { sqrt {x ^ {2} -1}}} & = { mbox {arcosh}} (x) + C qquad (x> 1) end {zarovnáno} }}$

Dva

Pro zjištění hodnoty

${ displaystyle int { frac {1} {x { sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}} dx,}$

shledáváme ${ displaystyle t}$ pomocí první substituce Eulera, ${ displaystyle { sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} = { sqrt {1}} x + t = x + t}$. Srovnání obou stran rovnice nám dává ${ displaystyle x ^ {2} + 4x-4 = x ^ {2} + 2xt + t ^ {2}}$, ze kterého ${ displaystyle x ^ {2}}$ podmínky se zruší. Řešení pro ${ displaystyle x}$ výnosy

${ displaystyle x = { frac {t ^ {2} +4} {4-2t}}.}$

Odtamtud zjistíme, že diferenciály ${ displaystyle dx}$ a ${ displaystyle dt}$ jsou ve vztahu

${ displaystyle dx = { frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}}} dt.}$

Proto,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int { frac {dx} {x { sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}} & = int { frac { frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}}} {({ frac {t ^ {2} +4} {4-2t}}) ({ frac {-t ^ { 2} + 4t + 4} {4-2t}})}} dt [6pt] & = 2 int { frac {dt} {t ^ {2} +4}} = tan ^ {- 1 } left ({ frac {t} {2}} right) + C && t = { sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x [6pt] & = tan ^ {- 1 } left ({ frac {{ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x} {2}} right) + C end {zarovnáno}}}$

Příklady druhého Eulerova střídání

V integrálu

${ displaystyle int ! { frac {dx} {x { sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}}}}$

můžeme použít druhou substituci a set ${ displaystyle { sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} = xt + { sqrt {2}}}$. Tím pádem

${ displaystyle x = { frac {1-2 { sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} qquad dx = { frac {2 { sqrt {2}} t ^ { 2} -2t-2 { sqrt {2}}} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}} dt,}$

a

${ displaystyle { sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} = { frac {1-2 { sqrt {2t}}} {t ^ {2} +1}} t + { sqrt { 2}} = { frac {- { sqrt {2}} t ^ {2} + t + { sqrt {2}}} {t ^ {2} +1}}}$

V souladu s tím získáváme:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int { frac {dx} {x { sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}} & = int { frac { frac {2 { sqrt {2}} t ^ {2} -2t-2 { sqrt {2}}} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}} {{ frac {1-2 { sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} { frac {- { sqrt {2}} t ^ {2} + t + { sqrt {2}}} {t ^ {2} + 1}}}} dt [6pt] & = int ! { Frac {-2} {- 2 { sqrt {2}} t + 1}} dt = { frac {1} { sqrt {2}}} int { frac {-2 { sqrt {2}}} {- 2 { sqrt {2}} t + 1}} dt [6pt] & = { frac {1} { sqrt {2}}} ln { Biggl |} 2 { sqrt {2}} t-1 { Biggl |} + C = { frac { sqrt {2}} {2}} ln { Biggl |} 2 { sqrt {2}} { frac {{ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} - { sqrt {2}}} {x}} - 1 { Biggl |} + C end {zarovnáno}}}$

Příklady třetího Eulerova střídání

Vyhodnotit

${ displaystyle int ! { frac {x ^ {2}} { sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} dx,}$

můžeme použít třetí substituci a set ${ displaystyle { sqrt {- (x-2) (x-1)}} = (x-2) t}$. Tím pádem

${ displaystyle x = { frac {-2t ^ {2} -1} {- t ^ {2} -1}} qquad dx = { frac {2t} {(- t ^ {2} -1 ) ^ {2}}} , dt,}$

a

${ displaystyle { sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}} = (x-2) t = { frac {t} {- t ^ {2} -1.}}}$

Další,

${ displaystyle int { frac {x ^ {2}} { sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} dx = int { frac {({ frac {-2t ^ { 2} -1} {- t ^ {2} -1}}) ^ {2} { frac {2t} {(- t ^ {2} -1) ^ {2}}}} { frac {t } {- t ^ {2} -1}}} dt = int { frac {2 (-2t ^ {2} -1) ^ {2}} {((- - ^ {2} -1) ^ {2}) ^ {3}}} dt.}$

Jak vidíme, jedná se o racionální funkci, kterou lze vyřešit pomocí parciálních zlomků.

Zobecnění

Substituce Eulera lze zobecnit povolením použití imaginárních čísel. Například v integrálu ${ displaystyle textstyle int { frac {dx} { sqrt {-x ^ {2} + c}}}}$, střídání ${ displaystyle { sqrt {-x ^ {2} + c}} = pm ix + t}$ může být použito. Rozšíření komplexních čísel nám umožňuje použít každý typ Eulerovy substituce bez ohledu na koeficienty na kvadratické.

Substituce Euler lze zobecnit na větší třídu funkcí. Zvažte integrály formuláře

${ displaystyle int R_ {1} { Big (} x, { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} { Big)} log { Big (} R_ {2} { Big (} x, { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} { Big)} { Big)} , dx,}$

kde ${ displaystyle R_ {1}}$ a ${ displaystyle R_ {2}}$ jsou racionální funkce ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$. Tento integrál lze transformovat substitucí ${ displaystyle { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = { sqrt {a}} + xt}$ do jiného integrálu

${ displaystyle int { tilde {R}} _ {1} (t) log { big (} { tilde {R}} _ {2} (t) { big)} , dt,}$

kde ${ displaystyle { tilde {R}} _ {1} (t)}$ a ${ displaystyle { tilde {R}} _ {2} (t)}$ jsou nyní jednoduše racionální funkce ${ displaystyle t}$. V zásadě, faktorizace a rozklad částečné frakce lze použít k rozdělení integrálu na jednoduché termíny, které lze integrovat analyticky pomocí dilogaritmus funkce.^[2]

Viz také

• Integrace substitucí
• Trigonometrická substituce
• Střídání Weierstrassem

Reference

Tento článek obsahuje materiál z Eulers Substitutions For Integration PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.