Objemový integrál - Volume integral

v matematika (zejména počet proměnných ), a objemový integrál odkazuje na integrální přes 3 dimenzionální doména; to znamená, že se jedná o speciální případ více integrálů. Objemové integrály jsou zvláště důležité v fyzika pro mnoho aplikací, například pro výpočet tok hustoty.

V souřadnicích

Může to také znamenat a trojitý integrál v rámci regionu ${ displaystyle D podmnožina mathbb {R} ^ {3}}$ a funkce ${ displaystyle f (x, y, z),}$ a obvykle se píše jako:

{ displaystyle iiint _ {D} f (x, y, z) , dx , dy , dz.}

Integrovaný objem v válcové souřadnice je

{ displaystyle iiint _ {D} f ( rho, varphi, z) rho , d rho , d varphi , dz,}

a objemový integrál v sférické souřadnice (použití konvence ISO pro úhly s ${ displaystyle varphi}$ jako azimut a ${ displaystyle theta}$ měřeno od polární osy (viz dále konvence )) má formu

{ displaystyle iiint _ {D} f (r, theta, varphi) r ^ {2} sin theta , dr , d theta , d varphi.}

Příklad 1

Integrace rovnice ${ displaystyle f (x, y, z) = 1}$ nad jednotkovou kostkou se získá následující výsledek:

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} 1 , dx , dy , dz = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} (1-0) , dy , dz = int _ {0} ^ {1} (1-0) dz = 1-0 = 1}

Takže objem jednotkové kostky je podle očekávání 1. To je však poměrně triviální a objemový integrál je mnohem silnější. Například pokud máme na jednotkové krychli funkci skalární hustoty, pak objemový integrál dá celkovou hmotnost krychle. Například pro funkci hustoty:

{ displaystyle { begin {cases} f: mathbb {R} ^ {3} to mathbb {R} (x, y, z) longmapsto x + y + z end {cases}}}

celková hmotnost krychle je:

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} (x + y + z) , dx , dy , dz = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} left ({ frac {1} {2}} + y + z right) , dy , dz = int _ {0} ^ {1} (1 + z) , dz = { frac {3} {2}}}

Viz také

externí odkazy

"Vícenásobný integrál", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Objemový integrál". MathWorld.