Vektor souřadnic - Coordinate vector - Wikipedia

v lineární algebra, a vektor souřadnic je reprezentace vektoru jako uspořádaného seznamu čísel, který popisuje vektor z hlediska konkrétního objednaný základ.^[1] Souřadnice jsou vždy zadány relativně k objednanému základu. Báze a jejich přidružené souřadnicové reprezentace umožňují realizaci vektorové prostory a lineární transformace konkrétně jako vektory sloupců, řádkové vektory, a matice; proto jsou užitečné při výpočtech.

Myšlenku vektoru souřadnic lze také použít pro nekonečné trojrozměrné vektorové prostory, jak je uvedeno níže.

Definice

Nechat PROTI být vektorový prostor z dimenze n přes pole F a nechte

{ displaystyle B = {b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {n} }}

být objednaný základ pro PROTI.Pak pro každého ${ displaystyle v ve V}$ existuje jedinečný lineární kombinace základních vektorů, které se rovnají proti:

{ displaystyle v = alpha _ {1} b_ {1} + alpha _ {2} b_ {2} + cdots + alpha _ {n} b_ {n}.}

The vektor souřadnic z proti ve vztahu k B je sekvence z souřadnice

{ displaystyle [v] _ {B} = ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {n}).}

Tomu se také říká reprezentace v vzhledem k B, nebo B reprezentace v. Α-s se nazývají souřadnice v. Pořadí základu se zde stává důležitým, protože určuje pořadí, ve kterém jsou koeficienty uvedeny ve vektoru souřadnic.

Souřadnicové vektory konečných trojrozměrných vektorových prostorů mohou být reprezentovány matice tak jako sloupec nebo řádkové vektory. Ve výše uvedeném zápisu lze psát

{ displaystyle [v] _ {B} = { začátek {bmatrix} alpha _ {1} vdots alpha _ {n} konec {bmatrix}}}

nebo

{ displaystyle [v] _ {B} = { begin {bmatrix} alpha _ {1} & alpha _ {2} & cdots & alpha _ {n} end {bmatrix}}.}

Standardní reprezentace

Můžeme zmechanizovat výše uvedenou transformaci definováním funkce ${ displaystyle phi _ {B}}$ , nazvaný standardní reprezentace V vzhledem k B, který vezme každý vektor do svého souřadnicového zobrazení: ${ displaystyle phi _ {B} (v) = [v] _ {B}}$ . Pak ${ displaystyle phi _ {B}}$ je lineární transformace z PROTI na Fⁿ. Ve skutečnosti je to izomorfismus, a jeho inverzní ${ displaystyle phi _ {B} ^ {- 1}: F ^ {n} do V}$ je prostě

{ displaystyle phi _ {B} ^ {- 1} ( alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}) = alpha _ {1} b_ {1} + cdots + alpha _ {n} b_ {n}.}

Alternativně jsme mohli definovat ${ displaystyle phi _ {B} ^ {- 1}}$ být výše uvedenou funkcí od začátku, uvědomil si to ${ displaystyle phi _ {B} ^ {- 1}}$ je izomorfismus a je definován ${ displaystyle phi _ {B}}$ být jeho inverzní.

Příklady

Příklad 1

Nechť P3 je prostor všech algebraických polynomy stupně nejvýše 3 (tj. nejvyšší exponent z X může být 3). Tento prostor je lineární a rozložený následujícími polynomy:

{ displaystyle B_ {P} = vlevo {1, x, x ^ {2}, x ^ {3} vpravo }}

vhodný

{ displaystyle 1: = { begin {bmatrix} 1 0 0 0 end {bmatrix}}; quad x: = { begin {bmatrix} 0 1 0 0 end {bmatrix}}; quad x ^ {2}: = { begin {bmatrix} 0 0 1 0 end {bmatrix}}; quad x ^ {3}: = { začátek {bmatrix} 0 0 0 1 konec {bmatrix}}}

potom vektor souřadnic odpovídající polynomu

{ displaystyle p left (x right) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3}}

je

{ displaystyle { begin {bmatrix} a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ {3} end {bmatrix}}.}

Podle tohoto vyjádření operátor diferenciace d / dx, které označíme D, bude reprezentováno následujícím matice:

{ displaystyle Dp (x) = P '(x); quad [D] = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}}

Pomocí této metody je snadné prozkoumat vlastnosti operátoru, například: invertibilita, Hermitian nebo anti-Hermitian nebo žádný, spektrum a vlastní čísla, a více.

Příklad 2

The Pauliho matice, které představují roztočit operátor při transformaci rotace vlastní státy do vektorových souřadnic.

Matice transformace základu

Nechat B a C být dvě různé báze vektorového prostoru PROTIa označme pomocí ${ displaystyle lbrack M rbrack _ {C} ^ {B}}$ the matice který má sloupce skládající se z C reprezentace bazických vektorů b₁, b₂,…, B_n:

{ displaystyle lbrack M rbrack _ {C} ^ {B} = { begin {bmatrix} lbrack b_ {1} rbrack _ {C} & cdots & lbrack b_ {n} rbrack _ {C } end {bmatrix}}}

Tato matice se označuje jako základní transformační matice z B na C. Lze jej považovat za automorfismus přes PROTI. Libovolný vektor proti zastoupena v B lze transformovat na reprezentaci v C jak následuje:

{ displaystyle lbrack v rbrack _ {C} = lbrack M rbrack _ {C} ^ {B} lbrack v rbrack _ {B}.}

Li E je standardní základ, zápis lze zjednodušit vynecháním s transformací z B na E být zastoupen:

{ displaystyle v = lbrack M rbrack ^ {B} lbrack v rbrack _ {B}. ,}

kde

{ displaystyle { begin {aligned} v & = lbrack v rbrack _ {E}, lbrack M rbrack ^ {B} & = lbrack M rbrack _ {E} ^ {B}. end {zarovnaný}}}

V rámci transformace základny si všimněte, že horní index na transformační matici, Ma index na vektoru souřadnic, proti, jsou stejné a zdánlivě se ruší a ponechávají zbývající dolní index. I když to může sloužit jako paměťová pomůcka, je důležité si uvědomit, že k žádnému takovému zrušení nebo podobné matematické operaci nedochází.

Důsledek

Matice M je invertibilní matice a M⁻¹ je základní transformační matice z C na B. Jinými slovy,

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Id} & = lbrack M rbrack _ {C} ^ {B} lbrack M rbrack _ {B} ^ {C} = lbrack M rbrack _ { C} ^ {C} [3pt] & = lbrack M rbrack _ {B} ^ {C} lbrack M rbrack _ {C} ^ {B} = lbrack M rbrack _ {B} ^ {B} end {zarovnáno}}}

Nekonečno-dimenzionální vektorové prostory

Předpokládat PROTI je nekonečně-dimenzionální vektorový prostor nad polem F. Pokud je rozměr κ, pak existuje nějaký základ κ prvky pro PROTI. Po výběru objednávky lze základ považovat za objednaný základ. Prvky PROTI jsou konečné lineární kombinace prvků v základně, které vedou k jedinečným souřadnicovým reprezentacím přesně tak, jak bylo popsáno výše. Jedinou změnou je, že indexovací sada pro souřadnice není konečná. Protože daný vektor proti je konečný lineární kombinace základních prvků, jediné nenulové položky vektoru souřadnic pro proti budou nenulové koeficienty lineární kombinace představující proti. Tedy souřadnicový vektor pro proti je nula kromě konečně mnoha záznamů.

Lineární transformace mezi (případně) nekonečnými trojrozměrnými vektorovými prostory lze modelovat, analogicky k případu konečných rozměrů, pomocí nekonečné matice. Zvláštní případ transformací z PROTI do PROTI je popsán v plný lineární prsten článek.

Viz také

Změna základu

Reference

^ Howard Anton; Chris Rorres (12. dubna 2010). Elementární lineární algebra: Verze aplikace. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.

[AntonRorres2010-1] Howard Anton; Chris Rorres (12. dubna 2010). Elementární lineární algebra: Verze aplikace. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.

[1]