Racionální funkce - Rational function

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a racionální funkce je jakýkoli funkce které lze definovat a racionální zlomek, což je algebraický zlomek takové, že čitatel i jmenovatel jsou polynomy. The koeficienty polynomů nemusí být racionální čísla; mohou být přijaty v jakékoli pole K.. V tomto případě se mluví o racionální funkci a racionálním zlomku nad K.. Hodnoty proměnné lze použít v jakémkoli oboru L obsahující K.. Pak doména funkce je množina hodnot proměnných, pro které jmenovatel není nula, a codomain je L.

Sada racionálních funkcí nad polem K. je pole, pole zlomků z prsten z polynomiální funkce přes K..

Definice

Funkce ${ displaystyle f (x)}$ racionální funkce se nazývá právě tehdy, pokud ji lze zapsat do formuláře

${ displaystyle f (x) = { frac {P (x)} {Q (x)}}}$

kde ${ displaystyle P ,}$ a ${ displaystyle Q ,}$ jsou polynomiální funkce z ${ displaystyle x ,}$ a ${ displaystyle Q ,}$ není nulová funkce. The doména z ${ displaystyle f ,}$ je množina všech hodnot ${ displaystyle x ,}$ pro které je jmenovatel ${ displaystyle Q (x) ,}$ není nula.

Pokud však ${ displaystyle textový styl P}$ a ${ displaystyle textstyle Q}$ mít nekonstantní polynomiální největší společný dělitel ${ displaystyle textstyle R}$, pak nastavení ${ displaystyle textstyle P = P_ {1} R}$ a ${ displaystyle textstyle Q = Q_ {1} R}$ produkuje racionální funkci

${ displaystyle f_ {1} (x) = { frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}},}$

které mohou mít větší doménu než ${ displaystyle f (x)}$, a rovná se ${ displaystyle f (x)}$ na doméně ${ displaystyle f (x).}$ Identifikovat se běžně používá ${ displaystyle f (x)}$ a ${ displaystyle f_ {1} (x)}$, to znamená rozšířit "kontinuitou" doménu ${ displaystyle f (x)}$ k tomu z ${ displaystyle f_ {1} (x).}$ Racionální zlomek lze definovat jako třída ekvivalence zlomků polynomů, kde dva zlomky ${ displaystyle { frac {A (x)} {B (x)}}}$ a ${ displaystyle { frac {C (x)} {D (x)}}}$ jsou považovány za rovnocenné, pokud ${ displaystyle A (x) D (x) = B (x) C (x)}$. V tomto případě ${ displaystyle { frac {P (x)} {Q (x)}}}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle { frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}}}$.

A správná racionální funkce je racionální funkce, ve které stupeň z ${ displaystyle P (x)}$ není větší než stupeň ${ displaystyle Q (x)}$ a oba jsou skutečné polynomy.^[1]

Stupeň

Existuje několik neekvivalentních definic stupně racionální funkce.

Nejčastěji stupeň racionální funkce je maximum z stupňů jejích základních polynomů P a Q, když je zlomek snížen na nejnižší termíny. Pokud je stupeň F je d, pak rovnice

${ displaystyle f (z) = w ,}$

má d odlišná řešení v z kromě určitých hodnot w, volala kritické hodnoty, kde se shodují dvě nebo více řešení nebo kde je nějaké řešení odmítnuto v nekonečnu (tj. když se stupeň rovnice sníží po vyčistil jmenovatele ).

V případě komplex koeficienty, racionální funkce s prvním stupněm je a Möbiova transformace.

The stupeň grafu racionální funkce není stupeň, jak je definován výše: je to maximum stupně čitatele a jeden plus stupeň jmenovatele.

V některých kontextech, například v asymptotická analýza, stupeň racionální funkce je rozdíl mezi stupni čitatele a jmenovatele.

v syntéza sítě a síťová analýza, racionální funkce stupně dva (tj. poměr dvou polynomů stupně nejvýše dvou) se často nazývá a dvojkvadratická funkce.^[2]

Příklady

Příklady racionálních funkcí

Racionální funkce stupně 3 s grafem stupeň 3: ${ displaystyle y = { frac {x ^ {3} -2x} {2 (x ^ {2} -5)}}}$

Racionální funkce stupně 2 s grafem stupeň 3: ${ displaystyle y = { frac {x ^ {2} -3x-2} {x ^ {2} -4}}}$

Racionální funkce

${ displaystyle f (x) = { frac {x ^ {3} -2x} {2 (x ^ {2} -5)}}}$

není definováno v

${ displaystyle x ^ {2} = 5 Leftrightarrow x = pm { sqrt {5}}.}$

Je asymptotické ${ displaystyle { tfrac {x} {2}}}$ tak jako ${ displaystyle x to infty.}$

Racionální funkce

${ displaystyle f (x) = { frac {x ^ {2} +2} {x ^ {2} +1}}}$

je definován pro všechny reálná čísla, ale ne pro všechny komplexní čísla, protože pokud X byly druhou odmocninou z ${ displaystyle -1}$ (tj imaginární jednotka nebo jeho zápor), pak by formální hodnocení vedlo k dělení nulou:

${ displaystyle f (i) = { frac {i ^ {2} +2} {i ^ {2} +1}} = { frac {-1 + 2} {- 1 + 1}} = { frac {1} {0}},}$

což je nedefinováno.

A konstantní funkce jako F(X) = π je racionální funkce, protože konstanty jsou polynomy. Samotná funkce je racionální, i když hodnota z F(X) je pro všechny iracionální X.

Každý polynomiální funkce ${ displaystyle f (x) = P (x)}$ je racionální funkce s ${ displaystyle Q (x) = 1.}$ Funkce, kterou nelze zapsat v této podobě, například ${ displaystyle f (x) = sin (x),}$ není racionální funkce. Přídavné jméno „iracionální“ se pro funkce obecně nepoužívá.

Racionální funkce ${ displaystyle f (x) = { tfrac {x} {x}}}$ se rovná 1 pro všechny X kromě 0, kde je a odnímatelná singularita. Součet, součin nebo podíl (s výjimkou dělení nulovým polynomem) dvou racionálních funkcí je sám o sobě racionální funkcí. Proces redukce na standardní formu však může neúmyslně vést k odstranění takových singularit, pokud nebude věnována pozornost. Použití definice racionálních funkcí jako tříd ekvivalence to obchází, protože X/X odpovídá 1/1.

Taylor série

Koeficienty a Taylor série jakékoli racionální funkce uspokojí a lineární relace rekurence, které lze nalézt přirovnáním racionální funkce k Taylorově řadě s neurčitými koeficienty a sběrem jako termíny po vymazání jmenovatele.

Například,

${ displaystyle { frac {1} {x ^ {2} -x + 2}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

Násobení jmenovatelem a distribuce,

${ displaystyle 1 = (x ^ {2} -x + 2) součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} x ^ {k}}$

${ displaystyle 1 = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} x ^ {k + 2} - součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} x ^ { k + 1} +2 sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

Po úpravě indexů součtů získáte stejné síly X, dostaneme

${ displaystyle 1 = součet _ {k = 2} ^ { infty} a_ {k-2} x ^ {k} - součet _ {k = 1} ^ { infty} a_ {k-1} x ^ {k} +2 sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

Kombinace podobných výrazů dává

${ displaystyle 1 = 2a_ {0} + (2a_ {1} -a_ {0}) x + součet _ {k = 2} ^ { infty} (a_ {k-2} -a_ {k-1} + 2a_ {k}) x ^ {k}.}$

Protože to platí pro všechny X v poloměru konvergence původní Taylorovy řady můžeme počítat následovně. Protože konstantní termín vlevo se musí rovnat konstantnímu členu vpravo, z toho vyplývá

${ displaystyle a_ {0} = { frac {1} {2}}.}$

Potom, protože neexistují žádné pravomoci X nalevo, všechny koeficienty vpravo musí být nula, z čehož to vyplývá

${ displaystyle a_ {1} = { frac {1} {4}}}$

${ displaystyle a_ {k} = { frac {1} {2}} (a_ {k-1} -a_ {k-2}) quad pro k geq 2.}$

Naopak jakákoli sekvence, která splňuje lineární opakování, určuje racionální funkci, je-li použita jako koeficient Taylorovy řady. To je užitečné při řešení takových opakování, protože pomocí rozklad částečné frakce můžeme napsat jakoukoli správnou racionální funkci jako součet faktorů formy 1 / (sekera + b) a rozšířit je jako geometrické řady, s výslovným vzorcem pro Taylorovy koeficienty; toto je metoda generující funkce.

Abstraktní algebra a geometrický pojem

v abstraktní algebra pojem polynomu je rozšířen o formální výrazy, ve kterých lze koeficienty polynomu převzít z libovolného pole. V tomto nastavení dané pole F a některé neurčité X, a racionální výraz je jakýkoli prvek pole zlomků z polynomiální kruh F[X]. Jakýkoli racionální výraz lze zapsat jako kvocient dvou polynomů P/Q s Q ≠ 0, i když toto znázornění není jedinečné. P/Q je ekvivalentní k R/S, pro polynomy P, Q, R, a S, když PS = QR. Nicméně od té doby F[X] je jedinečná faktorizační doména, tady je jedinečné zastoupení pro jakýkoli racionální výraz P/Q s P a Q polynomy nejnižšího stupně a Q se rozhodl být monic. To je podobné tomu, jak a zlomek celých čísel lze vždy zapsat jednoznačně v nejnižších termínech zrušením běžných faktorů.

Pole racionálních výrazů je označeno F(X). Toto pole se říká, že je generováno (jako pole) znovu F podle (a transcendentální prvek ) X, protože F(X) neobsahuje žádné správné podpole obsahující obě F a prvek X.

Složité racionální funkce

v komplexní analýza, racionální funkce

${ displaystyle f (z) = { frac {P (z)} {Q (z)}}}$

je poměr dvou polynomů se složitými koeficienty, kde Q není nulový polynom a P a Q nemají žádný společný faktor (tomu se vyhneme F s neurčitou hodnotou 0/0).

Doména F je sada komplexních čísel taková, že ${ displaystyle Q (z) neq 0,}$ a jeho rozsah je množina komplexních čísel w takhle ${ displaystyle P (z) neq wQ (z).}$

Každou racionální funkci lze přirozeně rozšířit na funkci, jejíž doména a rozsah jsou celek Riemannova koule (komplexní projektivní linie ).

Racionální funkce jsou reprezentativní příklady meromorfní funkce.

Pojem racionální funkce na algebraické varietě

Jako polynomy, lze racionální výrazy také zobecnit na n neurčí X₁,..., X_n, tím, že vezmeme pole zlomků F[X₁,..., X_n], který je označen F(X₁,..., X_n).

V algebraické geometrii se používá rozšířená verze abstraktní myšlenky racionální funkce. Tady funkční pole algebraické odrůdy PROTI je tvořeno jako pole zlomků souřadnicový kruh z PROTI (přesněji řečeno, zariski hustý afinní otevřený soubor PROTI). Jeho prvky F jsou považovány za běžné funkce ve smyslu algebraické geometrie na neprázdných otevřených množinách U, a také může být viděn jako morfismus k projektivní linie.

Aplikace

S těmito objekty se poprvé setkáte v školní algebra. V pokročilejší matematice hrají důležitou roli teorie prstenů, zejména při stavbě rozšíření pole. Poskytují také příklad a nonarchimedean pole (vidět Archimédův majetek ).

Racionální funkce se používají v numerická analýza pro interpolace a přiblížení funkcí, například Aproximace Padé představil Henri Padé. Aproximace z hlediska racionálních funkcí jsou velmi vhodné systémy počítačové algebry a další číselné software. Stejně jako polynomy je lze hodnotit přímo a zároveň vyjadřují rozmanitější chování než polynomy.

Racionální funkce se používají k aproximaci nebo modelování složitějších rovnic ve vědě a inženýrství, včetně polí a sil ve fyzice, spektroskopie v analytické chemii, kinetiky enzymů v biochemii, elektronických obvodů, aerodynamiky, koncentrací léčiv in vivo, vlnových funkcí pro atomy a molekuly, optiky a fotografie ke zlepšení rozlišení obrazu, akustiky a zvuku^{[Citace je zapotřebí ]}.

v zpracování signálu, Laplaceova transformace (pro spojité systémy) nebo z-transformace (pro systémy s diskrétním časem) impulsní odezva běžně používaných lineární časově invariantní systémy (filtry) s nekonečná impulzní odezva jsou racionální funkce nad komplexními čísly.

Viz také

• Pole zlomků
• Rozklad částečné frakce
• Dílčí zlomky v integraci
• Funkční pole algebraické odrůdy
• Algebraické zlomky - zobecnění racionálních funkcí, které umožňuje převzetí celočíselných kořenů

Reference

• "Racionální funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Press, W.H .; Teukolsky, S.A .; Vetterling, W.T .; Flannery, B.P. (2007), „Oddíl 3.4. Interpolace a extrapolace racionálních funkcí“, Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8

externí odkazy

• Dynamická vizualizace racionálních funkcí pomocí JSXGraph