Seznam integrálů racionálních funkcí - List of integrals of rational functions

Následuje seznam integrály (primitivní funkce) z racionální funkce. Libovolnou racionální funkci lze integrovat pomocí rozklad částečné frakce funkce do součtu funkcí formuláře:

${ displaystyle { frac {a} {(x-b) ^ {n}}}}$, a ${ displaystyle { frac {ax + b} { left ((x-c) ^ {2} + d ^ {2} right) ^ {n}}}.}$

které pak mohou být integrovány po jednotlivých termínech.

Další typy funkcí viz seznamy integrálů.

Různé integrands

${ displaystyle int { frac {f '(x)} {f (x)}} , dx = ln vlevo | f (x) vpravo | + C}$

${ displaystyle int { frac {1} {x ^ {2} + a ^ {2}}} , dx = { frac {1} {a}} arctan { frac {x} {a} } , ! + C}$

${ displaystyle int { frac {1} {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx = { frac {1} {2a}} ln left | { frac {xa} {x + a}} right | + C = { begin {cases} displaystyle - { frac {1} {a}} , operatorname {artanh} { frac {x} {a}} + C = { frac {1} {2a}} ln { frac {ax} {a + x}} + C & { text {(pro}} | x | <| a | { mbox {)}} [12pt] displaystyle - { frac {1} {a}} , operatorname {arcoth} { frac {x} {a}} + C = { frac {1} {2a}} ln { frac {xa} {x + a}} + C & { text {(pro}} | x |> | a | { mbox {)}} end {případy}}}$

${ displaystyle int { frac {1} {a ^ {2} -x ^ {2}}} , dx = { frac {1} {2a}} ln left | { frac {a + x} {ax}} right | + C = { begin {cases} displaystyle { frac {1} {a}} , operatorname {artanh} { frac {x} {a}} + C = { frac {1} {2a}} ln { frac {a + x} {ax}} + C & { text {(pro}} | x | <| a | { mbox {)}} [12pt] displaystyle { frac {1} {a}} , operatorname {arcoth} { frac {x} {a}} + C = { frac {1} {2a}} ln { frac {x + a} {xa}} + C & { text {(pro}} | x |> | a | { mbox {)}} end {případy}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {x ^ {2 ^ {n}} + 1}} = { frac {1} {2 ^ {n-1}}} součet _ {k = 1} ^ {2 ^ {n-1}} sin left ({ frac {2k-1} {2 ^ {n}}} pi right) arctan left [ left (x- cos left ({ frac {2k-1} {2 ^ {n}}} pi right) right) csc left ({ frac {2k-1} {2 ^ {n}}} pi right ) right] - { frac {1} {2}} cos left ({ frac {2k-1} {2 ^ {n}}} pi right) ln left | x ^ {2 } -2x cos left ({ frac {2k-1} {2 ^ {n}}} pi right) +1 right | + C}$

Integrands formuláře X^m(a x + b)ⁿ

Mnoho následujících antiderivativ má výraz ve formě ln |sekera + b|. Protože to není definováno, když X = −b / A, nejobecnější forma antiderivativu nahrazuje konstanta integrace s lokálně konstantní funkce.^[1] Je však obvyklé to z notace vynechat. Například,

${ displaystyle int { frac {1} {sekera + b}} , dx = { začátek {případů} { dfrac {1} {a}} ln (- (sekera + b)) + C ^ {-} & ax + b <0 { dfrac {1} {a}} ln (ax + b) + C ^ {+} & ax + b> 0 end {případů}}}$

je obvykle zkrácen jako

${ displaystyle int { frac {1} {sekera + b}} , dx = { frac {1} {a}} ln doleva | ax + b doprava | + C,}$

kde C je třeba chápat jako zápis pro lokálně konstantní funkci X. Tato konvence bude dodržena v následujícím textu.

${ displaystyle int (sekera + b) ^ {n} , dx = { frac {(sekera + b) ^ {n + 1}} {a (n + 1)}} + C qquad { text {(pro}} n neq -1 { mbox {)}}}$ (Cavalieriho kvadraturní vzorec )

${ displaystyle int { frac {x} {sekera + b}} , dx = { frac {x} {a}} - { frac {b} {a ^ {2}}} ln vlevo | sekera + b doprava | + C}$

${ displaystyle int { frac {mx + n} {ax + b}} , dx = { frac {m} {a}} x + { frac {an-bm} {a ^ {2}}} ln left | ax + b right | + C}$

${ displaystyle int { frac {x} {(sekera + b) ^ {2}}} , dx = { frac {b} {a ^ {2} (sekera + b)}} + { frac {1} {a ^ {2}}} ln left | ax + b right | + C}$

${ displaystyle int { frac {x} {(sekera + b) ^ {n}}} , dx = { frac {a (1-n) xb} {a ^ {2} (n-1) (n-2) (ax + b) ^ {n-1}}} + C qquad { text {(pro}} n ne v {1,2 } { mbox {)}}}$

${ displaystyle int x (ax + b) ^ {n} , dx = { frac {a (n + 1) xb} {a ^ {2} (n + 1) (n + 2)}} ( sekera + b) ^ {n + 1} + C qquad { text {(pro}} n ne v {- 1, -2 } { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2}} {ax + b}} , dx = { frac {b ^ {2} ln ( left | ax + b right |)} {a ^ {3}}} + { frac {ax ^ {2} -2bx} {2a ^ {2}}} + C}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2}} {(sekera + b) ^ {2}}} , dx = { frac {1} {a ^ {3}}} vlevo (ax- 2b ln left | ax + b right | - { frac {b ^ {2}} {ax + b}} right) + C}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2}} {(sekera + b) ^ {3}}} , dx = { frac {1} {a ^ {3}}} vlevo ( ln left | ax + b right | + { frac {2b} {ax + b}} - { frac {b ^ {2}} {2 (ax + b) ^ {2}}} right) + C}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2}} {(sekera + b) ^ {n}}} , dx = { frac {1} {a ^ {3}}} vlevo (- { frac {(ax + b) ^ {3-n}} {(n-3)}} + { frac {2b (ax + b) ^ {2-n}} {(n-2)}} - { frac {b ^ {2} (ax + b) ^ {1-n}} {(n-1)}} vpravo) + C qquad { text {(pro}} n ne v {1,2,3 } { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {1} {x (ax + b)}} , dx = - { frac {1} {b}} ln left | { frac {ax + b} {x }} doprava | + C}$

${ displaystyle int { frac {1} {x ^ {2} (ax + b)}} , dx = - { frac {1} {bx}} + { frac {a} {b ^ { 2}}} ln left | { frac {ax + b} {x}} right | + C}$

${ displaystyle int { frac {1} {x ^ {2} (ax + b) ^ {2}}} , dx = -a left ({ frac {1} {b ^ {2} ( ax + b)}} + { frac {1} {ab ^ {2} x}} - { frac {2} {b ^ {3}}} ln left | { frac {ax + b} {x}} vpravo | vpravo) + C}$

Integrands formuláře X^m / (a x² + b x + C)ⁿ

Pro ${ displaystyle a neq 0:}$

${ displaystyle int { frac {1} {ax ^ {2} + bx + c}} dx = { begin {cases} displaystyle { frac {2} { sqrt {4ac-b ^ {2} }}} arctan { frac {2ax + b} { sqrt {4ac-b ^ {2}}}} + C & { text {(pro}} 4ac-b ^ {2}> 0 { mbox { )}} [12pt] displaystyle { frac {1} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} ln left | { frac {2ax + b - { sqrt {b ^ { 2} -4ac}}} {2ax + b + { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} vpravo | + C = { begin {cases} displaystyle - { frac {2} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} , operatorname {artanh} { frac {2ax + b} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} + C & { text {(pro}} | 2ax + b | <{ sqrt {b ^ {2} -4ac}} { mbox {)}} [6pt] displaystyle - { frac {2} { sqrt {b ^ {2} - 4ac}}} , operatorname {arcoth} { frac {2ax + b} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} + C & { text {(else)}} end {případy}} & { text {(pro}} 4ac-b ^ {2} <0 { mbox {)}} [12pt] displaystyle - { frac {2} {2ax + b}} + C & { text {(pro}} 4ac-b ^ {2} = 0 { mbox {)}} end {případů}}}$

${ displaystyle int { frac {x} {ax ^ {2} + bx + c}} , dx = { frac {1} {2a}} ln left | ax ^ {2} + bx + c vpravo | - { frac {b} {2a}} int { frac {dx} {ax ^ {2} + bx + c}} + C}$

${ displaystyle int { frac {mx + n} {ax ^ {2} + bx + c}} , dx = { begin {cases} displaystyle { frac {m} {2a}} ln left | ax ^ {2} + bx + c right | + { frac {2an-bm} {a { sqrt {4ac-b ^ {2}}}}} arctan { frac {2ax + b} { sqrt {4ac-b ^ {2}}}} + C & { text {(pro}} 4ac-b ^ {2}> 0 { mbox {)}} [12pt] displaystyle { frac {m} {2a}} ln left | ax ^ {2} + bx + c right | + { frac {2an-bm} {2a { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} ln left | { frac {2ax + b - { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2ax + b + { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} right | + C = { begin {cases} displaystyle { frac {m} {2a}} ln left | ax ^ {2} + bx + c right | - { frac {2an-bm} {a { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} , operatorname {artanh} { frac {2ax + b} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} + C & { text {(pro }} | 2ax + b | <{ sqrt {b ^ {2} -4ac}} { mbox {)}} [6pt] displaystyle { frac {m} {2a}} ln vlevo | ax ^ {2} + bx + c right | - { frac {2an-bm} {a { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} , operatorname {arcoth} { frac {2ax + b} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} + C & { text {(else)}} end {cases}} & { text {(for}} 4ac-b ^ {2} <0 { mbox {)}} [12pt] displaystyle { frac {m} {2a}} ln left | ax ^ {2} + bx + c right | - { frac {2an- bm} {a (2ax + b)}} + C = { frac {m} {a}} ln left | x + { frac {b} {2a}} doprava | - { frac {2an-bm} {a (2ax + b)}} + C & { text {(pro}} 4ac-b ^ {2} = 0 { mbox {)}} end {cases}}}$

${ displaystyle int { frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} , dx = { frac {2ax + b} {(n-1) (4ac- b ^ {2}) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}}} + { frac {(2n-3) 2a} {(n-1) (4ac-b ^ {2 })}} int { frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}}} , dx + C}$

${ displaystyle int { frac {x} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} , dx = - { frac {bx + 2c} {(n-1) (4ac -b ^ {2}) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}}} - { frac {b (2n-3)} {(n-1) (4ac-b ^ { 2})}} int { frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}}} , dx + C}$

${ displaystyle int { frac {1} {x (ax ^ {2} + bx + c)}} , dx = { frac {1} {2c}} ln left | { frac {x ^ {2}} {ax ^ {2} + bx + c}} vpravo | - { frac {b} {2c}} int { frac {1} {ax ^ {2} + bx + c} } , dx + C}$

Integrands formuláře X^m (A + b xⁿ)^p

• Výsledná celá čísla mají stejnou formu jako původní celá čísla, takže tyto redukční vzorce lze opakovaně použít k řízení exponentů m a p směrem k 0.
• Tyto redukční vzorce lze použít pro celá čísla s celočíselnými a / nebo zlomkovými exponenty.

${ displaystyle int x ^ {m} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p} dx = { frac {x ^ {m + 1} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p}} {m + n , p + 1}} , + , { frac {a , n , p} {m + n , p + 1}} int x ^ {m} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p-1} dx}$

${ displaystyle int x ^ {m} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p} dx = - { frac {x ^ {m + 1} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p + 1}} {a , n (p + 1)}} , + , { frac {m + n (p + 1) +1} { a , n (p + 1)}} int x ^ {m} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p + 1} dx}$

${ displaystyle int x ^ {m} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p} dx = { frac {x ^ {m + 1} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p}} {m + 1}} , - , { frac {b , n , p} {m + 1}} int x ^ {m + n} left (a + b , x ^ {n} right) ^ {p-1} dx}$

${ displaystyle int x ^ {m} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p} dx = { frac {x ^ {m-n + 1} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p + 1}} {b , n (p + 1)}} , - , { frac {m-n + 1} {b , n (p + 1)}} int x ^ {mn} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p + 1} dx}$

${ displaystyle int x ^ {m} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p} dx = { frac {x ^ {m-n + 1} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p + 1}} {b (m + n , p + 1)}} , - , { frac {a (m-n + 1)} {b (m + n , p + 1)}} int x ^ {mn} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p} dx}$

${ displaystyle int x ^ {m} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p} dx = { frac {x ^ {m + 1} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p + 1}} {a (m + 1)}} , - , { frac {b (m + n (p + 1) +1)} {a (m + 1)}} int x ^ {m + n} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p} dx}$

Integrands formuláře (A + B x) (A + b x)^m (C + d x)ⁿ (E + f x)^p

• Výsledná celá čísla mají stejnou formu jako původní celá čísla, takže tyto redukční vzorce lze opakovaně použít k řízení exponentů m, n a p směrem k 0.
• Tyto redukční vzorce lze použít pro celá čísla s celočíselnými a / nebo zlomkovými exponenty.
• Pro celá čísla formuláře lze použít speciální případy těchto redukčních vzorců ${ displaystyle (a + b , x) ^ {m} (c + d , x) ^ {n} (e + f , x) ^ {p}}$ nastavením B na 0.

${ displaystyle int (A + B , x) (a + b , x) ^ {m} (c + d , x) ^ {n} (e + f , x) ^ {p} dx = - { frac {(A , ba , B) (a + b , x) ^ {m + 1} (c + d , x) ^ {n} (e + f , x) ^ {p + 1}} {b (m + 1) (a , fb , e)}} , + , { frac {1} {b (m + 1) (a , fb , e )}} , cdot}$

${ Displaystyle int (b , c (m + 1) (A , fB , e) + (A , ba , B) (n , d , e + c , f (p + 1)) + d (b (m + 1) (A , fB , e) + f (n + p + 1) (A , ba , B)) x) (a + b , x) ^ {m + 1} (c + d , x) ^ {n-1} (e + f , x) ^ {p} dx}$

${ displaystyle int (A + B , x) (a + b , x) ^ {m} (c + d , x) ^ {n} (e + f , x) ^ {p} dx = { frac {B (a + b , x) ^ {m} (c + d , x) ^ {n + 1} (e + f , x) ^ {p + 1}} {d , f (m + n + p + 2)}} , + , { frac {1} {d , f (m + n + p + 2)}} , cdot}$

${ Displaystyle int (A , a , d , f (m + n + p + 2) -B (b , c , e , m + a (d , e (n + 1) + c , f (p + 1))) + (A , b , d , f (m + n + p + 2) + B (a , d , f , mb (d , e (m + n + 1) + c , f (m + p + 1)))) x) (a + b , x) ^ {m-1} (c + d , x) ^ {n } (e + f , x) ^ {p} dx}$

${ displaystyle int (A + B , x) (a + b , x) ^ {m} (c + d , x) ^ {n} (e + f , x) ^ {p} dx = { frac {(A , ba , B) (a + b , x) ^ {m + 1} (c + d , x) ^ {n + 1} (e + f , x) ^ {p + 1}} {(m + 1) (a , db , c) (a , fb , e)}} , + , { frac {1} {(m + 1) (a , db , c) (a , fb , e)}} , cdot}$

${ Displaystyle int ((m + 1) (A (a , d , fb (c , f + d , e)) + B , b , c , e) - (A , ba , B) (d , e (n + 1) + c , f (p + 1)) - d , f (m + n + p + 3) (A , ba , B) x ) (a + b , x) ^ {m + 1} (c + d , x) ^ {n} (e + f , x) ^ {p} dx}$

Integrands formuláře X^m (A + B xⁿ) (A + b xⁿ)^p (C + d xⁿ)^q

• Výsledná celá čísla mají stejnou formu jako původní celá čísla, takže tyto redukční vzorce lze opakovaně použít k řízení exponentů m, p a q směrem k 0.
• Tyto redukční vzorce lze použít pro celá čísla s celočíselnými a / nebo zlomkovými exponenty.
• Pro celá čísla formuláře lze použít speciální případy těchto redukčních vzorců ${ displaystyle left (a + b , x ^ {n} right) ^ {p} left (c + d , x ^ {n} right) ^ {q}}$ a ${ displaystyle x ^ {m} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p} vlevo (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q}}$ nastavením m a / nebo B na 0.

${ displaystyle int x ^ {m} left (A + B , x ^ {n} right) left (a + b , x ^ {n} right) ^ {p} left (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q} dx = - { frac {(A , ba , B) x ^ {m + 1} vlevo (a + b , x ^ { n} vpravo) ^ {p + 1} vlevo (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q}} {a , b , n (p + 1)}} , + , { frac {1} {a , b , n (p + 1)}} , cdot}$

${ displaystyle int x ^ {m} vlevo (c (A , b , n (p + 1) + (A , ba , B) (m + 1)) + d (A , b , n (p + 1) + (A , ba , B) (m + n , q + 1)) x ^ {n} vpravo) vlevo (a + b , x ^ {n} right) ^ {p + 1} left (c + d , x ^ {n} right) ^ {q-1} dx}$

${ displaystyle int x ^ {m} left (A + B , x ^ {n} right) left (a + b , x ^ {n} right) ^ {p} left (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q} dx = { frac {B , x ^ {m + 1} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ { p + 1} vlevo (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q}} {b (m + n (p + q + 1) +1)}} , + , { frac {1} {b (m + n (p + q + 1) +1)}} , cdot}$

${ displaystyle int x ^ {m} vlevo (c ((A , ba , B) (1 + m) + A , b , n (1 + p + q)) + (d (A , ba , B) (1 + m) + B , n , q (b , ca , d) + A , b , d , n (1 + p + q)) , x ^ {n} right) left (a + b , x ^ {n} right) ^ {p} left (c + d , x ^ {n} right) ^ {q-1} dx}$

${ displaystyle int x ^ {m} left (A + B , x ^ {n} right) left (a + b , x ^ {n} right) ^ {p} left (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q} dx = - { frac {(A , ba , B) x ^ {m + 1} vlevo (a + b , x ^ { n} vpravo) ^ {p + 1} vlevo (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q + 1}} {a , n (b , ca , d) (p +1)}} , + , { frac {1} {a , n (b , ca , d) (p + 1)}} , cdot}$

${ displaystyle int x ^ {m} vlevo (c (A , ba , B) (m + 1) + A , n (b , ca , d) (p + 1) + d ( A , ba , B) (m + n (p + q + 2) +1) x ^ {n} vpravo) vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p + 1} vlevo (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q} dx}$

${ displaystyle int x ^ {m} left (A + B , x ^ {n} right) left (a + b , x ^ {n} right) ^ {p} left (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q} dx = { frac {B , x ^ {m-n + 1} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p + 1} vlevo (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q + 1}} {b , d (m + n (p + q + 1) +1)}} , - , { frac {1} {b , d (m + n (p + q + 1) +1)}} , cdot}$

${ displaystyle int x ^ {mn} vlevo (a , B , c (m-n + 1) + (a , B , d (m + n , q + 1) -b (- B , c (m + n , p + 1) + A , d (m + n (p + q + 1) +1))) x ^ {n} vpravo) vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p} vlevo (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q} dx}$

${ displaystyle int x ^ {m} left (A + B , x ^ {n} right) left (a + b , x ^ {n} right) ^ {p} left (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q} dx = { frac {A , x ^ {m + 1} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ { p + 1} vlevo (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q + 1}} {a , c (m + 1)}} , + , { frac {1} {a , c (m + 1)}} , cdot}$

${ displaystyle int x ^ {m + n} vlevo (a , B , c (m + 1) -A (b , c + a , d) (m + n + 1) -A , n (b , c , p + a , d , q) -A , b , d (m + n (p + q + 2) +1) x ^ {n} vpravo) left (a + b , x ^ {n} right) ^ {p} left (c + d , x ^ {n} right) ^ {q} dx}$

${ displaystyle int x ^ {m} left (A + B , x ^ {n} right) left (a + b , x ^ {n} right) ^ {p} left (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q} dx = { frac {A , x ^ {m + 1} vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ { p + 1} vlevo (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q}} {a (m + 1)}} , - , { frac {1} {a (m + 1)}} , cdot}$

${ displaystyle int x ^ {m + n} vlevo (c (A , ba , B) (m + 1) + A , n (b , c (p + 1) + a , d , q) + d ((A , ba , B) (m + 1) + A , b , n (p + q + 1)) x ^ {n} vpravo) vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p} vlevo (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q-1} dx}$

${ displaystyle int x ^ {m} left (A + B , x ^ {n} right) left (a + b , x ^ {n} right) ^ {p} left (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q} dx = { frac {(A , ba , B) x ^ {m-n + 1} vlevo (a + b , x ^ {n} right) ^ {p + 1} left (c + d , x ^ {n} right) ^ {q + 1}} {b , n (b , ca , d) ( p + 1)}} , - , { frac {1} {b , n (b , ca , d) (p + 1)}} , cdot}$

${ displaystyle int x ^ {mn} vlevo (c (A , ba , B) (m-n + 1) + (d (A , ba , B) (m + n , q + 1) -b , n (B , cA , d) (p + 1)) x ^ {n} vpravo) vlevo (a + b , x ^ {n} vpravo) ^ {p + 1} vlevo (c + d , x ^ {n} vpravo) ^ {q} dx}$

Integrované značky formuláře (d + e x)^m (A + b x + c x²)^p když b² − 4 a c = 0

• Výsledná celá čísla mají stejnou formu jako původní celá čísla, takže tyto redukční vzorce lze opakovaně použít k řízení exponentů m a p směrem k 0.
• Tyto redukční vzorce lze použít pro celá čísla s celočíselnými a / nebo zlomkovými exponenty.
• Pro celá čísla formuláře lze použít speciální případy těchto redukčních vzorců ${ displaystyle left (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p}}$ když ${ displaystyle b ^ {2} -4 , a , c = 0}$ nastavením m na 0.

${ displaystyle int (d + e , x) ^ {m} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p} dx = { frac {(d + e , x) ^ {m + 1} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p}} {e (m + 1)}} , - , { frac {p (d + e , x) ^ {m + 2} (b + 2c , x) vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p-1}} {e ^ {2} (m + 1) (m + 2p + 1)}} , + , { frac {p (2p-1) (2c , db , e )} {e ^ {2} (m + 1) (m + 2p + 1)}} int (d + e , x) ^ {m + 1} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p-1} dx}$

${ displaystyle int (d + e , x) ^ {m} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p} dx = { frac {(d + e , x) ^ {m + 1} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p}} {e (m + 1)}} , - , { frac {p (d + e , x) ^ {m + 2} (b + 2 , c , x) vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} right) ^ {p-1}} {e ^ {2} (m + 1) (m + 2)}} , + , { frac {2 , c , p , (2 , p-1)} {e ^ {2} (m + 1) (m + 2)}} int (d + e , x) ^ {m + 2} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p-1} dx}$

${ displaystyle int (d + e , x) ^ {m} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} doprava) ^ {p} dx = - { frac {e (m + 2p + 2) (d + e , x) ^ {m} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p + 1}} {(p +1) (2p + 1) (2c , db , e)}} , + , { frac {(d + e , x) ^ {m + 1} (b + 2c , x) left (a + b , x + c , x ^ {2} right) ^ {p}} {(2p + 1) (2c , db , e)}} , + , { frac {e ^ {2} m (m + 2p + 2)} {(p + 1) (2p + 1) (2c , db , e)}} int (d + e , x) ^ { m-1} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p + 1} dx}$

${ displaystyle int (d + e , x) ^ {m} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} doprava) ^ {p} dx = - { frac {e , m (d + e , x) ^ {m-1} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p + 1}} {2c (p + 1) (2p + 1)}} , + , { frac {(d + e , x) ^ {m} (b + 2c , x) vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p}} {2c (2p + 1)}} , + , { frac {e ^ {2} m (m-1)} {2c (p + 1 ) (2p + 1)}} int (d + e , x) ^ {m-2} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p + 1 } dx}$

${ displaystyle int (d + e , x) ^ {m} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p} dx = { frac {(d + e , x) ^ {m + 1} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p}} {e (m + 2p + 1)}} , - , { frac {p (2c , db , e) (d + e , x) ^ {m + 1} (b + 2c , x) vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p-1}} {2c , e ^ {2} (m + 2p) (m + 2p + 1)}} , + , { frac { p (2p-1) (2c , db , e) ^ {2}} {2c , e ^ {2} (m + 2p) (m + 2p + 1)}} int (d + e , x) ^ {m} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p-1} dx}$

${ displaystyle int (d + e , x) ^ {m} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} doprava) ^ {p} dx = - { frac {2c , e (m + 2p + 2) (d + e , x) ^ {m + 1} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p + 1 }} {(p + 1) (2p + 1) (2c , db , e) ^ {2}}} , + , { frac {(d + e , x) ^ {m + 1 } (b + 2c , x) vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p}} {(2p + 1) (2c , db , e) }} , + , { frac {2c , e ^ {2} (m + 2p + 2) (m + 2p + 3)} {(p + 1) (2p + 1) (2c , db , e) ^ {2}}} int (d + e , x) ^ {m} vlevo (a + b , x + c , x ^ {2} vpravo) ^ {p + 1 } dx}$