Harmonický postup (matematika) - Harmonic progression (mathematics)

Prvních deset členů harmonické posloupnosti

{ displaystyle a_ {n} = { tfrac {1} {n}}}

.

v matematika, a harmonický postup (nebo harmonická posloupnost) je postup vytvořený převzetím převrácených hodnot z aritmetický postup.

Ekvivalentně je posloupnost harmonickým postupem, když každý člen je harmonický průměr sousedních podmínek.

Jako třetí ekvivalentní charakterizace je to nekonečná posloupnost formuláře

${ displaystyle { frac {1} {a}}, { frac {1} {a + d}} , { frac {1} {a + 2d}} , { frac {1} { a + 3d}} , cdots,}$

kde A není nula a -A/d není přirozené číslo nebo konečná posloupnost formuláře

${ displaystyle { frac {1} {a}}, { frac {1} {a + d}} , { frac {1} {a + 2d}} , { frac {1} { a + 3d}} , cdots, { frac {1} {a + kd}},}$

kde A není nula, k je přirozené číslo a -A/d není přirozené číslo nebo je větší než k.

Příklady

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
12, 6, 4, 3, ${ displaystyle { tfrac {12} {5}}}$ , 2, … , ${ displaystyle { tfrac {12} {n}}}$ , …
30, −30, −10, −6, − ${ displaystyle { tfrac {30} {7}}}$ , … , ${ displaystyle { tfrac {10} {1 - { tfrac {2n} {3}}}}}$
10, 30, −30, −10, −6, − , … , ${ displaystyle { tfrac {10} {1 - { tfrac {2 (n-1)} {3}}}}}$

Součty harmonických průběhů

Nekonečné harmonické průběhy nejsou shrnutelné (součet do nekonečna).

Není možné dosáhnout harmonického postupu různých jednotkových zlomků (kromě triviálního případu kde A = 1 a k = 0) k součtu k celé číslo. Důvodem je, že alespoň jeden jmenovatel postupu bude nutně dělitelný a prvočíslo to nerozděluje žádného jiného jmenovatele.^[1]

Použití v geometrii

Li kolineární body A, B, C a D jsou takové, že D je harmonický konjugát C vzhledem k A a B, pak vzdálenosti od kteréhokoli z těchto bodů ke třem zbývajícím bodům tvoří harmonický postup.^[2]^[3] Konkrétně každá ze sekvencí AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB; a DA, DC, DB jsou harmonické průběhy, kde každá ze vzdáleností je podepsána podle pevné orientace čáry.

V trojúhelníku, pokud jsou nadmořské výšky aritmetický postup, pak jsou strany v harmonickém postupu.

Šikmá věž v Lire

Vynikajícím příkladem Harmonic Progression je Šikmá věž v Lire. V něm jsou jednotné bloky naskládány na sebe, aby se dosáhlo maximální pokryté boční nebo boční vzdálenosti. Bloky jsou naskládány 1/2, 1 / 4,1 / 6, 1/8, 1/10… vzdálenost do strany pod původním blokem. Tím je zajištěno, že těžiště je jen ve středu konstrukce, aby se nezhroutilo. Mírné zvýšení hmotnosti konstrukce způsobí její nestabilitu a pád.

Viz také

Reference

^ Erdős, P. (1932), „Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása“ [Zobecnění Kürschákovy věty o elementárních číslech] (PDF), Rohož. Fiz. Lapok (v maďarštině), 39: 17–24. Jak uvádí Graham, Ronald L. (2013), „Paul Erdős and Egyptian zlomky“, Erdőovo sté výročí, Bolyai Soc. Matematika. Stud., 25, János Bolyai Math. Soc., Budapešť, s. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91, doi:10.1007/978-3-642-39286-3_9, ISBN 978-3-642-39285-6, PAN 3203600.
^ Kapitoly o moderní geometrii bodu, přímky a kružnice, sv. II Richard Townsend (1865) str. 24
^ Moderní geometrie bodu, přímky a kružnice: základní pojednání podle John Alexander Třetí (1898) str. 44

Zvládnutí technické matematiky Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst, (2007), str. 221
Standardní matematické tabulky od společnosti Chemical Rubber Company (1974), str. 102
Základy algebry pro střední školy podle Webster Wells (1897) str. 307

[1] Erdős, P. (1932), „Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása“ [Zobecnění Kürschákovy věty o elementárních číslech] (PDF), Rohož. Fiz. Lapok (v maďarštině), 39: 17–24. Jak uvádí Graham, Ronald L. (2013), „Paul Erdős and Egyptian zlomky“, Erdőovo sté výročí, Bolyai Soc. Matematika. Stud., 25, János Bolyai Math. Soc., Budapešť, s. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91, doi:10.1007/978-3-642-39286-3_9, ISBN 978-3-642-39285-6, PAN 3203600.

[2] Kapitoly o moderní geometrii bodu, přímky a kružnice, sv. II Richard Townsend (1865) str. 24

[3] Moderní geometrie bodu, přímky a kružnice: základní pojednání podle John Alexander Třetí (1898) str. 44

[1]

[2]

[3]