Rovnosti zahrnující trigonometrické funkce
v matematika , trigonometrické identity jsou rovnosti které zahrnují trigonometrické funkce a platí pro každou hodnotu vyskytující se proměnné kde jsou definovány obě strany rovnosti. Geometricky to jsou identity zahrnující určité funkce jedné nebo více úhly . Jsou odlišné od identity trojúhelníku , což jsou identity potenciálně zahrnující úhly, ale také zahrnující délky stran nebo jiné délky a trojúhelník .
Tyto identity jsou užitečné, kdykoli je třeba zjednodušit výrazy zahrnující trigonometrické funkce. Důležitou aplikací je integrace ne trigonometrických funkcí: běžná technika zahrnuje nejprve použití substituční pravidlo s trigonometrickou funkcí a potom zjednodušení výsledného integrálu pomocí trigonometrické identity.
Zápis Úhly Známky trigonometrických funkcí v každém kvadrantu. Mnemotechnická pomůcka "
Všechno S zdvořilost
T eachers (are)
C razy "uvádí základní funkce ('
Všechno' ,
s v,
t an,
C os), které jsou kladné z kvadrantů I až IV.
[1] Toto je variace na mnemotechniku "
Všichni studenti využívají kalkul ".
Tento článek používá Řecká písmena jako alfa (α ), beta (β ), gama (y ), a theta (θ ) reprezentovat úhly . Několik různých jednotky úhlového měření jsou široce používány, včetně stupeň , radián , a gradian (gons ):
1 celý kruh (otáčet se ) = 360 stupňů = 2π radián = 400 gon. Pokud není výslovně anotován (°) pro stupeň nebo ( G { displaystyle ^ { mathrm {g}}} ) pro gradian se předpokládá, že všechny hodnoty úhlů v tomto článku jsou uvedeny v radiánech.
Následující tabulka ukazuje pro některé běžné úhly jejich převody a hodnoty základních trigonometrických funkcí:
Převody společných úhlů Otáčet se Stupeň Radian Gradian sinus kosinus tečna 0 { displaystyle 0} 0 ∘ { displaystyle 0 ^ { circ}} 0 { displaystyle 0} 0 G { displaystyle 0 ^ { mathrm {g}}} 0 { displaystyle 0} 1 { displaystyle 1} 0 { displaystyle 0} 1 12 { displaystyle { dfrac {1} {12}}} 30 ∘ { displaystyle 30 ^ { circ}} π 6 { displaystyle { dfrac { pi} {6}}} 33 1 3 G { displaystyle 33 { dfrac {1} {3}} ^ { mathrm {g}}} 1 2 { displaystyle { dfrac {1} {2}}} 3 2 { displaystyle { dfrac { sqrt {3}} {2}}} 3 3 { displaystyle { dfrac { sqrt {3}} {3}}} 1 8 { displaystyle { dfrac {1} {8}}} 45 ∘ { displaystyle 45 ^ { circ}} π 4 { displaystyle { dfrac { pi} {4}}} 50 G { displaystyle 50 ^ { mathrm {g}}} 2 2 { displaystyle { dfrac { sqrt {2}} {2}}} 2 2 { displaystyle { dfrac { sqrt {2}} {2}}} 1 { displaystyle 1} 1 6 { displaystyle { dfrac {1} {6}}} 60 ∘ { displaystyle 60 ^ { circ}} π 3 { displaystyle { dfrac { pi} {3}}} 66 2 3 G { displaystyle 66 { dfrac {2} {3}} ^ { mathrm {g}}} 3 2 { displaystyle { dfrac { sqrt {3}} {2}}} 1 2 { displaystyle { dfrac {1} {2}}} 3 { displaystyle { sqrt {3}}} 1 4 { displaystyle { dfrac {1} {4}}} 90 ∘ { displaystyle 90 ^ { circ}} π 2 { displaystyle { dfrac { pi} {2}}} 100 G { displaystyle 100 ^ { mathrm {g}}} 1 { displaystyle 1} 0 { displaystyle 0} Nedefinováno 1 3 { displaystyle { dfrac {1} {3}}} 120 ∘ { displaystyle 120 ^ { circ}} 2 π 3 { displaystyle { dfrac {2 pi} {3}}} 133 1 3 G { displaystyle 133 { dfrac {1} {3}} ^ { mathrm {g}}} 3 2 { displaystyle { dfrac { sqrt {3}} {2}}} − 1 2 { displaystyle - { dfrac {1} {2}}} − 3 { displaystyle - { sqrt {3}}} 3 8 { displaystyle { dfrac {3} {8}}} 135 ∘ { displaystyle 135 ^ { circ}} 3 π 4 { displaystyle { dfrac {3 pi} {4}}} 150 G { displaystyle 150 ^ { mathrm {g}}} 2 2 { displaystyle { dfrac { sqrt {2}} {2}}} − 2 2 { displaystyle - { dfrac { sqrt {2}} {2}}} − 1 { displaystyle -1} 5 12 { displaystyle { dfrac {5} {12}}} 150 ∘ { displaystyle 150 ^ { circ}} 5 π 6 { displaystyle { dfrac {5 pi} {6}}} 166 2 3 G { displaystyle 166 { dfrac {2} {3}} ^ { mathrm {g}}} 1 2 { displaystyle { dfrac {1} {2}}} − 3 2 { displaystyle - { dfrac { sqrt {3}} {2}}} − 3 3 { displaystyle - { dfrac { sqrt {3}} {3}}} 1 2 { displaystyle { dfrac {1} {2}}} 180 ∘ { displaystyle 180 ^ { circ}} π { displaystyle pi} 200 G { displaystyle 200 ^ { mathrm {g}}} 0 { displaystyle 0} − 1 { displaystyle -1} 0 { displaystyle 0} 7 12 { displaystyle { dfrac {7} {12}}} 210 ∘ { displaystyle 210 ^ { circ}} 7 π 6 { displaystyle { dfrac {7 pi} {6}}} 233 1 3 G { displaystyle 233 { dfrac {1} {3}} ^ { mathrm {g}}} − 1 2 { displaystyle - { dfrac {1} {2}}} − 3 2 { displaystyle - { dfrac { sqrt {3}} {2}}} 3 3 { displaystyle { dfrac { sqrt {3}} {3}}} 5 8 { displaystyle { dfrac {5} {8}}} 225 ∘ { displaystyle 225 ^ { circ}} 5 π 4 { displaystyle { dfrac {5 pi} {4}}} 250 G { displaystyle 250 ^ { mathrm {g}}} − 2 2 { displaystyle - { dfrac { sqrt {2}} {2}}} − 2 2 { displaystyle - { dfrac { sqrt {2}} {2}}} 1 { displaystyle 1} 2 3 { displaystyle { dfrac {2} {3}}} 240 ∘ { displaystyle 240 ^ { circ}} 4 π 3 { displaystyle { dfrac {4 pi} {3}}} 266 2 3 G { displaystyle 266 { dfrac {2} {3}} ^ { mathrm {g}}} − 3 2 { displaystyle - { dfrac { sqrt {3}} {2}}} − 1 2 { displaystyle - { dfrac {1} {2}}} 3 { displaystyle { sqrt {3}}} 3 4 { displaystyle { dfrac {3} {4}}} 270 ∘ { displaystyle 270 ^ { circ}} 3 π 2 { displaystyle { dfrac {3 pi} {2}}} 300 G { displaystyle 300 ^ { mathrm {g}}} − 1 { displaystyle -1} 0 { displaystyle 0} Nedefinováno 5 6 { displaystyle { dfrac {5} {6}}} 300 ∘ { displaystyle 300 ^ { circ}} 5 π 3 { displaystyle { dfrac {5 pi} {3}}} 333 1 3 G { displaystyle 333 { dfrac {1} {3}} ^ { mathrm {g}}} − 3 2 { displaystyle - { dfrac { sqrt {3}} {2}}} 1 2 { displaystyle { dfrac {1} {2}}} − 3 { displaystyle - { sqrt {3}}} 7 8 { displaystyle { dfrac {7} {8}}} 315 ∘ { displaystyle 315 ^ { circ}} 7 π 4 { displaystyle { dfrac {7 pi} {4}}} 350 G { displaystyle 350 ^ { mathrm {g}}} − 2 2 { displaystyle - { dfrac { sqrt {2}} {2}}} 2 2 { displaystyle { dfrac { sqrt {2}} {2}}} − 1 { displaystyle -1} 11 12 { displaystyle { dfrac {11} {12}}} 330 ∘ { displaystyle 330 ^ { circ}} 11 π 6 { displaystyle { dfrac {11 pi} {6}}} 366 2 3 G { displaystyle 366 { dfrac {2} {3}} ^ { mathrm {g}}} − 1 2 { displaystyle - { dfrac {1} {2}}} 3 2 { displaystyle { dfrac { sqrt {3}} {2}}} − 3 3 { displaystyle - { dfrac { sqrt {3}} {3}}} 1 { displaystyle 1} 360 ∘ { displaystyle 360 ^ { circ}} 2 π { displaystyle 2 pi} 400 G { displaystyle 400 ^ { mathrm {g}}} 0 { displaystyle 0} 1 { displaystyle 1} 0 { displaystyle 0}
Výsledky pro jiné úhly lze najít na Trigonometrické konstanty vyjádřené ve skutečných radikálech . Za Nivenova věta , ( 0 , 30 , 90 , 150 , 180 , 210 , 270 , 330 , 360 ) { displaystyle (0, ; 30, ; 90, ; 150, ; 180, ; 210, ; 270, ; 330, ; 360)} jsou jediná racionální čísla, která ve stupních vedou k racionální sinusové hodnotě pro odpovídající úhel v první zatáčce, což může vysvětlit jejich popularitu v příkladech.[2] [3] Analogická podmínka pro jednotku radián vyžaduje, aby byl argument vydělen π je racionální a přináší řešení 0, π /6, π /2, 5π /6, π , 7π /6, 3π /2, 11π /6(, 2π ).
Trigonometrické funkce Graf šesti trigonometrických funkcí, jednotkové kružnice a úsečky pro úhel θ = 0,7 radiány. Označené body 1 , Sec (θ) , Csc (θ) představují délku úsečky od počátku do tohoto bodu. Sin (θ) , Tan (θ) , a 1 jsou výšky čáry začínající od X -osi, zatímco Cos (θ) , 1 , a Dětská postýlka (θ) jsou délky podél X -osa vycházející z počátku.
Funkce sinus , kosinus a tečna úhlu jsou někdy označovány jako hlavní nebo základní trigonometrické funkce. Jejich obvyklé zkratky jsou hřích(θ ) , cos (θ ) a opálení(θ ) kde θ označuje úhel. Závorky kolem argumentu funkcí jsou často vynechány, např. hřích θ a cos θ , pokud je jednoznačně možný výklad.
Sinus úhlu je definován v kontextu a pravoúhlý trojuhelník , jako poměr délky strany, která je opačná k úhlu, děleno délkou nejdelší strany trojúhelníku ( přepona ).
hřích θ = naproti přepona . { displaystyle sin theta = { frac { text {naproti}} { text {hypotenuse}}}.} Kosinus úhlu v tomto kontextu je poměr délky strany, která sousedí s úhlem, dělený délkou přepony.
cos θ = přilehlý přepona . { displaystyle cos theta = { frac { text {sousední}} { text {hypotenuse}}}.} The tečna úhlu v tomto kontextu je poměr délky strany, která je naproti úhlu, děleno délkou strany, která sousedí s úhlem. To je stejné jako poměr sinusu na kosinus tohoto úhlu, jak je patrné dosazením definic hřích a cos shora:
opálení θ = hřích θ cos θ = naproti přilehlý . { displaystyle tan theta = { frac { sin theta} { cos theta}} = { frac { text {naproti}} { text {sousední}}}.} Zbývající trigonometrické funkce sečnují (sek ), kosekans (csc ) a kotangens (dětská postýlka ) jsou definovány jako vzájemné funkce kosinus, sinus a tangens. Zřídka se tomu říká sekundární trigonometrické funkce:
sek θ = 1 cos θ , csc θ = 1 hřích θ , dětská postýlka θ = 1 opálení θ = cos θ hřích θ . { displaystyle sec theta = { frac {1} { cos theta}}, quad csc theta = { frac {1} { sin theta}}, quad cot theta = { frac {1} { tan theta}} = { frac { cos theta} { sin theta}}.} Tyto definice se někdy označují jako poměrové identity .
Další funkce sgn X { displaystyle operatorname {sgn} x} označuje znaková funkce , který je definován jako:
sgn ( X ) = { − 1 -li X < 0 , 0 -li X = 0 , 1 -li X > 0. { displaystyle operatorname {sgn} (x) = { začátek {případů} -1 & { text {if}} x <0, 0 & { text {if}} x = 0, 1 & { text {if}} x> 0. end {cases}}} Inverzní funkce Inverzní trigonometrické funkce jsou částečné inverzní funkce pro trigonometrické funkce. Například inverzní funkce pro sinus, známá jako inverzní sinus (hřích−1 ) nebo arcsine (arcsin nebo jako v ), splňuje
hřích ( arcsin X ) = X pro | X | ≤ 1 { displaystyle sin ( arcsin x) = x quad { text {pro}} quad | x | leq 1} a
arcsin ( hřích X ) = X pro | X | ≤ π 2 . { displaystyle arcsin ( sin x) = x quad { text {pro}} quad | x | leq { frac { pi} {2}}.} Tento článek používá níže uvedenou notaci pro inverzní trigonometrické funkce:
Funkce hřích cos opálení sek csc dětská postýlka Inverzní arcsin arccos arktan arcsec arccsc arccot
Následující tabulka ukazuje, jak lze použít inverzní trigonometrické funkce k řešení rovností zahrnujících šest standardních trigonometrických funkcí. Předpokládá se, že r , s , X , a y všechny leží v příslušném rozsahu. Všimněte si, že „pro některé k ∈ ℤ „je jen další způsob, jak říci“ pro některé celé číslo k ."
Rovnost Řešení kde... hřích θ = y ⇔ θ = (-1) k arcsin (y ) + π k pro některé k ∈ ℤ cos θ = X ⇔ θ = ± arccos (X ) + 2 π k pro některé k ∈ ℤ tan θ = s ⇔ θ = arctan (s ) + π k pro některé k ∈ ℤ csc θ = r ⇔ θ = (-1) k arccsc (r ) + π k pro některé k ∈ ℤ sec θ = r ⇔ θ = ± arcsec (r ) + 2 π k pro některé k ∈ ℤ dětská postýlka θ = r ⇔ θ = arccot (r ) + π k pro některé k ∈ ℤ
Níže uvedená tabulka ukazuje, jak dva úhly θ a φ musí být ve vztahu, pokud jsou jejich hodnoty pod danou trigonometrickou funkcí stejné nebo záporné.
Rovnost Řešení kde... Také řešení hřích θ = hřích φ ⇔ θ = (-1) k φ + π k pro některé k ∈ ℤ csc θ = csc φ cos θ = cos φ ⇔ θ = ± φ + 2 π k pro některé k ∈ ℤ sec θ = sec φ opálení θ = opálení φ ⇔ θ = φ + π k pro některé k ∈ ℤ postýlka θ = postýlka φ - hřích θ = hřích φ ⇔ θ = (-1) k +1 φ + π k pro některé k ∈ ℤ csc θ = - csc φ - cos θ = cos φ ⇔ θ = ± φ + 2 π k + π pro některé k ∈ ℤ sec θ = - sec φ - tan θ = opálení φ ⇔ θ = - φ + π k pro některé k ∈ ℤ postýlka θ = - postýlka φ |hřích θ | = |hřích φ | ⇔ θ = ± φ + π k pro některé k ∈ ℤ |opálení θ | = |opálení φ | ⇕ |csc θ | = |csc φ | |cos θ | = |cos φ | |sec θ | = |sec φ | |dětská postýlka θ | = |dětská postýlka φ |
Pythagorovy identity V trigonometrii je základní vztah mezi sínusem a kosinem dán Pythagorovou identitou:
hřích 2 θ + cos 2 θ = 1 , { displaystyle sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1,} kde hřích2 θ prostředek (hřích θ )2 a cos2 θ prostředek (cos θ )2 .
Toto lze zobrazit jako verzi Pythagorova věta , a vyplývá z rovnice X 2 + y 2 = 1 pro jednotkový kruh . Tuto rovnici lze vyřešit pro sinus nebo kosinus:
hřích θ = ± 1 − cos 2 θ , cos θ = ± 1 − hřích 2 θ . { displaystyle { begin {zarovnáno} sin theta & = pm { sqrt {1- cos ^ {2} theta}}, cos theta & = pm { sqrt {1- sin ^ {2} theta}}. end {zarovnáno}}} kde označení závisí na kvadrant z θ .
Dělení této identity buď hřích2 θ nebo cos2 θ získá další dvě Pythagorovy identity:
1 + dětská postýlka 2 θ = csc 2 θ a opálení 2 θ + 1 = sek 2 θ . { displaystyle 1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta quad { text {a}} quad tan ^ {2} theta + 1 = sec ^ {2} theta.} Pomocí těchto identit společně s identitami poměru je možné vyjádřit jakoukoli trigonometrickou funkci z hlediska jakékoli jiné (až do znaménko plus nebo minus):
Každá trigonometrická funkce, pokud jde o každou z ostatních pěti.[4] ve smyslu hřích θ { displaystyle sin theta} cos θ { displaystyle cos theta} opálení θ { displaystyle tan theta} csc θ { displaystyle csc theta} sek θ { displaystyle sec theta} dětská postýlka θ { displaystyle postýlka theta} hřích θ = { displaystyle sin theta =} hřích θ { displaystyle sin theta} ± 1 − cos 2 θ { displaystyle pm { sqrt {1- cos ^ {2} theta}}} ± opálení θ 1 + opálení 2 θ { displaystyle pm { frac { tan theta} { sqrt {1+ tan ^ {2} theta}}}} 1 csc θ { displaystyle { frac {1} { csc theta}}} ± sek 2 θ − 1 sek θ { displaystyle pm { frac { sqrt { sec ^ {2} theta -1}} { sec theta}}} ± 1 1 + dětská postýlka 2 θ { displaystyle pm { frac {1} { sqrt {1+ cot ^ {2} theta}}}} cos θ = { displaystyle cos theta =} ± 1 − hřích 2 θ { displaystyle pm { sqrt {1- sin ^ {2} theta}}} cos θ { displaystyle cos theta} ± 1 1 + opálení 2 θ { displaystyle pm { frac {1} { sqrt {1+ tan ^ {2} theta}}}} ± csc 2 θ − 1 csc θ { displaystyle pm { frac { sqrt { csc ^ {2} theta -1}} { csc theta}}} 1 sek θ { displaystyle { frac {1} { sec theta}}} ± dětská postýlka θ 1 + dětská postýlka 2 θ { displaystyle pm { frac { cot theta} { sqrt {1+ cot ^ {2} theta}}}} opálení θ = { displaystyle tan theta =} ± hřích θ 1 − hřích 2 θ { displaystyle pm { frac { sin theta} { sqrt {1- sin ^ {2} theta}}}} ± 1 − cos 2 θ cos θ { displaystyle pm { frac { sqrt {1- cos ^ {2} theta}} { cos theta}}} opálení θ { displaystyle tan theta} ± 1 csc 2 θ − 1 { displaystyle pm { frac {1} { sqrt { csc ^ {2} theta -1}}}} ± sek 2 θ − 1 { displaystyle pm { sqrt { sec ^ {2} theta -1}}} 1 dětská postýlka θ { displaystyle { frac {1} { cot theta}}} csc θ = { displaystyle csc theta =} 1 hřích θ { displaystyle { frac {1} { sin theta}}} ± 1 1 − cos 2 θ { displaystyle pm { frac {1} { sqrt {1- cos ^ {2} theta}}}} ± 1 + opálení 2 θ opálení θ { displaystyle pm { frac { sqrt {1+ tan ^ {2} theta}} { tan theta}}} csc θ { displaystyle csc theta} ± sek θ sek 2 θ − 1 { displaystyle pm { frac { sec theta} { sqrt { sec ^ {2} theta -1}}}} ± 1 + dětská postýlka 2 θ { displaystyle pm { sqrt {1+ cot ^ {2} theta}}} sek θ = { displaystyle sec theta =} ± 1 1 − hřích 2 θ { displaystyle pm { frac {1} { sqrt {1- sin ^ {2} theta}}}} 1 cos θ { displaystyle { frac {1} { cos theta}}} ± 1 + opálení 2 θ { displaystyle pm { sqrt {1+ tan ^ {2} theta}}} ± csc θ csc 2 θ − 1 { displaystyle pm { frac { csc theta} { sqrt { csc ^ {2} theta -1}}}} sek θ { displaystyle sec theta} ± 1 + dětská postýlka 2 θ dětská postýlka θ { displaystyle pm { frac { sqrt {1+ cot ^ {2} theta}} { cot theta}}} dětská postýlka θ = { displaystyle cot theta =} ± 1 − hřích 2 θ hřích θ { displaystyle pm { frac { sqrt {1- sin ^ {2} theta}} { sin theta}}} ± cos θ 1 − cos 2 θ { displaystyle pm { frac { cos theta} { sqrt {1- cos ^ {2} theta}}}} 1 opálení θ { displaystyle { frac {1} { tan theta}}} ± csc 2 θ − 1 { displaystyle pm { sqrt { csc ^ {2} theta -1}}} ± 1 sek 2 θ − 1 { displaystyle pm { frac {1} { sqrt { sec ^ {2} theta -1}}}} dětská postýlka θ { displaystyle postýlka theta}
Historické zkratky Všechny trigonometrické funkce úhlu θ mohou být konstruovány geometricky, pokud jde o jednotkovou kružnici se středem vÓ . Mnoho z těchto termínů již není běžně používáno; tento diagram však není vyčerpávající.
The versine , krycí plachta , haversine , a exsecant byly použity v navigaci. Například Haversinův vzorec byl použit k výpočtu vzdálenosti mezi dvěma body na kouli. Dnes se používají jen zřídka.
název Zkratka Hodnota[5] [6] (vpravo) doplňkový úhel, co-úhel co θ { displaystyle operatorname {co} theta} π 2 − θ { displaystyle { pi nad 2} - theta} zběsilý sinus, versine versin θ { displaystyle operatorname {versin} theta} vers θ { displaystyle operatorname {vers} theta} ver θ { displaystyle operatorname {ver} theta} 1 − cos θ { displaystyle 1- cos theta} zběhlý kosinus, verkosin verkosin θ { displaystyle operatorname {vercosin} theta} vercos θ { displaystyle operatorname {vercos} theta} vcs θ { displaystyle operatorname {vcs} theta} 1 + cos θ { displaystyle 1+ cos theta} krytý sinus, krycí plachta pokryje θ { displaystyle operatorname {pokryje} theta} kryty θ { displaystyle operatorname {kryty} theta} životopisy θ { displaystyle operatorname {cvs} theta} 1 − hřích θ { displaystyle 1- sin theta} krytý kosinus, coverkosin covercosin θ { displaystyle operatorname {covercosin} theta} covercos θ { displaystyle operatorname {covercos} theta} cvc θ { displaystyle operatorname {cvc} theta} 1 + hřích θ { displaystyle 1+ sin theta} napůl zběsilý sinus, haversine haversin θ { displaystyle operatorname {haversin} theta} hav θ { displaystyle operatorname {hav} theta} sem θ { displaystyle operatorname {sem} theta} 1 − cos θ 2 { displaystyle { frac {1- cos theta} {2}}} napůl zběsilý kosinus, haverkosin haverkosin θ { displaystyle operatorname {havercosin} theta} havercos θ { displaystyle operatorname {havercos} theta} hvc θ { displaystyle operatorname {hvc} theta} 1 + cos θ 2 { displaystyle { frac {1+ cos theta} {2}}} napůl zakrytý sinus, hacoversin cohaversine hacoversin θ { displaystyle operatorname {hacoversin} theta} hacovers θ { displaystyle operatorname {hacovers} theta} hcv θ { displaystyle operatorname {hcv} theta} 1 − hřích θ 2 { displaystyle { frac {1- sin theta} {2}}} napůl zakrytý kosinus, hacoverkosin cohaverkosin hacoverkosin θ { displaystyle operatorname {hacovercosin} theta} hacovercos θ { displaystyle operatorname {hacovercos} theta} hcc θ { displaystyle operatorname {hcc} theta} 1 + hřích θ 2 { displaystyle { frac {1+ sin theta} {2}}} vnější sekán, exsecant vyluč θ { displaystyle operatorname {exsec} theta} exs θ { displaystyle operatorname {exs} theta} sek θ − 1 { displaystyle sec theta -1} vnější kosekans, exkantant excosec θ { displaystyle operatorname {excosec} theta} excsc θ { displaystyle operatorname {excsc} theta} výborně θ { displaystyle operatorname {exc} theta} csc θ − 1 { displaystyle csc theta -1} akord crd θ { displaystyle operatorname {crd} theta} 2 hřích θ 2 { displaystyle 2 sin { frac { theta} {2}}}
Odrazy, posuny a periodicita Odráží θ v α = 0 (α =π )
Prozkoumáním jednotkového kruhu lze určit následující vlastnosti trigonometrických funkcí.
Úvahy Když je směr euklidovského vektoru reprezentován úhlem θ { displaystyle theta} , to je úhel určený volným vektorem (počínaje počátkem) a kladem X -jednotkový vektor. Stejný koncept lze aplikovat také na čáry v euklidovském prostoru, kde úhel je ten, který je určen rovnoběžkou s danou čárou počátkem a kladem X -osa. Pokud je čára (vektor) se směrem θ { displaystyle theta} se odráží kolem přímky se směrem α , { displaystyle alpha,} pak směrový úhel θ ′ { displaystyle theta '} této odražené čáry (vektoru) má hodnotu
θ ′ = 2 α − θ . { displaystyle theta '= 2 alfa - theta.} Hodnoty trigonometrických funkcí těchto úhlů θ , θ ′ { displaystyle theta, ; theta '} pro konkrétní úhly α { displaystyle alpha} uspokojit jednoduché identity: buď jsou stejné, nebo mají opačné znaky, nebo používají doplňkovou trigonometrickou funkci. Tito jsou také známí jako redukční vzorce .[7]
θ odráží v α = 0[8] liché / sudé identityθ odráží v α = π / 4 θ odráží v α = π / 2 θ odráží v α = π porovnat s α = 0 hřích ( − θ ) = − hřích θ { displaystyle sin (- theta) = - sin theta} hřích ( π 2 − θ ) = cos θ { displaystyle sin left ({ tfrac { pi} {2}} - theta right) = cos theta} hřích ( π − θ ) = + hřích θ { displaystyle sin ( pi - theta) = + sin theta} hřích ( 2 π − θ ) = − hřích ( θ ) = hřích ( − θ ) { displaystyle sin (2 pi - theta) = - sin ( theta) = sin (- theta)} cos ( − θ ) = + cos θ { displaystyle cos (- theta) = + cos theta} cos ( π 2 − θ ) = hřích θ { displaystyle cos left ({ tfrac { pi} {2}} - theta right) = sin theta} cos ( π − θ ) = − cos θ { displaystyle cos ( pi - theta) = - cos theta} cos ( 2 π − θ ) = + cos ( θ ) = cos ( − θ ) { displaystyle cos (2 pi - theta) = + cos ( theta) = cos (- theta)} opálení ( − θ ) = − opálení θ { displaystyle tan (- theta) = - tan theta} opálení ( π 2 − θ ) = dětská postýlka θ { displaystyle tan left ({ tfrac { pi} {2}} - theta right) = cot theta} opálení ( π − θ ) = − opálení θ { displaystyle tan ( pi - theta) = - tan theta} opálení ( 2 π − θ ) = − opálení ( θ ) = opálení ( − θ ) { displaystyle tan (2 pi - theta) = - tan ( theta) = tan (- theta)} csc ( − θ ) = − csc θ { displaystyle csc (- theta) = - csc theta} csc ( π 2 − θ ) = sek θ { displaystyle csc left ({ tfrac { pi} {2}} - theta right) = sec theta} csc ( π − θ ) = + csc θ { displaystyle csc ( pi - theta) = + csc theta} csc ( 2 π − θ ) = − csc ( θ ) = csc ( − θ ) { displaystyle csc (2 pi - theta) = - csc ( theta) = csc (- theta)} sek ( − θ ) = + sek θ { displaystyle sec (- theta) = + sec theta} sek ( π 2 − θ ) = csc θ { displaystyle sec left ({ tfrac { pi} {2}} - theta right) = csc theta} sek ( π − θ ) = − sek θ { displaystyle sec ( pi - theta) = - sec theta} sek ( 2 π − θ ) = + sek ( θ ) = sek ( − θ ) { displaystyle sec (2 pi - theta) = + sec ( theta) = sec (- theta)} dětská postýlka ( − θ ) = − dětská postýlka θ { displaystyle postýlka (- theta) = - postýlka theta} dětská postýlka ( π 2 − θ ) = opálení θ { displaystyle cot left ({ tfrac { pi} {2}} - theta right) = tan theta} dětská postýlka ( π − θ ) = − dětská postýlka θ { displaystyle cot ( pi - theta) = - cot theta} dětská postýlka ( 2 π − θ ) = − dětská postýlka ( θ ) = dětská postýlka ( − θ ) { displaystyle postýlka (2 pi - theta) = - postýlka ( theta) = postýlka (- theta)}
Posuny a periodicita Přesunutím argumentů trigonometrických funkcí o určité úhly může změna znaménka nebo použití doplňkových trigonometrických funkcí někdy jednoduše vyjádřit konkrétní výsledky. Některé příklady směn jsou uvedeny níže v tabulce.
A plné obrátky nebo 360° nebo 2π radián ponechá jednotkovou kružnici pevnou a je nejmenším intervalem, pro který trigonometrické funkce sin, cos, sec a csc opakovat jejich hodnoty a je tedy jejich periodou. Posunutí argumentů jakékoli periodické funkce jakýmkoli celočíselným násobkem celé periody zachová hodnotu funkce nezměněného argumentu. A půl otáčky nebo 180° nebo π radián je období opálení(X ) = hřích(X ) / cos (X ) a dětská postýlka (X ) = cos (X ) / hřích(X ) , jak je patrné z těchto definic a období definujících trigonometrických funkcí. Proto posunutí argumentů opálení(X ) a dětská postýlka(X ) libovolným násobkem π nemění jejich funkční hodnoty. Pro funkce sin, cos, sec a csc s obdobím 2π , půl otáčky je polovina jejich období. U tohoto posunu mění znaménko svých hodnot, jak je opět vidět z kruhové jednotky. Tato nová hodnota se opakuje po každém dalším posunu o 2π , takže všichni společně mění znaménko pro posun o jakýkoli lichý násobek π , tj. tím, že (2k + 1)⋅π , s k libovolné celé číslo. Jakýkoli i násobek π je samozřejmě jen celé období a posun dozadu o polovinu období je stejný jako posun dozadu o jednu celou dobu plus jeden posun vpřed o půl období. A čtvrt otáčky nebo 90° nebo π / 2 radián je poloperiodický posun pro opálení(X ) a dětská postýlka(X ) s tečkou π (180° ), čímž se získá hodnota funkce aplikace doplňkové funkce na nezměněný argument. Podle argumentu výše to také platí pro posun o jakýkoli lichý násobek (2k + 1)⋅π / 2 poloviny období. U čtyř dalších trigonometrických funkcí představuje čtvrt otáčky také čtvrtinové období. Posun o libovolný násobek čtvrtletního období, na který se nevztahuje násobek polovičního období, lze rozložit na celočíselný násobek období, plus nebo mínus jedno čtvrtletí. Výrazy vyjadřující tyto násobky jsou (4k ± 1)⋅π / 2 . Posun vpřed / vzad o období jedné čtvrtiny se odráží v následující tabulce. Znovu tyto posuny poskytují hodnoty hodnot funkcí a využívají příslušnou doplňkovou funkci aplikovanou na nezměněný argument. Přesouvá argumenty uživatele opálení(X ) a dětská postýlka(X ) podle jejich čtvrtletního období (π / 4 ) nepřináší tak jednoduché výsledky. Posun o čtvrtinu období Posun o polovinu období[9] Řazení o celé období[10] Doba hřích ( θ ± π 2 ) = ± cos θ { displaystyle sin ( theta pm { tfrac { pi} {2}}) = pm cos theta} hřích ( θ + π ) = − hřích θ { displaystyle sin ( theta + pi) = - sin theta} hřích ( θ + k ⋅ 2 π ) = + hřích θ { displaystyle sin ( theta + k cdot 2 pi) = + sin theta} 2 π { displaystyle 2 pi} cos ( θ ± π 2 ) = ∓ hřích θ { displaystyle cos ( theta pm { tfrac { pi} {2}}) = mp sin theta} cos ( θ + π ) = − cos θ { displaystyle cos ( theta + pi) = - cos theta} cos ( θ + k ⋅ 2 π ) = + cos θ { displaystyle cos ( theta + k cdot 2 pi) = + cos theta} 2 π { displaystyle 2 pi} opálení ( θ ± π 4 ) = opálení θ ± 1 1 ∓ opálení θ { displaystyle tan ( theta pm { tfrac { pi} {4}}) = { tfrac { tan theta pm 1} {1 mp tan theta}}} opálení ( θ + π 2 ) = − dětská postýlka θ { displaystyle tan ( theta + { tfrac { pi} {2}}) = - cot theta} opálení ( θ + k ⋅ π ) = + opálení θ { displaystyle tan ( theta + k cdot pi) = + tan theta} π { displaystyle pi} csc ( θ ± π 2 ) = ± sek θ { displaystyle csc ( theta pm { tfrac { pi} {2}}) = pm sec theta} csc ( θ + π ) = − csc θ { displaystyle csc ( theta + pi) = - csc theta} csc ( θ + k ⋅ 2 π ) = + csc θ { displaystyle csc ( theta + k cdot 2 pi) = + csc theta} 2 π { displaystyle 2 pi} sek ( θ ± π 2 ) = ∓ csc θ { displaystyle sec ( theta pm { tfrac { pi} {2}}) = mp csc theta} sek ( θ + π ) = − sek θ { displaystyle sec ( theta + pi) = - sec theta} sek ( θ + k ⋅ 2 π ) = + sek θ { displaystyle sec ( theta + k cdot 2 pi) = + sec theta} 2 π { displaystyle 2 pi} dětská postýlka ( θ ± π 4 ) = dětská postýlka θ ± 1 1 ∓ dětská postýlka θ { displaystyle cot ( theta pm { tfrac { pi} {4}}) = { tfrac { cot theta pm 1} {1 mp cot theta}}} dětská postýlka ( θ + π 2 ) = − opálení θ { displaystyle cot ( theta + { tfrac { pi} {2}}) = - tan theta} dětská postýlka ( θ + k ⋅ π ) = + dětská postýlka θ { displaystyle postýlka ( theta + k cdot pi) = + postýlka theta} π { displaystyle pi}
Totožnost úhlu a rozdílu Ilustrace vzorců pro sčítání úhlů pro sinus a kosinus. Zdůrazněný segment má délku jednotky.
Tito jsou také známí jako věty o sčítání a odčítání úhlu (nebo vzorce Identity lze odvodit kombinací pravoúhlých trojúhelníků, například v sousedním diagramu, nebo zvážením invariance délky akordu na jednotkové kružnici s daným středovým úhlem. Nejintuitivnější derivace používá rotační matice (viz níže).
Ilustrace vzorce pro přidání úhlu pro tečnu. Zdůrazněné segmenty mají jednotkovou délku.
Pro ostré úhly α a β , jehož součet není tupý, stručný diagram (zobrazený) ilustruje vzorce součtu úhlů pro sinus a kosinus: Tučný segment označený „1“ má délku jednotky a slouží jako přepona pravého trojúhelníku s úhlem β ; protilehlé a sousední nohy pro tento úhel mají příslušné délky hřích β a cos β . The cos β noha je sama o sobě přeponou pravoúhlého trojúhelníku s úhlem α ; nohy tohoto trojúhelníku proto mají délky dané hřích α a cos α , vynásobeno cos β . The hřích β noha, jako přepona jiného pravoúhlého trojúhelníku s úhlem α , rovněž vede k segmentům délky cos α hřích β a hřích α hřích β . Nyní pozorujeme, že segment „1“ je také přeponou pravoúhlého trojúhelníku s úhlem α + β ; noha naproti tomuto úhlu má nutně délku hřích(α + β ) , zatímco sousední noha má délku cos (α + β ) . V důsledku toho, protože protilehlé strany vnějšího obdélníku diagramu jsou stejné, odvodíme
hřích ( α + β ) = hřích α cos β + cos α hřích β cos ( α + β ) = cos α cos β − hřích α hřích β { displaystyle { begin {zarovnáno} sin ( alpha + beta) & = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta cos ( alpha + beta) & = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta end {zarovnáno}}} Přemístěním jednoho z pojmenovaných úhlů získáme variantu diagramu, který demonstruje vzorce rozdílu úhlů pro sinus a kosinus.[11] (Diagram připouští další varianty pro přizpůsobení úhlů a součtů větších než pravý úhel.) Rozdělení všech prvků diagramu cos α cos β poskytuje ještě další variantu (zobrazenou) ilustrující vzorec součtu úhlů pro tečnu.
Tyto identity mají aplikace například v fázové a kvadraturní komponenty .
Ilustrace vzorce pro přidání úhlu pro kotangens. Pravý horní segment má délku jednotky.
Sinus hřích ( α ± β ) = hřích α cos β ± cos α hřích β { displaystyle sin ( alpha pm beta) = sin alpha cos beta pm cos alfa sin beta} [12] [13] Kosinus cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ hřích α hřích β { displaystyle cos ( alpha pm beta) = cos alpha cos beta mp sin alpha sin beta} [13] [14] Tečna opálení ( α ± β ) = opálení α ± opálení β 1 ∓ opálení α opálení β { displaystyle tan ( alpha pm beta) = { frac { tan alfa pm tan beta} {1 mp tan alpha tan beta}}} [13] [15] Cosecant csc ( α ± β ) = sek α sek β csc α csc β sek α csc β ± csc α sek β { displaystyle csc ( alpha pm beta) = { frac { sec alpha sec beta csc alpha csc beta} { sec alpha csc beta pm csc alfa sec beta}}} [16] Secant sek ( α ± β ) = sek α sek β csc α csc β csc α csc β ∓ sek α sek β { displaystyle sec ( alpha pm beta) = { frac { sec alpha sec beta csc alpha csc beta} { csc alpha csc beta mp sec alfa sec beta}}} [16] Kotangens dětská postýlka ( α ± β ) = dětská postýlka α dětská postýlka β ∓ 1 dětská postýlka β ± dětská postýlka α { displaystyle cot ( alpha pm beta) = { frac { cot alpha cot beta mp 1} { cot beta pm cot alpha}}} [13] [17] Arcsine arcsin X ± arcsin y = arcsin ( X 1 − y 2 ± y 1 − X 2 ) { displaystyle arcsin x pm arcsin y = arcsin vlevo (x { sqrt {1-y ^ {2}}} pm y { sqrt {1-x ^ {2}}} vpravo) } [18] Arckosin arccos X ± arccos y = arccos ( X y ∓ ( 1 − X 2 ) ( 1 − y 2 ) ) { displaystyle arccos x pm arccos y = arccos left (xy mp { sqrt { left (1-x ^ {2} right) left (1-y ^ {2} right) }}že jo)} [19] Arkustangens arktan X ± arktan y = arktan ( X ± y 1 ∓ X y ) { displaystyle arctan x pm arctan y = arctan left ({ frac {x pm y} {1 mp xy}} right)} [20] Arkotangens arccot X ± arccot y = arccot ( X y ∓ 1 y ± X ) { displaystyle operatorname {arccot} x pm operatorname {arccot} y = operatorname {arccot} left ({ frac {xy mp 1} {y pm x}} right)}
Maticová forma Součtové a rozdílové vzorce pro sinus a kosinus vyplývají ze skutečnosti, že rotace roviny o úhel α, která následuje po rotaci o β, se rovná rotaci o α + β. Ve smyslu rotační matice :
( cos α − hřích α hřích α cos α ) ( cos β − hřích β hřích β cos β ) = ( cos α cos β − hřích α hřích β − cos α hřích β − hřích α cos β hřích α cos β + cos α hřích β − hřích α hřích β + cos α cos β ) = ( cos ( α + β ) − hřích ( α + β ) hřích ( α + β ) cos ( α + β ) ) . { displaystyle { begin {aligned} & {} quad left ({ begin {array} {rr} cos alpha & - sin alpha sin alpha & cos alpha end { array}} right) left ({ begin {array} {rr} cos beta & - sin beta sin beta & cos beta end {array}} right) [12pt] & = left ({ begin {array} {rr} cos alpha cos beta - sin alpha sin beta & - cos alpha sin beta - sin alpha cos beta sin alpha cos beta + cos alpha sin beta & - sin alpha sin beta + cos alpha cos beta end {pole}} vpravo) [12pt] & = left ({ begin {array} {rr} cos ( alpha + beta) & - sin ( alpha + beta) sin ( alpha + beta) & cos ( alpha + beta) end {pole}} vpravo). end {zarovnáno}}} The inverzní matice pro rotaci je rotace se zápornou hodnotou úhlu
( cos α − hřích α hřích α cos α ) − 1 = ( cos ( − α ) − hřích ( − α ) hřích ( − α ) cos ( − α ) ) = ( cos α hřích α − hřích α cos α ) , { displaystyle left ({ begin {pole} {rr} cos alpha & - sin alpha sin alpha & cos alpha end {pole}} vpravo) ^ {- 1} = left ({ begin {array} {rr} cos (- alpha) & - sin (- alpha) sin (- alpha) & cos (- alpha) end {pole }} right) = left ({ begin {array} {rr} cos alpha & sin alpha - sin alpha & cos alpha end {array}} right) , ,} což je také maticová transpozice .
Tyto vzorce ukazují, že tyto matice tvoří a zastoupení rotační skupiny v rovině (technicky speciální ortogonální skupina SO (2) ), protože zákon o složení je splněn a inverze existují. Maticové násobení rotační matice pro úhel α s vektorem sloupce otočí vektor sloupce o úhel proti směru hodinových ručiček α .
Od násobení a komplexní číslo délky jednotky otočí komplexní rovinu o argument čísla, výše uvedené násobení rotačních matic je ekvivalentní násobení komplexních čísel:
( cos α + i hřích α ) ( cos β + i hřích β ) = ( cos α cos β − hřích α hřích β ) + i ( cos α hřích β + hřích α cos β ) = cos ( α + β ) + i hřích ( α + β ) . { displaystyle { begin {array} {rcl} ( cos alpha + i sin alpha) ( cos beta + i sin beta) & = & ( cos alfa cos beta - sin alpha sin beta) + i ( cos alpha sin beta + sin alpha cos beta) & = & cos ( alpha {+} beta) + i sin ( alpha {+} beta). end {pole}}}
Ve smyslu Eulerův vzorec , to prostě říká E i α E i β = E i ( α + β ) { displaystyle e ^ {i alpha} e ^ {i beta} = e ^ {i ( alpha + beta)}} , což ukazuje θ ↦ E i θ = cos θ + i hřích θ { Displaystyle theta mapsto e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta} je jednorozměrná komplexní reprezentace S Ó ( 2 ) { displaystyle mathrm {SO} (2)} .
Siny a kosiny součtů nekonečně mnoha úhlů Když série ∑ i = 1 ∞ θ i { displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} theta _ {i}} absolutně konverguje pak
hřích ( ∑ i = 1 ∞ θ i ) = ∑ zvláštní k ≥ 1 ( − 1 ) k − 1 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = k ( ∏ i ∈ A hřích θ i ∏ i ∉ A cos θ i ) { displaystyle sin left ( sum _ {i = 1} ^ { infty} theta _ {i} right) = sum _ {{ text {odd}} k geq 1} (- 1) ^ { frac {k-1} {2}} sum _ { begin {smallmatrix} A subseteq {, 1,2,3, dots , } vlevo | A right | = k end {smallmatrix}} left ( prod _ {i in A} sin theta _ {i} prod _ {i not in A} cos theta _ {i} že jo)} cos ( ∑ i = 1 ∞ θ i ) = ∑ dokonce k ≥ 0 ( − 1 ) k 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = k ( ∏ i ∈ A hřích θ i ∏ i ∉ A cos θ i ) . { displaystyle cos left ( sum _ {i = 1} ^ { infty} theta _ {i} right) = sum _ {{ text {even}} k geq 0} ~ ( -1) ^ { frac {k} {2}} ~~ sum _ { begin {smallmatrix} A subseteq {, 1,2,3, dots , } vlevo | A right | = k end {smallmatrix}} left ( prod _ {i in A} sin theta _ {i} prod _ {i not in A} cos theta _ {i} že jo),.} Protože série ∑ i = 1 ∞ θ i { displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} theta _ {i}} absolutně konverguje, nutně tomu tak je lim i → ∞ θ i = 0 { displaystyle lim _ {i rightarrow infty} theta _ {i} = 0} , lim i → ∞ hřích θ i = 0 { displaystyle lim _ {i rightarrow infty} sin , theta _ {i} = 0} , a lim i → ∞ cos θ i = 1 { displaystyle lim _ {i rightarrow infty} cos theta _ {i} = 1} . Zejména v těchto dvou identitách se objevuje asymetrie, která není vidět v případě součtů konečně mnoha úhlů: v každém produktu existuje pouze konečně mnoho sinusových faktorů, ale existuje definitivně mnoho kosinových faktorů. Výrazy s nekonečně mnoha sinusovými faktory by se nutně rovnaly nule.
Když jen konečně mnoho úhlů θi jsou nenulové, pak pouze konečně mnoho výrazů na pravé straně je nenulové, protože až na konečně mnoho sinusových faktorů zmizí. Kromě toho je v každém termínu až na konečně mnoho kosinových faktorů jednota.
Tečny a kotangenty součtů Nechat Ek (pro k = 0, 1, 2, 3, ...) být k th-stupeň elementární symetrický polynom v proměnných
X i = opálení θ i { displaystyle x_ {i} = tan theta _ {i}} pro i = 0, 1, 2, 3, ..., tj.
E 0 = 1 E 1 = ∑ i X i = ∑ i opálení θ i E 2 = ∑ i < j X i X j = ∑ i < j opálení θ i opálení θ j E 3 = ∑ i < j < k X i X j X k = ∑ i < j < k opálení θ i opálení θ j opálení θ k ⋮ ⋮ { displaystyle { begin {aligned} e_ {0} & = 1 [6pt] e_ {1} & = sum _ {i} x_ {i} && = sum _ {i} tan theta _ {i} [6pt] e_ {2} & = sum _ {i Pak
opálení ( ∑ i θ i ) = hřích ( ∑ i θ i ) / ∏ i cos θ i cos ( ∑ i θ i ) / ∏ i cos θ i = ∑ zvláštní k ≥ 1 ( − 1 ) k − 1 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = k ∏ i ∈ A opálení θ i ∑ dokonce k ≥ 0 ( − 1 ) k 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = k ∏ i ∈ A opálení θ i = E 1 − E 3 + E 5 − ⋯ E 0 − E 2 + E 4 − ⋯ dětská postýlka ( ∑ i θ i ) = E 0 − E 2 + E 4 − ⋯ E 1 − E 3 + E 5 − ⋯ { displaystyle { begin {zarovnáno} tan left ( sum _ {i} theta _ {i} right) & = { frac { sin left ( sum _ {i} theta _ { i} right) / prod _ {i} cos theta _ {i}} { cos left ( sum _ {i} theta _ {i} right) / prod _ {i} cos theta _ {i}}} & = { frac { sum _ {{ text {odd}} k geq 1} (- 1) ^ { frac {k-1} {2} } sum _ { begin {smallmatrix} A subseteq {, 1,2,3, dots , } left | A right | = k end {smallmatrix}} prod _ { i in A} tan theta _ {i}} { sum _ {{ text {even}} k geq 0} ~ (-1) ^ { frac {k} {2}} ~~ sum _ { begin {smallmatrix} A subseteq {, 1,2,3, dots , } left | A right | = k end {smallmatrix}} prod _ {i in A} tan theta _ {i}}} = { frac {e_ {1} -e_ {3} + e_ {5} - cdots} {e_ {0} -e_ {2} + e_ { 4} - cdots}} dětská postýlka levá ( sum _ {i} theta _ {i} pravá) & = { frac {e_ {0} -e_ {2} + e_ {4} - cdots} {e_ {1} -e_ {3} + e_ {5} - cdots}} end {zarovnáno}}} pomocí výše uvedených vzorců sínusového a kosinového součtu.
Počet termínů na pravé straně závisí na počtu termínů na levé straně.
Například:
opálení ( θ 1 + θ 2 ) = E 1 E 0 − E 2 = X 1 + X 2 1 − X 1 X 2 = opálení θ 1 + opálení θ 2 1 − opálení θ 1 opálení θ 2 , opálení ( θ 1 + θ 2 + θ 3 ) = E 1 − E 3 E 0 − E 2 = ( X 1 + X 2 + X 3 ) − ( X 1 X 2 X 3 ) 1 − ( X 1 X 2 + X 1 X 3 + X 2 X 3 ) , opálení ( θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 ) = E 1 − E 3 E 0 − E 2 + E 4 = ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) − ( X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 4 + X 1 X 3 X 4 + X 2 X 3 X 4 ) 1 − ( X 1 X 2 + X 1 X 3 + X 1 X 4 + X 2 X 3 + X 2 X 4 + X 3 X 4 ) + ( X 1 X 2 X 3 X 4 ) , { displaystyle { begin {aligned} tan ( theta _ {1} + theta _ {2}) & = { frac {e_ {1}} {e_ {0} -e_ {2}}} = { frac {x_ {1} + x_ {2}} {1 - x_ {1} x_ {2}}} = { frac { tan theta _ {1} + tan theta _ {2 }} {1 - tan theta _ {1} tan theta _ {2}}}, [8pt] tan ( theta _ {1} + theta _ {2} + theta _ {3}) & = { frac {e_ {1} -e_ {3}} {e_ {0} -e_ {2}}} = { frac {(x_ {1} + x_ {2} + x_ {3}) - (x_ {1} x_ {2} x_ {3})} {1 - (x_ {1} x_ {2} + x_ {1} x_ {3} + x_ {2} x_ {3})}}, [8pt] tan ( theta _ {1} + theta _ {2} + theta _ {3} + theta _ {4}) & = { frac { e_ {1} -e_ {3}} {e_ {0} -e_ {2} + e_ {4}}} [8 bodů] & = { frac {(x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4}) - (x_ {1} x_ {2} x_ {3} + x_ {1} x_ {2} x_ {4} + x_ {1} x_ {3} x_ {4 } + x_ {2} x_ {3} x_ {4})} {1 - (x_ {1} x_ {2} + x_ {1} x_ {3} + x_ {1} x_ {4} + x_ {2} x_ {3} + x_ {2} x_ {4} + x_ {3} x_ {4}) + (x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4})}}, end {zarovnáno}}} a tak dále. Případ pouze konečně mnoha výrazů lze dokázat matematická indukce .[21]
Secants a koscants částek sek ( ∑ i θ i ) = ∏ i sek θ i E 0 − E 2 + E 4 − ⋯ csc ( ∑ i θ i ) = ∏ i sek θ i E 1 − E 3 + E 5 − ⋯ { displaystyle { begin {zarovnáno} sec left ( sum _ {i} theta _ {i} right) & = { frac { prod _ {i} sec theta _ {i}} {e_{0}-e_{2}+e_{4}-cdots }}[8pt]csc left(sum _{i} heta _{i}
ight)&={frac {prod _{i}sec heta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-cdots }}end{aligned}}} kde Ek je k th-degree elementary symmetric polynomial v n proměnné X i = tan θ i , i = 1, ..., n , and the number of terms in the denominator and the number of factors in the product in the numerator depend on the number of terms in the sum on the left.[22] The case of only finitely many terms can be proved by mathematical induction on the number of such terms.
Například,
sek ( α + β + y ) = sek α sek β sek y 1 − opálení α opálení β − opálení α opálení y − opálení β opálení y csc ( α + β + y ) = sek α sek β sek y opálení α + opálení β + opálení y − opálení α opálení β opálení y . {displaystyle {egin{aligned}sec(alpha +eta +gamma )&={frac {sec alpha sec eta sec gamma }{1- an alpha an eta - an alpha an gamma - an eta an gamma }}[8pt]csc(alpha +eta +gamma )&={frac {sec alpha sec eta sec gamma }{ an alpha + an eta + an gamma - an alpha an eta an gamma }}.end{aligned}}} Multiple-angle formulae Double-angle, triple-angle, and half-angle formulae Double-angle formulae Formulae for twice an angle.[25]
hřích ( 2 θ ) = 2 hřích θ cos θ = 2 opálení θ 1 + opálení 2 θ {displaystyle sin(2 heta )=2sin heta cos heta ={frac {2 an heta }{1+ an ^{2} heta }}} cos ( 2 θ ) = cos 2 θ − hřích 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 hřích 2 θ = 1 − opálení 2 θ 1 + opálení 2 θ {displaystyle cos(2 heta )=cos ^{2} heta -sin ^{2} heta =2cos ^{2} heta -1=1-2sin ^{2} heta ={frac {1- an ^{2} heta }{1+ an ^{2} heta }}} opálení ( 2 θ ) = 2 opálení θ 1 − opálení 2 θ {displaystyle an(2 heta )={frac {2 an heta }{1- an ^{2} heta }}} dětská postýlka ( 2 θ ) = dětská postýlka 2 θ − 1 2 dětská postýlka θ {displaystyle cot(2 heta )={frac {cot ^{2} heta -1}{2cot heta }}} sek ( 2 θ ) = sek 2 θ 2 − sek 2 θ {displaystyle sec(2 heta )={frac {sec ^{2} heta }{2-sec ^{2} heta }}} csc ( 2 θ ) = sek θ csc θ 2 {displaystyle csc(2 heta )={frac {sec heta csc heta }{2}}} Triple-angle formulae Formulae for triple angles.[25]
hřích ( 3 θ ) = 3 hřích θ − 4 hřích 3 θ = 4 hřích θ hřích ( π 3 − θ ) hřích ( π 3 + θ ) {displaystyle sin(3 heta )=3sin heta -4sin ^{3} heta =4sin heta sin left({frac {pi }{3}}- heta
ight)sin left({frac {pi }{3}}+ heta
ight)} cos ( 3 θ ) = 4 cos 3 θ − 3 cos θ = 4 cos θ cos ( π 3 − θ ) cos ( π 3 + θ ) {displaystyle cos(3 heta )=4cos ^{3} heta -3cos heta =4cos heta cos left({frac {pi }{3}}- heta
ight)cos left({frac {pi }{3}}+ heta
ight)} opálení ( 3 θ ) = 3 opálení θ − opálení 3 θ 1 − 3 opálení 2 θ = opálení θ opálení ( π 3 − θ ) opálení ( π 3 + θ ) {displaystyle an(3 heta )={frac {3 an heta - an ^{3} heta }{1-3 an ^{2} heta }}= an heta an left({frac {pi }{3}}- heta
ight) an left({frac {pi }{3}}+ heta
ight)} dětská postýlka ( 3 θ ) = 3 dětská postýlka θ − dětská postýlka 3 θ 1 − 3 dětská postýlka 2 θ {displaystyle cot(3 heta )={frac {3cot heta -cot ^{3} heta }{1-3cot ^{2} heta }}} sek ( 3 θ ) = sek 3 θ 4 − 3 sek 2 θ {displaystyle sec(3 heta )={frac {sec ^{3} heta }{4-3sec ^{2} heta }}} csc ( 3 θ ) = csc 3 θ 3 csc 2 θ − 4 {displaystyle csc(3 heta )={frac {csc ^{3} heta }{3csc ^{2} heta -4}}} Half-angle formulae hřích θ 2 = sgn ( 2 π − θ + 4 π ⌊ θ 4 π ⌋ ) 1 − cos θ 2 {displaystyle sin {frac { heta }{2}}=operatorname {sgn} left(2pi - heta +4pi leftlfloor {frac { heta }{4pi }}
ight
floor
ight){sqrt {frac {1-cos heta }{2}}}} hřích 2 θ 2 = 1 − cos θ 2 {displaystyle sin ^{2}{frac { heta }{2}}={frac {1-cos heta }{2}}} cos θ 2 = sgn ( π + θ + 4 π ⌊ π − θ 4 π ⌋ ) 1 + cos θ 2 {displaystyle cos {frac { heta }{2}}=operatorname {sgn} left(pi + heta +4pi leftlfloor {frac {pi - heta }{4pi }}
ight
floor
ight){sqrt {frac {1+cos heta }{2}}}} cos 2 θ 2 = 1 + cos θ 2 {displaystyle cos ^{2}{frac { heta }{2}}={frac {1+cos heta }{2}}} opálení θ 2 = csc θ − dětská postýlka θ = ± 1 − cos θ 1 + cos θ = hřích θ 1 + cos θ = 1 − cos θ hřích θ = − 1 ± 1 + opálení 2 θ opálení θ = opálení θ 1 + sek θ {displaystyle {egin{aligned} an {frac { heta }{2}}&=csc heta -cot heta =pm ,{sqrt {frac {1-cos heta }{1+cos heta }}}={frac {sin heta }{1+cos heta }}&={frac {1-cos heta }{sin heta }}={frac {-1pm {sqrt {1+ an ^{2} heta }}}{ an heta }}={frac { an heta }{1+sec { heta }}}end{aligned}}} dětská postýlka θ 2 = csc θ + dětská postýlka θ = ± 1 + cos θ 1 − cos θ = hřích θ 1 − cos θ = 1 + cos θ hřích θ {displaystyle cot {frac { heta }{2}}=csc heta +cot heta =pm ,{sqrt {frac {1+cos heta }{1-cos heta }}}={frac {sin heta }{1-cos heta }}={frac {1+cos heta }{sin heta }}} [26] [27]
Taky
opálení η + θ 2 = hřích η + hřích θ cos η + cos θ {displaystyle an {frac {eta + heta }{2}}={frac {sin eta +sin heta }{cos eta +cos heta }}} opálení ( θ 2 + π 4 ) = sek θ + opálení θ {displaystyle an left({frac { heta }{2}}+{frac {pi }{4}}
ight)=sec heta + an heta } 1 − hřích θ 1 + hřích θ = | 1 − opálení θ 2 | | 1 + opálení θ 2 | {displaystyle {sqrt {frac {1-sin heta }{1+sin heta }}}={frac {|1- an {frac { heta }{2}}|}{|1+ an {frac { heta }{2}}|}}} Stůl These can be shown by using either the sum and difference identities or the multiple-angle formulae.
Sinus Cosine Tečna Cotangent Double-angle formulae[28] [29] hřích ( 2 θ ) = 2 hřích θ cos θ = 2 opálení θ 1 + opálení 2 θ {displaystyle {egin{aligned}sin(2 heta )&=2sin heta cos heta &={frac {2 an heta }{1+ an ^{2} heta }}end{aligned}}} cos ( 2 θ ) = cos 2 θ − hřích 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 hřích 2 θ = 1 − opálení 2 θ 1 + opálení 2 θ {displaystyle {egin{aligned}cos(2 heta )&=cos ^{2} heta -sin ^{2} heta &=2cos ^{2} heta -1&=1-2sin ^{2} heta &={frac {1- an ^{2} heta }{1+ an ^{2} heta }}end{aligned}}} opálení ( 2 θ ) = 2 opálení θ 1 − opálení 2 θ {displaystyle an(2 heta )={frac {2 an heta }{1- an ^{2} heta }}} dětská postýlka ( 2 θ ) = dětská postýlka 2 θ − 1 2 dětská postýlka θ {displaystyle cot(2 heta )={frac {cot ^{2} heta -1}{2cot heta }}} Triple-angle formulae[23] [30] hřích ( 3 θ ) = − hřích 3 θ + 3 cos 2 θ hřích θ = − 4 hřích 3 θ + 3 hřích θ {displaystyle {egin{aligned}sin(3 heta )!&=!-sin ^{3} heta !+!3cos ^{2} heta sin heta &=-4sin ^{3} heta +3sin heta end{aligned}}} cos ( 3 θ ) = cos 3 θ − 3 hřích 2 θ cos θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ {displaystyle {egin{aligned}cos(3 heta )!&=!cos ^{3} heta !-!3sin ^{2} heta cos heta &=4cos ^{3} heta -3cos heta end{aligned}}} opálení ( 3 θ ) = 3 opálení θ − opálení 3 θ 1 − 3 opálení 2 θ {displaystyle an(3 heta )={frac {3 an heta - an ^{3} heta }{1-3 an ^{2} heta }}} dětská postýlka ( 3 θ ) = 3 dětská postýlka θ − dětská postýlka 3 θ 1 − 3 dětská postýlka 2 θ {displaystyle cot(3 heta )!=!{frac {3cot heta !-!cot ^{3} heta }{1!-!3cot ^{2} heta }}} Half-angle formulae[26] [27] hřích θ 2 = sgn ( A ) 1 − cos θ 2 kde A = 2 π − θ + 4 π ⌊ θ 4 π ⌋ ( nebo hřích 2 θ 2 = 1 − cos θ 2 ) {displaystyle {egin{aligned}&sin {frac { heta }{2}}=operatorname {sgn}(A),{sqrt {frac {1!-!cos heta }{2}}}&{ ext{where}},A=2pi - heta +4pi leftlfloor {frac { heta }{4pi }}
ight
floor &left({ ext{or}},,sin ^{2}{frac { heta }{2}}={frac {1-cos heta }{2}}
ight)end{aligned}}} cos θ 2 = sgn ( B ) 1 + cos θ 2 kde B = π + θ + 4 π ⌊ π − θ 4 π ⌋ ( Ó r cos 2 θ 2 = 1 + cos θ 2 ) {displaystyle {egin{aligned}&cos {frac { heta }{2}}=operatorname {sgn}(B),{sqrt {frac {1+cos heta }{2}}}&{ ext{where}},B=pi + heta +4pi leftlfloor {frac {pi - heta }{4pi }}
ight
floor &left(mathrm {or} ,,cos ^{2}{frac { heta }{2}}={frac {1+cos heta }{2}}
ight)end{aligned}}} opálení θ 2 = csc θ − dětská postýlka θ = ± 1 − cos θ 1 + cos θ = hřích θ 1 + cos θ = 1 − cos θ hřích θ opálení η + θ 2 = hřích η + hřích θ cos η + cos θ opálení ( θ 2 + π 4 ) = sek θ + opálení θ 1 − hřích θ 1 + hřích θ = | 1 − opálení θ 2 | | 1 + opálení θ 2 | opálení θ 2 = opálení θ 1 + 1 + opálení 2 θ pro θ ∈ ( − π 2 , π 2 ) {displaystyle {egin{aligned} an {frac { heta }{2}}&=csc heta -cot heta &=pm ,{sqrt {frac {1-cos heta }{1+cos heta }}}[8pt]&={frac {sin heta }{1+cos heta }}[8pt]&={frac {1-cos heta }{sin heta }}[10pt] an {frac {eta + heta }{2}}!&={frac {sin eta +sin heta }{cos eta +cos heta }}[8pt] an left(!{frac { heta }{2}}!+!{frac {pi }{4}}!
ight)!&=!sec heta !+! an heta [8pt]{sqrt {frac {1-sin heta }{1+sin heta }}}&={frac {|1- an {frac { heta }{2}}|}{|1+ an {frac { heta }{2}}|}}[8pt] an {frac { heta }{2}}!&=!{frac { an heta }{1!+!{sqrt {1!+! an ^{2} heta }}}}&{ ext{for}}quad heta in left(-{ frac {pi }{2}},{ frac {pi }{2}}
ight)end{aligned}}} dětská postýlka θ 2 = csc θ + dětská postýlka θ = ± 1 + cos θ 1 − cos θ = hřích θ 1 − cos θ = 1 + cos θ hřích θ {displaystyle {egin{aligned}cot {frac { heta }{2}}&=csc heta +cot heta &=pm ,{sqrt {frac {1!+!cos heta }{1!-!cos heta }}}[8pt]&={frac {sin heta }{1!-!cos heta }}[8pt]&={frac {1!+!cos heta }{sin heta }}end{aligned}}}
The fact that the triple-angle formula for sine and cosine only involves powers of a single function allows one to relate the geometric problem of a konstrukce kompasu a pravítka z úhlová trisekce to the algebraic problem of solving a kubická rovnice , which allows one to prove that trisection is in general impossible using the given tools, by teorie pole .
A formula for computing the trigonometric identities for the one-third angle exists, but it requires finding the zeroes of the kubická rovnice 4X 3 − 3X + d = 0 , kde X is the value of the cosine function at the one-third angle and d is the known value of the cosine function at the full angle. Nicméně discriminant of this equation is positive, so this equation has three real roots (of which only one is the solution for the cosine of the one-third angle). None of these solutions is reducible to a real algebraic expression, as they use intermediate complex numbers under the kořeny kostky .
Sine, cosine, and tangent of multiple angles For specific multiples, these follow from the angle addition formulae, while the general formula was given by 16th-century French mathematician François Viète .[Citace je zapotřebí ]
hřích ( n θ ) = ∑ k zvláštní ( − 1 ) k − 1 2 ( n k ) cos n − k θ hřích k θ , cos ( n θ ) = ∑ k dokonce ( − 1 ) k 2 ( n k ) cos n − k θ hřích k θ , {displaystyle {egin{aligned}sin(n heta )&=sum _{k{ ext{ odd}}}(-1)^{frac {k-1}{2}}{n choose k}cos ^{n-k} heta sin ^{k} heta ,cos(n heta )&=sum _{k{ ext{ even}}}(-1)^{frac {k}{2}}{n choose k}cos ^{n-k} heta sin ^{k} heta ,,end{aligned}}} for nonnegative values of k až do konce n .[Citace je zapotřebí ]
In each of these two equations, the first parenthesized term is a binomial coefficient , and the final trigonometric function equals one or minus one or zero so that half the entries in each of the sums are removed. The ratio of these formulae gives
opálení ( n θ ) = ∑ k zvláštní ( − 1 ) k − 1 2 ( n k ) opálení k θ ∑ k dokonce ( − 1 ) k 2 ( n k ) opálení k θ . { displaystyle tan (n theta) = { frac { součet _ {k { text {odd}}} (- 1) ^ { frac {k-1} {2}} {n zvolit k } tan ^ {k} theta} { sum _ {k { text {even}}} (- 1) ^ { frac {k} {2}} {n vyberte k} tan ^ {k } theta}} ,.} [Citace je zapotřebí ] Čebyševova metoda The Čebyšev metoda je rekurzivní algoritmus pro nalezení n vzorec vícenásobného úhlu s vědomím (n − 1) th a (n − 2) th hodnoty.[31]
cos (nx ) lze vypočítat z cos ((n − 1)X ) , cos ((n − 2)X ) , a cos (X ) s
cos (nx ) = 2 · cos X · Cos ((n − 1)X ) - cos ((n − 2)X ) .To lze dokázat sečtením vzorců
cos ((n − 1)X + X ) = cos ((n − 1)X ) cos X - hřích ((n − 1)X ) hřích X cos ((n − 1)X − X ) = cos ((n − 1)X ) cos X + hřích ((n − 1)X ) hřích X .Z toho vyplývá, že indukcí cos (nx ) je polynom z cos X , takzvaný Čebyševův polynom prvního druhu, viz Čebyševovy polynomy # trigonometrická definice .
Podobně, hřích(nx ) lze vypočítat z hřích((n − 1)X ) , hřích((n − 2)X ) , a cos (X ) s
hřích(nx ) = 2 · cos X · Hřích ((n − 1)X ) - hřích ((n − 2)X ) .To lze dokázat přidáním vzorců pro hřích((n − 1)X + X ) a hřích((n − 1)X − X ) .
Slouží účelu podobnému Čebyševově metodě, pro tangens můžeme napsat:
opálení ( n X ) = opálení ( ( n − 1 ) X ) + opálení X 1 − opálení ( ( n − 1 ) X ) opálení X . { displaystyle tan (nx) = { frac { tan ((n-1) x) + tan x} {1- tan ((n-1) x) tan x}} ,.}) Tečna průměru opálení ( α + β 2 ) = hřích α + hřích β cos α + cos β = − cos α − cos β hřích α − hřích β { displaystyle tan left ({ frac { alpha + beta} {2}} right) = { frac { sin alpha + sin beta} { cos alpha + cos beta }} = - , { frac { cos alpha - cos beta} { sin alpha - sin beta}}} Nastavení buď α nebo β na 0 dává obvyklé tečné poloviční úhlové vzorce.
Nekonečný produkt Viète cos θ 2 ⋅ cos θ 4 ⋅ cos θ 8 ⋯ = ∏ n = 1 ∞ cos θ 2 n = hřích θ θ = upřímně θ . { displaystyle cos { frac { theta} {2}} cdot cos { frac { theta} {4}} cdot cos { frac { theta} {8}} cdots = prod _ {n = 1} ^ { infty} cos { frac { theta} {2 ^ {n}}} = { frac { sin theta} { theta}} = operatorname {sinc} theta.} (Odkazují na funkce sinc .)
Vzorce pro snížení výkonu Získané řešením druhé a třetí verze kosinového vzorce s dvojitým úhlem.
Sinus Kosinus jiný hřích 2 θ = 1 − cos ( 2 θ ) 2 { displaystyle sin ^ {2} theta = { frac {1- cos (2 theta)} {2}}} cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 { displaystyle cos ^ {2} theta = { frac {1+ cos (2 theta)} {2}}} hřích 2 θ cos 2 θ = 1 − cos ( 4 θ ) 8 { displaystyle sin ^ {2} theta cos ^ {2} theta = { frac {1- cos (4 theta)} {8}}} hřích 3 θ = 3 hřích θ − hřích ( 3 θ ) 4 { displaystyle sin ^ {3} theta = { frac {3 sin theta - sin (3 theta)} {4}}} cos 3 θ = 3 cos θ + cos ( 3 θ ) 4 { displaystyle cos ^ {3} theta = { frac {3 cos theta + cos (3 theta)} {4}}} hřích 3 θ cos 3 θ = 3 hřích ( 2 θ ) − hřích ( 6 θ ) 32 { displaystyle sin ^ {3} theta cos ^ {3} theta = { frac {3 sin (2 theta) - sin (6 theta)} {32}}} hřích 4 θ = 3 − 4 cos ( 2 θ ) + cos ( 4 θ ) 8 { displaystyle sin ^ {4} theta = { frac {3-4 cos (2 theta) + cos (4 theta)} {8}}} cos 4 θ = 3 + 4 cos ( 2 θ ) + cos ( 4 θ ) 8 { displaystyle cos ^ {4} theta = { frac {3 + 4 cos (2 theta) + cos (4 theta)} {8}}} hřích 4 θ cos 4 θ = 3 − 4 cos ( 4 θ ) + cos ( 8 θ ) 128 { displaystyle sin ^ {4} theta cos ^ {4} theta = { frac {3-4 cos (4 theta) + cos (8 theta)} {128}}} hřích 5 θ = 10 hřích θ − 5 hřích ( 3 θ ) + hřích ( 5 θ ) 16 { displaystyle sin ^ {5} theta = { frac {10 sin theta -5 sin (3 theta) + sin (5 theta)} {16}}} cos 5 θ = 10 cos θ + 5 cos ( 3 θ ) + cos ( 5 θ ) 16 { displaystyle cos ^ {5} theta = { frac {10 cos theta +5 cos (3 theta) + cos (5 theta)} {16}}} hřích 5 θ cos 5 θ = 10 hřích ( 2 θ ) − 5 hřích ( 6 θ ) + hřích ( 10 θ ) 512 { displaystyle sin ^ {5} theta cos ^ {5} theta = { frac {10 sin (2 theta) -5 sin (6 theta) + sin (10 theta)} {512}}}
a obecně z hlediska pravomocí hřích θ nebo cos θ následující je pravda a lze ji odvodit pomocí De Moivreův vzorec , Eulerův vzorec a binomická věta [Citace je zapotřebí ] .
Kosinus Sinus -li n je zvláštní { displaystyle { text {if}} n { text {je zvláštní}}} cos n θ = 2 2 n ∑ k = 0 n − 1 2 ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) { displaystyle cos ^ {n} theta = { frac {2} {2 ^ {n}}} součet _ {k = 0} ^ { frac {n-1} {2}} { binom {n} {k}} cos {{ big (} (n-2k) theta { big)}}} hřích n θ = 2 2 n ∑ k = 0 n − 1 2 ( − 1 ) ( n − 1 2 − k ) ( n k ) hřích ( ( n − 2 k ) θ ) { displaystyle sin ^ {n} theta = { frac {2} {2 ^ {n}}} součet _ {k = 0} ^ { frac {n-1} {2}} (- 1 ) ^ { left ({ frac {n-1} {2}} - k right)} { binom {n} {k}} sin {{ big (} (n-2k) theta { velký)}}} -li n je sudý { displaystyle { text {if}} n { text {je sudý}}} cos n θ = 1 2 n ( n n 2 ) + 2 2 n ∑ k = 0 n 2 − 1 ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) { displaystyle cos ^ {n} theta = { frac {1} {2 ^ {n}}} { binom {n} { frac {n} {2}}} + { frac {2} {2 ^ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {{ frac {n} {2}} - 1} { binom {n} {k}} cos {{ big (} ( n-2k) theta { big)}}} hřích n θ = 1 2 n ( n n 2 ) + 2 2 n ∑ k = 0 n 2 − 1 ( − 1 ) ( n 2 − k ) ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) { displaystyle sin ^ {n} theta = { frac {1} {2 ^ {n}}} { binom {n} { frac {n} {2}}} + { frac {2} {2 ^ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {{ frac {n} {2}} - 1} (- 1) ^ { left ({ frac {n} {2}} -k right)} { binom {n} {k}} cos {{ big (} (n-2k) theta { big)}}}
Totožnost produktu a součtu produktu Totožnosti součtu produktu nebo vzorce pro prostaferézu lze prokázat rozšířením jejich pravých stran pomocí věty o sčítání úhlu . Vidět amplitudová modulace pro aplikaci vzorců součet na součet a rytmus (akustika) a fázový detektor pro aplikace vzorců součtu k produktu.
Součet produktů[32] 2 cos θ cos φ = cos ( θ − φ ) + cos ( θ + φ ) { displaystyle 2 cos theta cos varphi = { cos ( theta - varphi) + cos ( theta + varphi)}} 2 hřích θ hřích φ = cos ( θ − φ ) − cos ( θ + φ ) { displaystyle 2 sin theta sin varphi = { cos ( theta - varphi) - cos ( theta + varphi)}} 2 hřích θ cos φ = hřích ( θ + φ ) + hřích ( θ − φ ) { Displaystyle 2 sin theta cos varphi = { sin ( theta + varphi) + sin ( theta - varphi)}} 2 cos θ hřích φ = hřích ( θ + φ ) − hřích ( θ − φ ) { displaystyle 2 cos theta sin varphi = { sin ( theta + varphi) - sin ( theta - varphi)}} opálení θ opálení φ = cos ( θ − φ ) − cos ( θ + φ ) cos ( θ − φ ) + cos ( θ + φ ) { Displaystyle tan theta tan varphi = { frac { cos ( theta - varphi) - cos ( theta + varphi)} { cos ( theta - varphi) + cos ( theta + varphi)}}} ∏ k = 1 n cos θ k = 1 2 n ∑ E ∈ S cos ( E 1 θ 1 + ⋯ + E n θ n ) kde S = { 1 , − 1 } n { displaystyle { begin {aligned} prod _ {k = 1} ^ {n} cos theta _ {k} & = { frac {1} {2 ^ {n}}} sum _ {e in S} cos (e_ {1} theta _ {1} + cdots + e_ {n} theta _ {n}) [6pt] & { text {where}} S = {1 , -1 } ^ {n} end {zarovnáno}}}
Součet k produktu[33] hřích θ ± hřích φ = 2 hřích ( θ ± φ 2 ) cos ( θ ∓ φ 2 ) { Displaystyle sin theta pm sin varphi = 2 sin left ({ frac { theta pm varphi} {2}} right) cos left ({ frac { theta mp varphi} {2}} vpravo)} cos θ + cos φ = 2 cos ( θ + φ 2 ) cos ( θ − φ 2 ) { displaystyle cos theta + cos varphi = 2 cos vlevo ({ frac { theta + varphi} {2}} vpravo) cos vlevo ({ frac { theta - varphi } {2}} vpravo)} cos θ − cos φ = − 2 hřích ( θ + φ 2 ) hřích ( θ − φ 2 ) { displaystyle cos theta - cos varphi = -2 sin left ({ frac { theta + varphi} {2}} right) sin left ({ frac { theta - varphi} {2}} vpravo)}
Další související identity sek 2 X + csc 2 X = sek 2 X csc 2 X . { displaystyle sec ^ {2} x + csc ^ {2} x = sec ^ {2} x csc ^ {2} x.} [34] Li X + y + z = π (půlkruh) hřích ( 2 X ) + hřích ( 2 y ) + hřích ( 2 z ) = 4 hřích X hřích y hřích z . { Displaystyle sin (2x) + sin (2y) + sin (2z) = 4 sin x sin y sin z.} Trojitá tangenta identity: Li X + y + z = π (půlkruh) opálení X + opálení y + opálení z = opálení X opálení y opálení z . { displaystyle tan x + tan y + tan z = tan x tan y tan z.} Vzorec platí zejména tehdy, když X , y , a z jsou tři úhly libovolného trojúhelníku. (Pokud některý z X , y , z je pravý úhel, je třeba brát obě strany ∞ . To není ani jedno +∞ ani −∞ ; pro současné účely má smysl přidat do bodu pouze jeden bod v nekonečnu skutečná linie , k němuž přistupuje opálení θ tak jako opálení θ buď se zvyšuje přes kladné hodnoty, nebo klesá přes záporné hodnoty. Tohle je jednobodové zhutnění skutečné linie.) Trojitá kotangensová identita: Li X + y + z = π / 2 (pravý úhel nebo čtvrtkruh), poté dětská postýlka X + dětská postýlka y + dětská postýlka z = dětská postýlka X dětská postýlka y dětská postýlka z . { displaystyle postýlka x + postýlka y + postýlka z = postýlka x postýlka y postýlka z.} Hermitova kotangensová identita Charles Hermite prokázal následující identitu.[35] Předpokládat A 1 , ..., A n jsou komplexní čísla , žádné dva se neliší celočíselným násobkemπ . Nechat
A n , k = ∏ 1 ≤ j ≤ n j ≠ k dětská postýlka ( A k − A j ) { displaystyle A_ {n, k} = prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq k end {smallmatrix}} cot (a_ {k} -a_ {j} )} (zejména, A 1,1 , být prázdný produkt , je 1). Pak
dětská postýlka ( z − A 1 ) ⋯ dětská postýlka ( z − A n ) = cos n π 2 + ∑ k = 1 n A n , k dětská postýlka ( z − A k ) . { displaystyle cot (z-a_ {1}) cdots cot (z-a_ {n}) = cos { frac {n pi} {2}} + sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {n, k} cot (z-a_ {k}).} Nejjednodušším netriviálním příkladem je případn = 2 :
dětská postýlka ( z − A 1 ) dětská postýlka ( z − A 2 ) = − 1 + dětská postýlka ( A 1 − A 2 ) dětská postýlka ( z − A 1 ) + dětská postýlka ( A 2 − A 1 ) dětská postýlka ( z − A 2 ) . { displaystyle cot (z-a_ {1}) cot (z-a_ {2}) = - 1+ cot (a_ {1} -a_ {2}) cot (z-a_ {1}) + cot (a_ {2} -a_ {1}) cot (z-a_ {2}).} Ptolemaiova věta Ptolemaiovu větu lze vyjádřit v jazyce moderní trigonometrie jako:
Li w + X + y + z = π , pak: hřích ( w + X ) hřích ( X + y ) = hřích ( X + y ) hřích ( y + z ) (triviální) = hřích ( y + z ) hřích ( z + w ) (triviální) = hřích ( z + w ) hřích ( w + X ) (triviální) = hřích w hřích y + hřích X hřích z . (významný) { displaystyle { begin {zarovnáno} sin (w + x) sin (x + y) & = sin (x + y) sin (y + z) & { text {(triviální)}} & = sin (y + z) sin (z + w) & { text {(triviální)}} & = sin (z + w) sin (w + x) & { text { (triviální)}} & = sin w sin y + sin x sin z. & { text {(významné)}} end {zarovnáno}}} (První tři rovnosti jsou triviální přesmyky; čtvrtá je podstatou této identity.)
Konečné produkty trigonometrických funkcí Pro coprime celá čísla n , m
∏ k = 1 n ( 2 A + 2 cos ( 2 π k m n + X ) ) = 2 ( T n ( A ) + ( − 1 ) n + m cos ( n X ) ) { displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n} vlevo (2a + 2 cos vlevo ({ frac {2 pi km} {n}} + x vpravo) vpravo) = 2 left (T_ {n} (a) + {(- 1)} ^ {n + m} cos (nx) right)} kde Tn je Čebyševův polynom .
Následující vztah platí pro funkci sine
∏ k = 1 n − 1 hřích ( k π n ) = n 2 n − 1 . { displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n-1} sin left ({ frac {k pi} {n}} right) = { frac {n} {2 ^ {n- 1}}}.} Obecněji [36]
hřích ( n X ) = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 hřích ( X + k π n ) . { displaystyle sin (nx) = 2 ^ {n-1} prod _ {k = 0} ^ {n-1} sin left (x + { frac {k pi} {n}} right ).} Lineární kombinace Pro některé účely je důležité vědět, že jakákoli lineární kombinace sinusových vln stejné periody nebo frekvence, ale odlišných fázové posuny je také sinusová vlna se stejnou periodou nebo frekvencí, ale odlišným fázovým posunem. To je užitečné v sinusoida přizpůsobení dat , protože naměřená nebo pozorovaná data jsou lineárně vztažena k A a b neznámé z fázové a kvadraturní komponenty níže, což má za následek jednodušší Jacobian ve srovnání s C a φ .
Sinus a kosinus Lineární kombinace nebo harmonické přidání sinusových a kosinových vln je ekvivalentní jedné sinusové vlně s fázovým posunem a změnou amplitudy,[37] [38]
A cos X + b hřích X = C cos ( X + φ ) { Displaystyle a cos x + b sin x = c cos (x + varphi)} kde C a φ jsou definovány takto:
C = sgn ( A ) A 2 + b 2 , { displaystyle c = operatorname {sgn} (a) { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}},} φ = arktan ( − b A ) . { displaystyle varphi = operatorname {arctan} left (- { frac {b} {a}} right).} Libovolný fázový posun Obecněji platí, že pro libovolné fázové posuny máme
A hřích ( X + θ A ) + b hřích ( X + θ b ) = C hřích ( X + φ ) { displaystyle a sin (x + theta _ {a}) + b sin (x + theta _ {b}) = c sin (x + varphi)} kde C a φ uspokojit:
C 2 = A 2 + b 2 + 2 A b cos ( θ A − θ b ) , { displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + 2ab cos left ( theta _ {a} - theta _ {b} right),} opálení φ = A hřích θ A + b hřích θ b A cos θ A + b cos θ b . { displaystyle tan varphi = { frac {a sin theta _ {a} + b sin theta _ {b}} {a cos theta _ {a} + b cos theta _ { b}}}.} Více než dva sinusoidy Obecný případ zní[38]
∑ i A i hřích ( X + θ i ) = A hřích ( X + θ ) , { displaystyle sum _ {i} a_ {i} sin (x + theta _ {i}) = a sin (x + theta),} kde
A 2 = ∑ i , j A i A j cos ( θ i − θ j ) { displaystyle a ^ {2} = součet _ {i, j} a_ {i} a_ {j} cos ( theta _ {i} - theta _ {j})} a
opálení θ = ∑ i A i hřích θ i ∑ i A i cos θ i . { displaystyle tan theta = { frac { součet _ {i} a_ {i} sin theta _ {i}} { součet _ {i} a_ {i} cos theta _ {i} }}.} Viz také Phasorové přidání .
Lagrangeovy trigonometrické identity Tyto identity, pojmenované po Joseph Louis Lagrange , jsou:[39] [40]
∑ n = 1 N hřích ( n θ ) = 1 2 dětská postýlka θ 2 − cos ( ( N + 1 2 ) θ ) 2 hřích ( θ 2 ) ∑ n = 1 N cos ( n θ ) = − 1 2 + hřích ( ( N + 1 2 ) θ ) 2 hřích ( θ 2 ) { displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 1} ^ {N} sin (n theta) & = { frac {1} {2}} cot { frac { theta} { 2}} - { frac { cos left ( left (N + { frac {1} {2}} right) theta right)} {2 sin left ({ frac { theta} {2}} right)}} [5pt] sum _ {n = 1} ^ {N} cos (n theta) & = - { frac {1} {2}} + { frac { sin left ( left (N + { frac {1} {2}} right) theta right)} {2 sin left ({ frac { theta} {2}} right) }} end {zarovnáno}}} Související funkcí je následující funkce X , volal Dirichletovo jádro .
1 + 2 cos X + 2 cos ( 2 X ) + 2 cos ( 3 X ) + ⋯ + 2 cos ( n X ) = hřích ( ( n + 1 2 ) X ) hřích ( X 2 ) . { Displaystyle 1 + 2 cos x + 2 cos (2x) +2 cos (3x) + cdots +2 cos (nx) = { frac { sin left ( left (n + { frac {1} {2}} right) x right)} { sin left ({ frac {x} {2}} right)}}.} vidět důkaz .
Další součty trigonometrických funkcí Součet sinusů a kosinů s argumenty v aritmetické posloupnosti:[41] -li α ≠ 0 , pak
hřích φ + hřích ( φ + α ) + hřích ( φ + 2 α ) + ⋯ ⋯ + hřích ( φ + n α ) = hřích ( n + 1 ) α 2 ⋅ hřích ( φ + n α 2 ) hřích α 2 a cos φ + cos ( φ + α ) + cos ( φ + 2 α ) + ⋯ ⋯ + cos ( φ + n α ) = hřích ( n + 1 ) α 2 ⋅ cos ( φ + n α 2 ) hřích α 2 . { displaystyle { begin {zarovnáno} & sin varphi + sin ( varphi + alpha) + sin ( varphi +2 alpha) + cdots [8pt] & {} qquad qquad cdots + sin ( varphi + n alpha) = { frac { sin { frac {(n + 1) alpha} {2}} cdot sin left ( varphi + { frac { n alpha} {2}} right)} { sin { frac { alpha} {2}}}} quad { text {and}} [10pt] & cos varphi + cos ( varphi + alpha) + cos ( varphi +2 alpha) + cdots [8pt] & {} qquad qquad cdots + cos ( varphi + n alpha) = { frac { sin { frac {(n + 1) alpha} {2}} cdot cos left ( varphi + { frac {n alpha} {2}} right)} { sin { frac { alpha} {2}}}}. end {zarovnáno}}} sek X ± opálení X = opálení ( π 4 ± X 2 ) . { displaystyle sec x pm tan x = tan vlevo ({ frac { pi} {4}} pm { frac {x} {2}} vpravo).} Výše uvedené identity je někdy vhodné vědět, když přemýšlíte o Gudermannská funkce , který se týká oběžník a hyperbolický trigonometrické funkce bez použití komplexní čísla .
Li X , y , a z jsou tři úhly libovolného trojúhelníku, tj. pokud X + y + z = π , pak
dětská postýlka X dětská postýlka y + dětská postýlka y dětská postýlka z + dětská postýlka z dětská postýlka X = 1. { displaystyle postýlka x postýlka y + postýlka y postýlka z + postýlka z postýlka x = 1.} Určité lineární zlomkové transformace Li F (X ) je dán lineární frakční transformace
F ( X ) = ( cos α ) X − hřích α ( hřích α ) X + cos α , { displaystyle f (x) = { frac {( cos alfa) x- sin alpha} {( sin alpha) x + cos alpha}},} a podobně
G ( X ) = ( cos β ) X − hřích β ( hřích β ) X + cos β , { displaystyle g (x) = { frac {( cos beta) x- sin beta} {( sin beta) x + cos beta}},} pak
F ( G ( X ) ) = G ( F ( X ) ) = ( cos ( α + β ) ) X − hřích ( α + β ) ( hřích ( α + β ) ) X + cos ( α + β ) . { displaystyle f { big (} g (x) { big)} = g { big (} f (x) { big)} = { frac {{ big (} cos ( alpha + beta) { big)} x- sin ( alpha + beta)} {{ big (} sin ( alpha + beta) { big)} x + cos ( alpha + beta) }}.} Stručně řečeno, pokud pro všechny α nechali jsme Fα být tím, čemu jsme volali F tedy výše
F α ∘ F β = F α + β . { displaystyle f _ { alpha} circ f _ { beta} = f _ { alpha + beta}.} Li X je tedy sklon přímky F (X ) je sklon jeho rotace o úhel −α .
Inverzní trigonometrické funkce arcsin X + arccos X = π 2 arktan X + arccot X = π 2 arktan X + arktan 1 X = { π 2 , -li X > 0 − π 2 , -li X < 0 { displaystyle { begin {zarovnáno} arcsin x + arccos x & = { dfrac { pi} {2}} arctan x + operatorname {arccot} x & = { dfrac { pi} {2}} arctan x + arctan { dfrac {1} {x}} & = { begin {cases} { dfrac { pi} {2}}, a { text {if}} x> 0 - { dfrac { pi} {2}}, a { text {if}} x <0 end {cases}} end {aligned}}} arktan 1 X = arktan 1 X + y + arktan y X 2 + X y + 1 { displaystyle arctan { frac {1} {x}} = arctan { frac {1} {x + y}} + arctan { frac {y} {x ^ {2} + xy + 1} }} [42] Složení trigových a inverzních trigových funkcí hřích ( arccos X ) = 1 − X 2 opálení ( arcsin X ) = X 1 − X 2 hřích ( arktan X ) = X 1 + X 2 opálení ( arccos X ) = 1 − X 2 X cos ( arktan X ) = 1 1 + X 2 dětská postýlka ( arcsin X ) = 1 − X 2 X cos ( arcsin X ) = 1 − X 2 dětská postýlka ( arccos X ) = X 1 − X 2 { displaystyle { begin {zarovnáno} sin ( arccos x) & = { sqrt {1-x ^ {2}}} & tan ( arcsin x) & = { frac {x} { sqrt {1-x ^ {2}}}} sin ( arctan x) & = { frac {x} { sqrt {1 + x ^ {2}}}} & tan ( arccos x) & = { frac { sqrt {1-x ^ {2}}} {x}} cos ( arctan x) & = { frac {1} { sqrt {1 + x ^ {2} }}} & cot ( arcsin x) & = { frac { sqrt {1-x ^ {2}}} {x}} cos ( arcsin x) & = { sqrt {1- x ^ {2}}} & cot ( arccos x) & = { frac {x} { sqrt {1-x ^ {2}}}} end {zarovnáno}}} Vztah ke komplexní exponenciální funkci S imaginární číslo jednotky i uspokojující i 2 = −1 ,
E i X = cos X + i hřích X { displaystyle e ^ {ix} = cos x + i sin x} [43] (Eulerův vzorec ), E − i X = cos ( − X ) + i hřích ( − X ) = cos X − i hřích X { displaystyle e ^ {- ix} = cos (-x) + i sin (-x) = cos x-i sin x} E i π + 1 = 0 { displaystyle e ^ {i pi} + 1 = 0} (Eulerova identita ), E 2 π i = 1 { displaystyle e ^ {2 pi i} = 1} cos X = E i X + E − i X 2 { displaystyle cos x = { frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}}} [44] hřích X = E i X − E − i X 2 i { displaystyle sin x = { frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}}} [45] opálení X = hřích X cos X = E i X − E − i X i ( E i X + E − i X ) . { displaystyle tan x = { frac { sin x} { cos x}} = { frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {i ({e ^ {ix} + e ^ {- ix}})}} ,.} Tyto vzorce jsou užitečné pro prokázání mnoha dalších trigonometrických identit. Například toE i (θ +φ ) = E iθ E iφ znamená, že
cos (θ +φ ) + i hřích(θ +φ ) = (cos θ + i hřích θ ) (cos φ + i hřích φ ) = (cos θ cos φ - hřích θ hřích φ ) + i (cos θ hřích φ + hřích θ cos φ ) .To, že skutečná část levé strany se rovná skutečné části pravé strany, je vzorec pro sčítání úhlu pro kosinus. Rovnost imaginárních částí dává vzorec pro sčítání úhlu pro sinus.
Nekonečné produktové vzorce Pro aplikace do speciální funkce , následující nekonečný produkt vzorce pro trigonometrické funkce jsou užitečné:[46] [47]
hřích X = X ∏ n = 1 ∞ ( 1 − X 2 π 2 n 2 ) sinh X = X ∏ n = 1 ∞ ( 1 + X 2 π 2 n 2 ) cos X = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − X 2 π 2 ( n − 1 2 ) 2 ) hovno X = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + X 2 π 2 ( n − 1 2 ) 2 ) { displaystyle { begin {aligned} sin x & = x prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {x ^ {2}} { pi ^ {2} n ^ {2}}} vpravo) sinh x & = x prod _ {n = 1} ^ { infty} vlevo (1 + { frac {x ^ {2}} { pi ^ {2 } n ^ {2}}} vpravo) end {zarovnáno}} , { begin {zarovnáno} cos x & = prod _ {n = 1} ^ { infty} vlevo (1 - { frac {x ^ {2}} { pi ^ {2} left (n - { frac {1} {2}} right) ^ {2}}} right) cosh x & = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 + { frac {x ^ {2}} { pi ^ {2} left (n - { frac {1} {2}} right ) ^ {2}}} vpravo) end {zarovnáno}}} Totožnosti bez proměnných Z hlediska arkustangens funkce, kterou máme[42]
arktan 1 2 = arktan 1 3 + arktan 1 7 . { displaystyle arctan { frac {1} {2}} = arctan { frac {1} {3}} + arctan { frac {1} {7}}.} Zvědavá identita známá jako Morrieho zákon ,
cos 20 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ = 1 8 , { displaystyle cos 20 ^ { circ} cdot cos 40 ^ { circ} cdot cos 80 ^ { circ} = { frac {1} {8}},} je speciální případ identity, která obsahuje jednu proměnnou:
∏ j = 0 k − 1 cos ( 2 j X ) = hřích ( 2 k X ) 2 k hřích X . { displaystyle prod _ {j = 0} ^ {k-1} cos (2 ^ {j} x) = { frac { sin (2 ^ {k} x)} {2 ^ {k} hřích x}}.} Stejná kosinová identita v radiánech je
cos π 9 cos 2 π 9 cos 4 π 9 = 1 8 . { displaystyle cos { frac { pi} {9}} cos { frac {2 pi} {9}} cos { frac {4 pi} {9}} = { frac {1 } {8}}.} Podobně,
hřích 20 ∘ ⋅ hřích 40 ∘ ⋅ hřích 80 ∘ = 3 8 { displaystyle sin 20 ^ { circ} cdot sin 40 ^ { circ} cdot sin 80 ^ { circ} = { frac { sqrt {3}} {8}}} je speciální případ identity s případem x = 20:
hřích X ⋅ hřích ( 60 ∘ − X ) ⋅ hřích ( 60 ∘ + X ) = hřích 3 X 4 . { displaystyle sin x cdot sin (60 ^ { circ} -x) cdot sin (60 ^ { circ} + x) = { frac { sin 3x} {4}}.} Pro případ X = 15,
hřích 15 ∘ ⋅ hřích 45 ∘ ⋅ hřích 75 ∘ = 2 8 , { displaystyle sin 15 ^ { circ} cdot sin 45 ^ { circ} cdot sin 75 ^ { circ} = { frac { sqrt {2}} {8}},} hřích 15 ∘ ⋅ hřích 75 ∘ = 1 4 . { displaystyle sin 15 ^ { circ} cdot sin 75 ^ { circ} = { frac {1} {4}}.} Pro případ X = 10,
hřích 10 ∘ ⋅ hřích 50 ∘ ⋅ hřích 70 ∘ = 1 8 . { displaystyle sin 10 ^ { circ} cdot sin 50 ^ { circ} cdot sin 70 ^ { circ} = { frac {1} {8}}.} Stejná kosinová identita je
cos X ⋅ cos ( 60 ∘ − X ) ⋅ cos ( 60 ∘ + X ) = cos 3 X 4 . { displaystyle cos x cdot cos (60 ^ { circ} -x) cdot cos (60 ^ { circ} + x) = { frac { cos 3x} {4}}.} Podobně,
cos 10 ∘ ⋅ cos 50 ∘ ⋅ cos 70 ∘ = 3 8 , { displaystyle cos 10 ^ { circ} cdot cos 50 ^ { circ} cdot cos 70 ^ { circ} = { frac { sqrt {3}} {8}},} cos 15 ∘ ⋅ cos 45 ∘ ⋅ cos 75 ∘ = 2 8 , { displaystyle cos 15 ^ { circ} cdot cos 45 ^ { circ} cdot cos 75 ^ { circ} = { frac { sqrt {2}} {8}},} cos 15 ∘ ⋅ cos 75 ∘ = 1 4 . { displaystyle cos 15 ^ { circ} cdot cos 75 ^ { circ} = { frac {1} {4}}.} Podobně,
opálení 50 ∘ ⋅ opálení 60 ∘ ⋅ opálení 70 ∘ = opálení 80 ∘ , { displaystyle tan 50 ^ { circ} cdot tan 60 ^ { circ} cdot tan 70 ^ { circ} = tan 80 ^ { circ},} opálení 40 ∘ ⋅ opálení 30 ∘ ⋅ opálení 20 ∘ = opálení 10 ∘ . { displaystyle tan 40 ^ { circ} cdot tan 30 ^ { circ} cdot tan 20 ^ { circ} = tan 10 ^ { circ}.} Následující text možná není tak snadno zobecněný na proměnné obsahující identitu (viz vysvětlení níže):
cos 24 ∘ + cos 48 ∘ + cos 96 ∘ + cos 168 ∘ = 1 2 . { displaystyle cos 24 ^ { circ} + cos 48 ^ { circ} + cos 96 ^ { circ} + cos 168 ^ { circ} = { frac {1} {2}}. } Stupeň míry přestává být více vítaný než radián, když vezmeme v úvahu tuto identitu s 21 ve jmenovatelích:
cos 2 π 21 + cos ( 2 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 4 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 5 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 8 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 10 ⋅ 2 π 21 ) = 1 2 . { displaystyle { begin {aligned} & cos { frac {2 pi} {21}} + cos left (2 cdot { frac {2 pi} {21}} right) + cos left (4 cdot { frac {2 pi} {21}} right) [10 bodů] & {} qquad {} + cos left (5 cdot { frac {2 pi } {21}} vpravo) + cos vlevo (8 cdot { frac {2 pi} {21}} vpravo) + cos vlevo (10 cdot { frac {2 pi} { 21}} right) = { frac {1} {2}}. End {zarovnáno}}} Faktory 1, 2, 4, 5, 8, 10 mohou začít vzor objasňovat: jsou to celá čísla menší než 21 / 2 to jsou relativně prime do (nebo mít ne hlavní faktory společné s) 21. Posledních několik příkladů je důsledkem základní skutečnosti o neredukovatelné cyklotomické polynomy : kosiny jsou skutečné části nul těchto polynomů; součet nul je Möbiova funkce hodnoceno na (v úplně posledním případě výše) 21; pouze polovina nul je přítomna výše. Dvě identity předcházející této poslední vznikají stejným způsobem s 21 nahrazenými 10 a 15.
Mezi další kosinové identity patří:[48]
2 cos π 3 = 1 , { displaystyle 2 cos { frac { pi} {3}} = 1,} 2 cos π 5 × 2 cos 2 π 5 = 1 , { displaystyle 2 cos { frac { pi} {5}} krát 2 cos { frac {2 pi} {5}} = 1,} 2 cos π 7 × 2 cos 2 π 7 × 2 cos 3 π 7 = 1 , { displaystyle 2 cos { frac { pi} {7}} krát 2 cos { frac {2 pi} {7}} krát 2 cos { frac {3 pi} {7} } = 1,} a tak dále pro všechna lichá čísla, a tedy
cos π 3 + cos π 5 × cos 2 π 5 + cos π 7 × cos 2 π 7 × cos 3 π 7 + ⋯ = 1. { displaystyle cos { frac { pi} {3}} + cos { frac { pi} {5}} times cos { frac {2 pi} {5}} + cos { frac { pi} {7}} times cos { frac {2 pi} {7}} times cos { frac {3 pi} {7}} + dots = 1.} Mnoho z těchto zvědavých identit pochází z obecnějších faktů, jako je následující:[49]
∏ k = 1 n − 1 hřích k π n = n 2 n − 1 { displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n-1} sin { frac {k pi} {n}} = { frac {n} {2 ^ {n-1}}}} a
∏ k = 1 n − 1 cos k π n = hřích π n 2 2 n − 1 { displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n-1} cos { frac {k pi} {n}} = { frac { sin { frac { pi n} {2}} } {2 ^ {n-1}}}} Jejich kombinace nám dává
∏ k = 1 n − 1 opálení k π n = n hřích π n 2 { displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n-1} tan { frac {k pi} {n}} = { frac {n} { sin { frac { pi n} { 2}}}}} Li n je liché číslo (n = 2m + 1 ) můžeme využít symetrie k získání
∏ k = 1 m opálení k π 2 m + 1 = 2 m + 1 { displaystyle prod _ {k = 1} ^ {m} tan { frac {k pi} {2m + 1}} = { sqrt {2m + 1}}} Přenosová funkce Butterworthův dolní propust lze vyjádřit pomocí polynomu a pólů. Nastavením frekvence jako mezní frekvence lze prokázat následující identitu:
∏ k = 1 n hřích ( 2 k − 1 ) π 4 n = ∏ k = 1 n cos ( 2 k − 1 ) π 4 n = 2 2 n { displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n} sin { frac { left (2k-1 right) pi} {4n}} = prod _ {k = 1} ^ {n} cos { frac { left (2k-1 right) pi} {4n}} = { frac { sqrt {2}} {2 ^ {n}}}} Výpočetní π Efektivní způsob, jak vypočítat π je založen na následující identitě bez proměnných, kvůli Machin :
π 4 = 4 arktan 1 5 − arktan 1 239 { displaystyle { frac { pi} {4}} = 4 arctan { frac {1} {5}} - arctan { frac {1} {239}}} nebo alternativně pomocí identity Leonhard Euler :
π 4 = 5 arktan 1 7 + 2 arktan 3 79 { displaystyle { frac { pi} {4}} = 5 arctan { frac {1} {7}} + 2 arctan { frac {3} {79}}} nebo pomocí Pytagorejské trojnásobky :
π = arccos 4 5 + arccos 5 13 + arccos 16 65 = arcsin 3 5 + arcsin 12 13 + arcsin 63 65 . { displaystyle pi = arccos { frac {4} {5}} + arccos { frac {5} {13}} + arccos { frac {16} {65}} = arcsin { frac {3} {5}} + arcsin { frac {12} {13}} + arcsin { frac {63} {65}}.} Mezi další patří
π 4 = arktan 1 2 + arktan 1 3 ; { displaystyle { frac { pi} {4}} = arctan { frac {1} {2}} + arctan { frac {1} {3}};} [50] [42] π = arktan 1 + arktan 2 + arktan 3. { displaystyle pi = arctan 1+ arctan 2+ arctan 3.} [50] π 4 = 2 arktan 1 3 + arktan 1 7 . { displaystyle { frac { pi} {4}} = 2 arctan { frac {1} {3}} + arctan { frac {1} {7}}.} [42] Obecně pro čísla t 1 , ..., t n −1 ∈ (−1, 1) pro který θ n = ∑n −1k =1 arktan t k ∈ (π /4, 3π /4) , nechť t n = opálení (π /2 − θ n ) = dětská postýlka θ n . Tento poslední výraz lze vypočítat přímo pomocí vzorce pro kotangens součtu úhlů, jejichž tečny jsou t 1 , ..., t n −1 a jeho hodnota bude v (−1, 1) . Zejména vypočítané t n bude racionální, kdykoli všechny t 1 , ..., t n −1 hodnoty jsou racionální. S těmito hodnotami
π 2 = ∑ k = 1 n arktan ( t k ) π = ∑ k = 1 n podepsat ( t k ) arccos ( 1 − t k 2 1 + t k 2 ) π = ∑ k = 1 n arcsin ( 2 t k 1 + t k 2 ) π = ∑ k = 1 n arktan ( 2 t k 1 − t k 2 ) , { displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { pi} {2}} & = sum _ {k = 1} ^ {n} arctan (t_ {k}) pi & = sum _ {k = 1} ^ {n} operatorname {sign} (t_ {k}) arccos left ({ frac {1-t_ {k} ^ {2}} {1 + t_ {k} ^ { 2}}} vpravo) pi & = sum _ {k = 1} ^ {n} arcsin left ({ frac {2t_ {k}} {1 + t_ {k} ^ {2} }} right) pi & = sum _ {k = 1} ^ {n} arctan left ({ frac {2t_ {k}} {1-t_ {k} ^ {2}}} right) ,, end {zarovnáno}}} kde ve všech výrazech kromě prvního jsme použili tečné poloviční úhlové vzorce. První dva vzorce fungují, i když jeden nebo více z nich t k hodnoty není uvnitř (−1, 1) . Všimněte si, že když t = p /q je racionální než (2t , 1 − t 2 , 1 + t 2 ) hodnoty ve výše uvedených vzorcích jsou úměrné Pythagorově trojici (2pq , q 2 − p 2 , q 2 + p 2 ) .
Například pro n = 3 podmínky,
π 2 = arktan ( A b ) + arktan ( C d ) + arktan ( b d − A C A d + b C ) { displaystyle { frac { pi} {2}} = arctan left ({ frac {a} {b}} right) + arctan left ({ frac {c} {d}} right) + arctan left ({ frac {bd-ac} {ad + bc}} right)} pro všechny A , b , C , d > 0 .
Užitečná mnemotechnická pomůcka pro určité hodnoty sinusů a kosinů Pro určité jednoduché úhly mají sinusy a kosiny formu √n / 2 pro 0 ≤ n ≤ 4 , což usnadňuje jejich zapamatování.
hřích ( 0 ) = hřích ( 0 ∘ ) = 0 2 = cos ( 90 ∘ ) = cos ( π 2 ) hřích ( π 6 ) = hřích ( 30 ∘ ) = 1 2 = cos ( 60 ∘ ) = cos ( π 3 ) hřích ( π 4 ) = hřích ( 45 ∘ ) = 2 2 = cos ( 45 ∘ ) = cos ( π 4 ) hřích ( π 3 ) = hřích ( 60 ∘ ) = 3 2 = cos ( 30 ∘ ) = cos ( π 6 ) hřích ( π 2 ) = hřích ( 90 ∘ ) = 4 2 = cos ( 0 ∘ ) = cos ( 0 ) ↑ Tyto radicands jsou 0 , 1 , 2 , 3 , 4. { displaystyle { begin {matrix} sin left (0 right) & = & sin left (0 ^ { circ} right) & = & { dfrac { sqrt {0}} {2 }} & = & cos left (90 ^ { circ} right) & = & cos left ({ dfrac { pi} {2}} right) [5pt] sin left ({ dfrac { pi} {6}} vpravo) & = & sin vlevo (30 ^ { circ} vpravo) & = & { dfrac { sqrt {1}} {2}} & = & cos left (60 ^ { circ} right) & = & cos left ({ dfrac { pi} {3}} right) [5pt] sin left ({ dfrac { pi} {4}} vpravo) & = & sin vlevo (45 ^ { circ} vpravo) & = & { dfrac { sqrt {2}} {2}} & = & cos left (45 ^ { circ} right) & = & cos left ({ dfrac { pi} {4}} right) [5pt] sin left ({ dfrac { pi} {3}} right) & = & sin left (60 ^ { circ} right) & = & { dfrac { sqrt {3}} {2}} & = & cos left (30 ^ { circ} right) & = & cos left ({ dfrac { pi} {6}} right) [5pt] sin left ({ dfrac { pi} { 2}} right) & = & sin left (90 ^ { circ} right) & = & { dfrac { sqrt {4}} {2}} & = & cos left (0 ^ { circ} right) & = & cos left (0 right) [5pt] &&&& uparrow &&&& { text {These}} &&&& { text {radicands}} &&&& { text {are}} &&&& 0, , 1, , 2, , 3, , 4. end {matrix}}} Rozmanitost S Zlatý řez φ :
cos π 5 = cos 36 ∘ = 5 + 1 4 = φ 2 { displaystyle cos { frac { pi} {5}} = cos 36 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {5}} + 1} {4}} = { frac { varphi} {2}}} hřích π 10 = hřích 18 ∘ = 5 − 1 4 = φ − 1 2 = 1 2 φ { displaystyle sin { frac { pi} {10}} = sin 18 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {5}} - 1} {4}} = { frac { varphi ^ {- 1}} {2}} = { frac {1} {2 varphi}}} Viz také trigonometrické konstanty vyjádřené ve skutečných radikálech .
Totožnost Euklida Euklid ukázal v knize XIII, Proposition 10 jeho Elementy že plocha čtverce na straně pravidelného pětiúhelníku vepsaného do kruhu se rovná součtu ploch čtverců po stranách pravidelného šestiúhelníku a pravidelného desetiúhelníku vepsaného do stejné kružnice. V jazyce moderní trigonometrie se říká:
hřích 2 18 ∘ + hřích 2 30 ∘ = hřích 2 36 ∘ . { displaystyle sin ^ {2} 18 ^ { circ} + sin ^ {2} 30 ^ { circ} = sin ^ {2} 36 ^ { circ}.} Ptolemaios použil tento návrh k výpočtu některých úhlů jeho tabulka akordů .
Složení trigonometrických funkcí Tato identita zahrnuje trigonometrickou funkci trigonometrické funkce:[51]
cos ( t hřích X ) = J 0 ( t ) + 2 ∑ k = 1 ∞ J 2 k ( t ) cos ( 2 k X ) { displaystyle cos (t sin x) = J_ {0} (t) +2 součet _ {k = 1} ^ { infty} J_ {2k} (t) cos (2kx)} hřích ( t hřích X ) = 2 ∑ k = 0 ∞ J 2 k + 1 ( t ) hřích ( ( 2 k + 1 ) X ) { displaystyle sin (t sin x) = 2 součet _ {k = 0} ^ { infty} J_ {2k + 1} (t) sin { big (} (2k + 1) x { velký)}} cos ( t cos X ) = J 0 ( t ) + 2 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k J 2 k ( t ) cos ( 2 k X ) { displaystyle cos (t cos x) = J_ {0} (t) +2 součet _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} J_ {2k} (t) cos (2 kB)} hřích ( t cos X ) = 2 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k J 2 k + 1 ( t ) cos ( ( 2 k + 1 ) X ) { displaystyle sin (t cos x) = 2 součet _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} J_ {2k + 1} (t) cos { big (} (2k + 1) x { big)}} kde Ji jsou Besselovy funkce .
Počet v počet vztahy uvedené níže vyžadují měření úhlů radiány ; vztahy by se staly komplikovanějšími, kdyby se úhly měřily v jiné jednotce, například ve stupních. Pokud jsou trigonometrické funkce definovány z hlediska geometrie, spolu s definicemi délka oblouku a plocha , jejich deriváty lze najít po ověření dvou limitů. První je:
lim X → 0 hřích X X = 1 , { displaystyle lim _ {x rightarrow 0} { frac { sin x} {x}} = 1,} ověřeno pomocí jednotkový kruh a zmáčknout teorém . Druhý limit je:
lim X → 0 1 − cos X X = 0 , { displaystyle lim _ {x rightarrow 0} { frac {1- cos x} {x}} = 0,} ověřeno pomocí identity opálení X / 2 = 1 - cos X / hřích X . Po stanovení těchto dvou limitů je možné použít definici limitu derivace a věty sčítání, které to ukazují (hřích X ) ′ = Cos X a (cos X ) ′ = −sin X . Pokud jsou funkce sinus a kosinus definovány jejich Taylor série , pak lze deriváty najít diferenciací výkonových řad jednotlivě.
d d X hřích X = cos X { displaystyle { frac {d} {dx}} sin x = cos x} Zbytek trigonometrických funkcí lze odlišit pomocí výše uvedených identit a pravidel diferenciace :[52] [53] [54]
d d X hřích X = cos X , d d X arcsin X = 1 1 − X 2 d d X cos X = − hřích X , d d X arccos X = − 1 1 − X 2 d d X opálení X = sek 2 X , d d X arktan X = 1 1 + X 2 d d X dětská postýlka X = − csc 2 X , d d X arccot X = − 1 1 + X 2 d d X sek X = opálení X sek X , d d X arcsec X = 1 | X | X 2 − 1 d d X csc X = − csc X dětská postýlka X , d d X arccsc X = − 1 | X | X 2 − 1 { displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {d} {dx}} sin x & = cos x, & { frac {d} {dx}} arcsin x & = { frac {1} { sqrt {1-x ^ {2}}}} { frac {d} {dx}} cos x & = - sin x, & { frac {d} {dx}} arccos x & = { frac {-1} { sqrt {1-x ^ {2}}}} { frac {d} {dx}} tan x & = sec ^ {2} x, & { frac {d} {dx}} arctan x & = { frac {1} {1 + x ^ {2}}} { frac {d} {dx}} cot x & = - csc ^ {2} x, & { frac {d} {dx}} operatorname {arccot} x & = { frac {-1} {1 + x ^ {2}}} { frac {d} {dx}} sec x & = tan x sec x, & { frac {d} {dx}} operatorname {arcsec} x & = { frac {1} {| x | { sqrt {x ^ { 2} -1}}}} { frac {d} {dx}} csc x & = - csc x cot x, & { frac {d} {dx}} operatorname {arccsc} x & = { frac {-1} {| x | { sqrt {x ^ {2} -1}}}} end {zarovnáno}}} Integrální identity lze nalézt v Seznam integrálů trigonometrických funkcí . Některé generické formuláře jsou uvedeny níže.
∫ d u A 2 − u 2 = hřích − 1 ( u A ) + C { displaystyle int { frac {du} { sqrt {a ^ {2} -u ^ {2}}}} = sin ^ {- 1} left ({ frac {u} {a}} vpravo) + C} ∫ d u A 2 + u 2 = 1 A opálení − 1 ( u A ) + C { displaystyle int { frac {du} {a ^ {2} + u ^ {2}}} = { frac {1} {a}} tan ^ {- 1} left ({ frac { u} {a}} vpravo) + C} ∫ d u u u 2 − A 2 = 1 A sek − 1 | u A | + C { displaystyle int { frac {du} {u { sqrt {u ^ {2} -a ^ {2}}}}} = { frac {1} {a}} sec ^ {- 1} left | { frac {u} {a}} right | + C} Dopady Skutečnost, že výsledkem diferenciace trigonometrických funkcí (sinus a kosinus) lineární kombinace stejných dvou funkcí má zásadní význam pro mnoho oborů matematiky, včetně diferenciální rovnice a Fourierovy transformace .
Některé diferenciální rovnice uspokojené sinusovou funkcí Nechat i = √−1 být imaginární jednotkou a označme ∘ složení diferenciálních operátorů. Pak pro každého zvláštní kladné celé číslon ,
∑ k = 0 n ( n k ) ( d d X − hřích X ) ∘ ( d d X − hřích X + i ) ∘ ⋯ ⋯ ∘ ( d d X − hřích X + ( k − 1 ) i ) ( hřích X ) n − k = 0. { displaystyle { begin {aligned} sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} & left ({ frac {d} {dx}} - sin x vpravo) circ left ({ frac {d} {dx}} - sin x + i right) circ cdots & qquad cdots circ left ({ frac {d} {dx }} - sin x + (k-1) i right) ( sin x) ^ {nk} = 0. end {zarovnáno}}} (Když k = 0, pak počet složených diferenciálních operátorů je 0, takže odpovídající člen v součtu výše je jen(hřích X )n .) Tato identita byla objevena jako vedlejší produkt výzkumu v lékařské zobrazování .[55]
Exponenciální definice Funkce Inverzní funkce[56] hřích θ = E i θ − E − i θ 2 i { displaystyle sin theta = { frac {e ^ {i theta} -e ^ {- i theta}} {2i}}} arcsin X = − i ln ( i X + 1 − X 2 ) { displaystyle arcsin x = -i , ln vlevo (ix + { sqrt {1-x ^ {2}}} vpravo)} cos θ = E i θ + E − i θ 2 { displaystyle cos theta = { frac {e ^ {i theta} + e ^ {- i theta}} {2}}} arccos X = − i ln ( X + X 2 − 1 ) { displaystyle arccos x = -i , ln vlevo (x + , { sqrt {x ^ {2} -1}} vpravo)} opálení θ = − i E i θ − E − i θ E i θ + E − i θ { displaystyle tan theta = -i , { frac {e ^ {i theta} -e ^ {- i theta}} {e ^ {i theta} + e ^ {- i theta} }}} arktan X = i 2 ln ( i + X i − X ) { displaystyle arctan x = { frac {i} {2}} ln vlevo ({ frac {i + x} {i-x}} vpravo)} csc θ = 2 i E i θ − E − i θ { displaystyle csc theta = { frac {2i} {e ^ {i theta} -e ^ {- i theta}}}} arccsc X = − i ln ( i X + 1 − 1 X 2 ) { displaystyle operatorname {arccsc} x = -i , ln left ({ frac {i} {x}} + { sqrt {1 - { frac {1} {x ^ {2}}} }}že jo)} sek θ = 2 E i θ + E − i θ { displaystyle sec theta = { frac {2} {e ^ {i theta} + e ^ {- i theta}}}} arcsec X = − i ln ( 1 X + i 1 − 1 X 2 ) { displaystyle operatorname {arcsec} x = -i , ln left ({ frac {1} {x}} + i { sqrt {1 - { frac {1} {x ^ {2}} }}}že jo)} dětská postýlka θ = i E i θ + E − i θ E i θ − E − i θ { displaystyle cot theta = i , { frac {e ^ {i theta} + e ^ {- i theta}} {e ^ {i theta} -e ^ {- i theta}} }} arccot X = i 2 ln ( X − i X + i ) { displaystyle operatorname {arccot} x = { frac {i} {2}} ln left ({ frac {x-i} {x + i}} right)} cis θ = E i θ { displaystyle operatorname {cis} theta = e ^ {i theta}} arccis X = − i ln X { displaystyle operatorname {arccis} x = -i ln x}
Další „podmíněné“ identity pro případ α + β + y = 180° Následující vzorce platí pro trojúhelníky s libovolnou rovinou a vycházejí z α + β + y = 180 °, pokud jsou funkce vyskytující se ve vzorcích dobře definované (to platí pouze pro vzorce, ve kterých se vyskytují tečny a kotangenty).
opálení α + opálení β + opálení y = opálení α ⋅ opálení β ⋅ opálení y { Displaystyle tan alpha + tan beta + tan gamma = tan alpha cdot tan beta cdot tan gamma ,} dětská postýlka β ⋅ dětská postýlka y + dětská postýlka y ⋅ dětská postýlka α + dětská postýlka α ⋅ dětská postýlka β = 1 { Displaystyle cot beta cdot cot gamma + cot gamma cdot cot alpha + cot alpha cdot cot beta = 1} dětská postýlka α 2 + dětská postýlka β 2 + dětská postýlka y 2 = dětská postýlka α 2 ⋅ dětská postýlka β 2 ⋅ dětská postýlka y 2 { displaystyle cot { frac { alpha} {2}} + cot { frac { beta} {2}} + cot { frac { gamma} {2}} = cot { frac { alpha} {2}} cdot cot { frac { beta} {2}} cdot cot { frac { gamma} {2}}} opálení β 2 opálení y 2 + opálení y 2 opálení α 2 + opálení α 2 opálení β 2 = 1 { displaystyle tan { frac { beta} {2}} tan { frac { gamma} {2}} + tan { frac { gamma} {2}} tan { frac { alpha} {2}} + tan { frac { alpha} {2}} tan { frac { beta} {2}} = 1} hřích α + hřích β + hřích y = 4 cos α 2 cos β 2 cos y 2 { displaystyle sin alpha + sin beta + sin gamma = 4 cos { frac { alpha} {2}} cos { frac { beta} {2}} cos { frac { gamma} {2}}} − hřích α + hřích β + hřích y = 4 cos α 2 hřích β 2 hřích y 2 { displaystyle - sin alpha + sin beta + sin gamma = 4 cos { frac { alpha} {2}} sin { frac { beta} {2}} sin { frac { gamma} {2}}} cos α + cos β + cos y = 4 hřích α 2 hřích β 2 hřích y 2 + 1 { displaystyle cos alpha + cos beta + cos gamma = 4 sin { frac { alpha} {2}} sin { frac { beta} {2}} sin { frac { gamma} {2}} + 1} − cos α + cos β + cos y = 4 hřích α 2 cos β 2 cos y 2 − 1 { displaystyle - cos alpha + cos beta + cos gamma = 4 sin { frac { alpha} {2}} cos { frac { beta} {2}} cos { frac { gamma} {2}} - 1} hřích ( 2 α ) + hřích ( 2 β ) + hřích ( 2 y ) = 4 hřích α hřích β hřích y { Displaystyle sin (2 alpha) + sin (2 beta) + sin (2 gamma) = 4 sin alfa sin beta sin gamma ,} − hřích ( 2 α ) + hřích ( 2 β ) + hřích ( 2 y ) = 4 hřích α cos β cos y { displaystyle - sin (2 alpha) + sin (2 beta) + sin (2 gamma) = 4 sin alpha cos beta cos gamma ,} cos ( 2 α ) + cos ( 2 β ) + cos ( 2 y ) = − 4 cos α cos β cos y − 1 { displaystyle cos (2 alpha) + cos (2 beta) + cos (2 gamma) = - 4 cos alpha cos beta cos gamma -1 ,} − cos ( 2 α ) + cos ( 2 β ) + cos ( 2 y ) = − 4 cos α hřích β hřích y + 1 { displaystyle - cos (2 alpha) + cos (2 beta) + cos (2 gamma) = - 4 cos alpha sin beta sin gamma +1 ,} hřích 2 α + hřích 2 β + hřích 2 y = 2 cos α cos β cos y + 2 { displaystyle sin ^ {2} alpha + sin ^ {2} beta + sin ^ {2} gamma = 2 cos alpha cos beta cos gamma +2 ,} − hřích 2 α + hřích 2 β + hřích 2 y = 2 cos α hřích β hřích y { displaystyle - sin ^ {2} alpha + sin ^ {2} beta + sin ^ {2} gamma = 2 cos alpha sin beta sin gamma ,} cos 2 α + cos 2 β + cos 2 y = − 2 cos α cos β cos y + 1 { displaystyle cos ^ {2} alpha + cos ^ {2} beta + cos ^ {2} gamma = -2 cos alpha cos beta cos gamma +1 ,} − cos 2 α + cos 2 β + cos 2 y = − 2 cos α hřích β hřích y + 1 { displaystyle - cos ^ {2} alpha + cos ^ {2} beta + cos ^ {2} gamma = -2 cos alpha sin beta sin gamma +1 ,} − hřích 2 ( 2 α ) + hřích 2 ( 2 β ) + hřích 2 ( 2 y ) = − 2 cos ( 2 α ) hřích ( 2 β ) hřích ( 2 y ) { displaystyle - sin ^ {2} (2 alpha) + sin ^ {2} (2 beta) + sin ^ {2} (2 gamma) = - 2 cos (2 alfa) sin (2 beta) sin (2 gama)} − cos 2 ( 2 α ) + cos 2 ( 2 β ) + cos 2 ( 2 y ) = 2 cos ( 2 α ) hřích ( 2 β ) hřích ( 2 y ) + 1 { displaystyle - cos ^ {2} (2 alpha) + cos ^ {2} (2 beta) + cos ^ {2} (2 gamma) = 2 cos (2 alfa) , sin (2 beta) , sin (2 gama) +1} hřích 2 ( α 2 ) + hřích 2 ( β 2 ) + hřích 2 ( y 2 ) + 2 hřích ( α 2 ) hřích ( β 2 ) hřích ( y 2 ) = 1 { displaystyle sin ^ {2} left ({ frac { alpha} {2}} right) + sin ^ {2} left ({ frac { beta} {2}} right) + sin ^ {2} left ({ frac { gamma} {2}} right) +2 sin left ({ frac { alpha} {2}} right) , sin left ({ frac { beta} {2}} right) , sin left ({ frac { gamma} {2}} right) = 1} Smíšený Dirichletovo jádro The Dirichletovo jádro Dn (X ) je funkce vyskytující se na obou stranách další identity:
1 + 2 cos X + 2 cos ( 2 X ) + 2 cos ( 3 X ) + ⋯ + 2 cos ( n X ) = hřích ( ( n + 1 2 ) X ) hřích ( X 2 ) . { Displaystyle 1 + 2 cos x + 2 cos (2x) +2 cos (3x) + cdots +2 cos (nx) = { frac { sin left ( left (n + { frac {1} {2}} right) x right)} { sin left ({ frac {x} {2}} right)}}.} The konvoluce ze všech integrovatelná funkce období 2π s jádrem Dirichlet se shoduje s funkcemi n Fourierova aproximace tého stupně. Totéž platí pro všechny opatření nebo zobecněná funkce .
Tangentní náhrada polovičního úhlu Pokud jsme nastavili
t = opálení X 2 , { displaystyle t = tan { frac {x} {2}},} pak[57]
hřích X = 2 t 1 + t 2 ; cos X = 1 − t 2 1 + t 2 ; E i X = 1 + i t 1 − i t { displaystyle sin x = { frac {2t} {1 + t ^ {2}}}; qquad cos x = { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2} }}; qquad e ^ {ix} = { frac {1 + it} {1-it}}} kde E ix = cos X + i hřích X , někdy zkráceněcis X .
Když tato substituce t pro opálení X / 2 se používá v počet , z toho vyplývá, že hřích X je nahrazen 2t / 1 + t 2 , cos X je nahrazen 1 − t 2 / 1 + t 2 a diferenciál dX je nahrazen 2 dt / 1 + t 2 . Tím se převádí racionální funkce hřích X a cos X racionálních funkcí t aby našli antiderivativa .
Viz také Poznámky ^ Heng, Cheng a Talbert, „Další matematika“ , strana 228 ^ Schaumberger, N. (1974). "Věta o třídě o trigonometrických iracionalitách". Dvouletá vysokoškolská matematika. J . 5 (1): 73–76. doi :10.2307/3026991 . JSTOR 3026991 . ^ Weisstein, Eric W. „Nivenova věta“ . MathWorld .^ Abramowitz a Stegun, str. 73, 4.3.45 ^ Abramowitz a Stegun, str. 78, 4.3.147 ^ Nielsen (1966 , str. xxiii – xxiv)^ Selby 1970 , str. 188^ Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.13–15 ^ Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.9 ^ Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.7–8 ^ Trigonograf (28. září 2015). "Úhel součtu a rozdíl pro sinus a kosinus" . Trigonography.com . Citováno 28. května 2017 . ^ Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.16 ^ A b C d Weisstein, Eric W. „Vzorky trigonometrického sčítání“ . MathWorld .^ Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.17 ^ Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.18 ^ A b „Součet úhlů a rozdílné identity“ . www.milefoot.com . Citováno 2019-10-12 .^ Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.19 ^ Abramowitz a Stegun, str. 80, 4.4.32 ^ Abramowitz a Stegun, str. 80, 4.4.33 ^ Abramowitz a Stegun, str. 80, 4.4.34 ^ Bronstein, Manuel (1989). Msgstr "Zjednodušení skutečných elementárních funkcí". V Gonnet, G. H. (ed.). Sborník ACM-SIGSAM 1989 Mezinárodní symposium o symbolických a algebraických výpočtech . ISSAC '89 (Portland US-OR, 1989-07). New York: ACM . 207–211. doi :10.1145/74540.74566 . ISBN 0-89791-325-6 . ^ Michael Hardy (srpen – září 2016). „O tečnách a secantech nekonečných součtů“ . Americký matematický měsíčník . 123 (7): 701–703. doi :10,4169 / amer.math.monthly.123.7.701 . ^ A b Weisstein, Eric W. "Vzorec s více úhly" . MathWorld .^ Abramowitz a Stegun, str. 74, 4.3.48 ^ A b Selby 1970 , str. 190^ A b Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.20–22 ^ A b Weisstein, Eric W. „Polohranné vzorce“ . MathWorld .^ Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.24–26 ^ Weisstein, Eric W. „Double-Angle Formulas“ . MathWorld .^ Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.27–28 ^ Ward, Ken. "Rekurzivní vzorec s více úhly" . Matematické stránky Kena Warda . ^ Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.31–33 ^ Abramowitz a Stegun, str. 72, 4.3.34–39 ^ Nelson, Roger. "Matematika beze slov", The College Mathematics Journal 33 (2), březen 2002, s. 130. ^ Johnson, Warren P. (duben 2010). „Trigonometrické identity à la Hermite“. Americký matematický měsíčník . 117 (4): 311–327. doi :10,4169 / 000298910x480784 . ^ „Identita produktu, více úhlů“ .^ Apostol, T.M. (1967) Calculus. 2. vydání. New York, NY, Wiley. Pp 334-335. ^ A b Weisstein, Eric W. "Věta o harmonickém sčítání" . MathWorld .^ Ortiz Muñiz, Eddie (únor 1953). „Metoda pro odvození různých vzorců v elektrostatice a elektromagnetismu pomocí Lagrangeových trigonometrických identit“. American Journal of Physics . 21 (2): 140. Bibcode :1953AmJPh..21..140M . doi :10.1119/1.1933371 . ^ Jeffrey, Alan; Dai, Hui-hui (2008). „Oddíl 2.4.1.6“. Příručka matematických vzorců a integrálů (4. vydání). Akademický tisk. ISBN 978-0-12-374288-9 . ^ Knapp, Michael P. "Sinusy a kosiny kosočtverců v aritmetické progresi" (PDF) . ^ A b C d Wu, Rex H. „Důkaz beze slov: Euler's Arctangent Identity“, Matematický časopis 77 (3), červen 2004, s. 189. ^ Abramowitz a Stegun, str. 74, 4.3.47 ^ Abramowitz a Stegun, str. 71, 4.3.2 ^ Abramowitz a Stegun, str. 71, 4.3.1 ^ Abramowitz a Stegun, str. 75, 4,3,89–90 ^ Abramowitz a Stegun, str. 85, 4.5.68–69 ^ Humble, Steve (listopad 2004). „Babiččina identita“. Matematický věstník . 88 : 524–525. doi :10.1017 / s0025557200176223 . ^ Weisstein, Eric W. "Sinus" . MathWorld .^ A b Harris, Edward M. „Sums of Arctangents“, Roger B. Nelson, Důkazy beze slov (1993, Mathematical Association of America), s. 39. ^ Milton Abramowitz a Irene Stegun, Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami , Dover Publications , New York, 1972, vzorce 9.1.42–9.1.45^ Abramowitz a Stegun, str. 77, 4.3.105–110 ^ Abramowitz a Stegun, str. 82, 4.4.52–57 ^ Finney, Ross (2003). Calculus : Graphical, Numerical, Algebraic . Glenview, Illinois: Prentice Hall. str.159–161 . ISBN 0-13-063131-0 . ^ Kuchment, Peter; Lvin, Sergey (Aug 2013). "Identities for sin X that Came from Medical Imaging". Americký matematický měsíčník . 120 : 609–621. arXiv :1110.6109 . doi :10.4169/amer.math.monthly.120.07.609 . ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31 ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23 Reference Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . New York: Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0 .Nielsen, Kaj L. (1966), Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places (2nd ed.), New York: Barnes & Noble , LCCN 61-9103 Selby, Samuel M., ed. (1970), Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co. externí odkazy