Tento článek je o metodě v počtu. Pro další použití viz
Reciproční.
v počet, vzájemné pravidlo dává derivát reciproční funkce F pokud jde o derivátF. Reciproční pravidlo lze použít k prokázání, že pravidlo moci platí pro záporné exponenty, pokud již byla pro pozitivní exponenty stanovena. Lze také snadno odvodit pravidlo kvocientu z vzájemného pravidla a produktové pravidlo.
Reciproční pravidlo uvádí, že pokud F je rozlišitelný v určitém okamžiku X a F(X) â ‰ 0 pak g (X) = 1/F(X) je také rozlišitelný na X a

Důkaz
Tento důkaz se opírá o premisu, že
je diferencovatelný v
a na teorém, že
je pak také nutně kontinuální tam. Použití definice derivátu
v
s
dává

Limit tohoto produktu existuje a rovná se součtu stávajících limitů jeho faktorů:

Z důvodu rozlišitelnosti
v
první limit se rovná
a kvůli
a kontinuita
v
druhý limit rovná se
čímž se vzdává

Slabé vzájemné pravidlo, které algebraicky vyplývá z pravidla produktu
Lze tvrdit, že od té doby

to říká pravidlo produktu

a to lze algebraicky přeskupit

To však nedokazuje, že 1 /F je diferencovatelný vX; platí pouze při rozlišitelnosti 1 /F v X je již zavedena. Tímto způsobem je to slabší výsledek než výše uvedené reciproční pravidlo. V kontextu diferenciální algebra, ve kterém není nic, co by nebylo diferencovatelné, a ve kterém nejsou deriváty definovány limity, je tímto způsobem stanoveno pravidlo vzájemnosti a obecnější pravidlo kvocientu.
Aplikace na zobecnění pravidla moci
Často vládne moc, která to uvádí
, se prokazuje metodami, které jsou platné, pouze když n je nezáporné celé číslo. To lze rozšířit na záporná celá čísla n necháním
, kde m je kladné celé číslo.

Aplikace na důkaz pravidla kvocientu
Reciproční pravidlo je zvláštním případem pravidla kvocientu, které uvádí, že pokud F a G jsou diferencovatelné na X a G(X) â ‰ 0 tedy
![{displaystyle {frac {d} {dx}}, left [{frac {f (x)} {g (x)}} ight] = {frac {g (x) f, '(x) -f (x) g '(x)} {[g (x)] ^ {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8796d779957e4cbcd36d6db3cbabb756de532d1)
Pravidlo kvocientu lze prokázat písemně

a poté nejprve aplikovat pravidlo produktu a poté použít reciproční pravidlo na druhý faktor.
![{displaystyle {egin {aligned} {frac {d} {dx}} vlevo [{frac {f (x)} {g (x)}} ight] & = {frac {d} {dx}} vlevo [f ( x) cdot {frac {1} {g (x)}} ight] & = f '(x) cdot {frac {1} {g (x)}} + f (x) cdot {frac {d} { dx}} left [{frac {1} {g (x)}} ight] & = f '(x) cdot {frac {1} {g (x)}} + f (x) cdot left [{frac {-g '(x)} {g (x) ^ {2}}} ight] & = {frac {f' (x)} {g (x)}} - {frac {f (x) g ' (x)} {[g (x)] ^ {2}}} & = {frac {f '(x) g (x) -f (x) g' (x)} {[g (x)] ^ {2}}}. Konec {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beed5ab1507340a9c2a4b3be1568d392d5602b3f)
Aplikace na diferenciaci trigonometrických funkcí
Použitím vzájemného pravidla lze najít derivaci funkcí secant a kosekans.
Pro funkci secant:

S kosekantem se zachází podobně:

Viz také