Kreslení křivek - Curve sketching

Graf funkce 3X³-5X²+8 (černý) a jeho první (9X²-10X, červená) a druhá (18X-10, modrá) deriváty. An X hodnota kde y hodnota červené nebo modré křivky zmizí (stane se 0) vyvolá a místní extremum (označené „HP“, „TP“) nebo an inflexní bod („WP“) černé křivky.

v geometrie, skicování křivky (nebo sledování křivky) jsou techniky pro vytvoření přibližné představy o celkovém tvaru a rovinná křivka vzhledem k jeho rovnici bez výpočtu velkého počtu bodů potřebných pro detailní graf. Jedná se o aplikaci teorie křivek k nalezení jejich hlavních rysů.

Základní techniky

Následující jsou obvykle snadno proveditelné a poskytují důležité vodítka, pokud jde o tvar křivky:

• Určete X a y průsečíky křivky. The X zachycení jsou nalezeny nastavením y rovna 0 v rovnici křivky a řešení pro X. Podobně y zachycení jsou nalezeny nastavením X rovna 0 v rovnici křivky a řešení pro y.
• Určete symetrii křivky. Pokud je exponent X je vždy dokonce v rovnici křivky pak y-os je osa symetrie pro křivku. Podobně, pokud exponent z y je vždy dokonce v rovnici křivky pak X-osa je osa symetrie pro křivku. Pokud je součet stupňů X a y v každém termínu je vždy sudý nebo vždy lichý, pak je křivka symetrické o původu a původ se nazývá a centrum křivky.
• Určete jakékoli hranice hodnot X a y.
• Pokud křivka prochází počátkem, určete tam tečny. U algebraických křivek to lze provést tak, že z rovnice a řešení odstraníme všechny členy kromě nejnižšího řádu.
• Podobně odstraněním všech výrazů nejvyššího řádu z rovnice a řešení získáme body, kde se křivka setkává s čára v nekonečnu.
• Určete asymptoty křivky. Určete také, z které strany se křivka přibližuje k asymptotům a kde asymptoty křivku protínají.^[1]
• Rovnocenný za prvé a druhé deriváty na 0 a najděte stacionární body a inflexní body resp. Pokud rovnici křivky nelze explicitně vyřešit pro X nebo y, nalezení těchto derivátů vyžaduje implicitní diferenciace.

Newtonův diagram

Newtonův diagram (také známý jako Newtonův rovnoběžník, po Isaac Newton ) je technika pro určování tvaru algebraické křivky blízko a daleko od počátku. Skládá se z vykreslování (α, β) pro každý člen Sekera^αy^β v rovnici křivky. Výsledný diagram je poté analyzován za účelem získání informací o křivce.

Konkrétně nakreslete diagonální čáru spojující dva body na diagramu tak, aby každý další bod byl buď na, nebo vpravo a nad ním. Pokud křivka prochází počátkem, existuje alespoň jedna taková čára. Nechť rovnice přímky bude qα +pβ =r. Předpokládejme, že křivka je aproximována y=Cx^{p / q} blízko původu. Pak termín Sekera^αy^β je přibližně Dx^{α + βp / q}. Exponent je r / q když (α, β) je na přímce a vyšší, když je nahoře a napravo. Proto jsou významnými pojmy poblíž původu za tohoto předpokladu pouze ty, které leží na řádku a ostatní mohou být ignorovány; vytváří jednoduchou přibližnou rovnici pro křivku. Může existovat několik takových diagonálních čar, z nichž každá odpovídá jedné nebo více větvím křivky, a přibližné rovnice větví lze najít uplatněním této metody na jednotlivé řádky.

Například folium Descartova je definována rovnicí

${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} -3axy = 0 ,}$.

Newtonův diagram má body na (3, 0), (1, 1) a (0, 3). Mohou být nakresleny dvě diagonální čáry, jak je popsáno výše, 2α + β = 3 a α + 2β = 3. Tyto produkty

${ displaystyle x ^ {2} -3ay = 0 ,}$

${ displaystyle y ^ {2} -3ax = 0 ,}$

jako přibližné rovnice pro vodorovnou a svislou větev křivky, kde se kříží v počátku.^[2]

Analytický trojúhelník

De Gua rozšířil Newtonův diagram a vytvořil techniku ​​zvanou analytický trojúhelník (nebo de Guaův trojúhelník). Body (α, β) jsou vyneseny jako u Newtonova diagramu, ale přímka α + β =n, kde n je stupeň křivky, je přidán k vytvoření trojúhelníku, který obsahuje diagram. Tato metoda zohledňuje všechny čáry, které ohraničují nejmenší konvexní mnohoúhelník, který obsahuje vykreslené body (viz konvexní obal ).^[3]

Aplikace

• Usměrnit sledování dynamika tekutin

Viz také

• Křivka
• Místo
• Algebraická křivka
• Nadřazená funkce
• Numerické pokračování
• Pochodové kostky
• Sledování hranic
• Pás trojúhelníku

Reference

• Hilton, Harold (1920). „Kapitola III: Sledování křivek“. Rovinné algebraické křivky. Oxford.
• Frost, Percival (1918). Základní pojednání o trasování křivek. MacMillan.

externí odkazy

• Trenogin, V.A. (2001) [1994], "Newtonův diagram", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS