Henstock – Kurzweil integrální - Henstock–Kurzweil integral
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Únor 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, Henstock – Kurzweil integrální nebo zobecněný Riemannův integrál nebo měřidlo integrální - také známý jako (úzký) Denjoy integrální (výrazný [dɑ̃ˈʒwa]), Luzinův integrál nebo Perronův integrál, ale nezaměňovat s obecnějším široký Denjoy integrál - je jednou z mnoha definic integrální a funkce. Jedná se o zobecnění Riemannův integrál, a v některých situacích je obecnější než Lebesgueův integrál. Zejména je funkce integrovatelná do Lebesgue právě tehdy, když je funkce a její absolutní hodnota integrovatelná Henstock – Kurzweil.
Tento integrál byl poprvé definován Arnaud Denjoy (1912). Denjoy se zajímal o definici, která by člověku umožňovala integrovat funkce jako
Tato funkce má a jedinečnost na 0 a není Lebesgue integrovatelný. Zdá se však přirozené vypočítat jeho integrál kromě intervalu [−ε, δ] a poté nechat ε, δ → 0.
Denjoy se pokusil vytvořit obecnou teorii transfinitní indukce přes možné typy singularit, což definici docela zkomplikovalo. Další definice byly dány Nikolai Luzin (s využitím variací na pojmy absolutní kontinuita ) a Oskar Perron, který se zajímal o nepřetržité hlavní a vedlejší funkce. Chvíli trvalo, než jsme pochopili, že integrály Perron a Denjoy jsou ve skutečnosti identické.
Později, v roce 1957, český matematik Jaroslav Kurzweil objevili novou definici tohoto integrálu elegantně podobného charakteru Riemann původní definice, kterou pojmenoval měřidlo integrální; teorii vyvinul Ralph Henstock. Kvůli těmto dvěma důležitým příspěvkům je nyní běžně známý jako Henstock – Kurzweil integrální. Jednoduchost Kurzweilovy definice přiměla některé pedagogy prosazovat, aby tento integrál nahradil Riemannův integrál v úvodních kurzech počtu.[1]
Definice
Vzhledem k tomu, označený oddíl P z [A, b], to znamená,
dohromady s
definujeme Riemannov součet pro funkci
být
kde
Vzhledem k pozitivní funkci
kterému říkáme a měřidlo, říkáme označený oddíl P je -jemný pokud
Nyní definujeme číslo Já být Henstock – Kurzweil integrální součástí F pokud pro každé ε> 0 existuje měřidlo tak, že kdykoli P je -jemně, máme
Pokud takový Já existuje, říkáme to F je Henstock – Kurzweil integrovatelný na [A, b].
Bratrancova věta uvádí, že pro každý rozchod , takový - jemný oddíl P existuje, takže tuto podmínku nelze splnit vakuově. Riemannův integrál lze považovat za zvláštní případ, kdy povolujeme pouze konstantní měřidla.
Vlastnosti
Nechat F: [A, b] → ℝ být jakoukoli funkcí.
Dáno A < C < b, F je Henstock – Kurzweil integrovatelný [A, b] právě když je Henstock – Kurzweil integrovatelný na obou [A, C] a [C, b]; v jakém případě,
Integrály Henstock – Kurzweil jsou lineární. Vzhledem k integrovatelným funkcím F, G a reálná čísla α, β, výraz αF + βG je integrovatelný; například,
Li F je Riemann nebo Lebesgue integrovatelný, pak je také integrovatelný Henstock – Kurzweil a výpočet tohoto integrálu dává všem třem formulacím stejný výsledek. Důležitý Hakeova věta tvrdí, že
kdykoli existuje kterákoli strana rovnice a rovněž symetricky pro spodní integrační hranici. To znamená, že pokud F je "nesprávně Henstock – Kurzweil integrovatelný “, pak je správně integrovatelný Henstock – Kurzweil; zejména nesprávné integrály Riemann nebo Lebesgue typů, jako je
jsou také správné integrály Henstock – Kurzweil. Studovat „nesprávný integrál Henstock – Kurzweil“ s konečnými hranicemi by nemělo smysl. Má však smysl uvažovat o nesprávných integrálech Henstock – Kurzweil s nekonečnými hranicemi, jako např
Pro mnoho typů funkcí není integrál Henstock – Kurzweil obecnější než Lebesgueův integrál. Například pokud F je ohraničen kompaktní podporou, ekvivalentní jsou následující:
- F je Henstock – Kurzweil integrovatelný,
- F je Lebesgue integrovatelný,
- F je Lebesgue měřitelný.
Obecně je každá integrovatelná funkce Henstock – Kurzweil měřitelná a F je Lebesgue integrovatelný právě tehdy, když oba F a |F| jsou Henstock – Kurzweil integrovatelné. To znamená, že integrál Henstock – Kurzweil lze považovat za „není absolutně konvergentní verze Lebesgueova integrálu. “To také znamená, že Henstock – Kurzweilův integrál splňuje příslušné verze monotónní věta o konvergenci (bez požadavku na nezáporné funkce) a dominující věta o konvergenci (kde je uvolněna podmínka dominance G(X) ≤ Fn(X) ≤ h(X) pro některé integrovatelné G, h).
Li F je derivovatelný všude (nebo se spoustou výjimek), derivát F′ Je Henstock – Kurzweil integrovatelný a jeho neurčitý integrál Henstock – Kurzweil je F. (Všimněte si, že F′ Nemusí být Lebesgue integrovatelné.) Jinými slovy, získáme jednodušší a uspokojivější verzi druhá základní věta o počtu: každá diferencovatelná funkce je až do konstanty integrálem její derivace:
Naopak Lebesgueova věta o diferenciaci nadále platí pro integrál Henstock – Kurzweil: pokud F je Henstock – Kurzweil integrovatelný [A, b], a
pak F′(X) = F(X) téměř všude [A, b] (zejména, F je diferencovatelný téměř všude).
Prostor všech integrovatelných funkcí Henstock – Kurzweil je často vybaven Alexiewiczova norma, ve vztahu k čemuž je sudový ale neúplný.
McShane integrál
Lebesgueův integrál na řádku lze také prezentovat podobným způsobem.
Vezmeme-li definici Henstock – Kurzweilova integrálu shora, a podmínku zrušíme
pak dostaneme definici McShane integrál, což je ekvivalent Lebesgueova integrálu. Všimněte si, že podmínka
stále platí a my to technicky také požadujeme pro být definován.
Viz také
Reference
Poznámky pod čarou
- ^ „Otevřený dopis autorům knih o počtu“. Citováno 27. února 2014.
Všeobecné
- Bartle, Robert G. (2001). Moderní teorie integrace. Postgraduální studium matematiky. 32. Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-0845-0.
- Teorie moderní integrace v 21. století
- Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (1999). Úvod do reálné analýzy (3. vyd.). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4.
- Čelidze, V G; Džvaršeǐšvili, A G (1989). Teorie integrace Denjoy a některé aplikace. Série v reálné analýze. 3. Světová vědecká nakladatelská společnost. ISBN 978-981-02-0021-3.
- Das, A.G. (2008). Riemannovy, Lebesgueovy a zobecněné Riemannovy integrály. Vydavatelé Narosa. ISBN 978-81-7319-933-2.
- Gordon, Russell A. (1994). Integrály Lebesgue, Denjoy, Perron a Henstock. Postgraduální studium matematiky. 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3805-1.
- Henstock, Ralph (1988). Přednášky o teorii integrace. Série v reálné analýze. 1. Světová vědecká nakladatelská společnost. ISBN 978-9971-5-0450-2.
- Kurzweil, Jaroslav (2000). Integrace Henstock – Kurzweil: její vztah k topologickým vektorovým prostorům. Série v reálné analýze. 7. Světová vědecká nakladatelská společnost. ISBN 978-981-02-4207-7.
- Kurzweil, Jaroslav (2002). Integrace mezi Lebesgue Integral a Henstock – Kurzweil Integral: jeho vztah k místně konvexním vektorovým prostorům. Série v reálné analýze. 8. Světová vědecká nakladatelská společnost. ISBN 978-981-238-046-3.
- Vůdce, Solomon (2001). Integrál Kurzweil – Henstock a jeho diferenciály. Čistá a aplikovaná matematická série. CRC. ISBN 978-0-8247-0535-0.
- Lee, Peng-Yee (1989). Přednášky Lanzhou o integraci Henstock. Série v reálné analýze. 2. Světová vědecká nakladatelská společnost. ISBN 978-9971-5-0891-3.
- Lee, Peng-Yee; Výborný, Rudolf (2000). Integrální: Snadný přístup po Kurzweilovi a Henstockovi. Série přednášek australské matematické společnosti. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-77968-5.
- McLeod, Robert M. (1980). Zobecněný Riemannův integrál. Matematické monografie Carus. 20. Washington, D.C .: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-021-3.
- Swartz, Charles W. (2001). Úvod do integrálů měřidla. Světová vědecká nakladatelská společnost. ISBN 978-981-02-4239-8.
- Swartz, Charles W .; Kurtz, Douglas S. (2004). Teorie integrace: Integrály Riemanna, Lebesgue, Henstock – Kurzweil a McShane. Série v reálné analýze. 9. Světová vědecká nakladatelská společnost. ISBN 978-981-256-611-9.
externí odkazy
Následují další zdroje na webu, kde se dozvíte více:
- "Kurzweil-Henstock integrální", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Úvod do integrálního měřidla
- Otevřený návrh: Nahradit Riemannův integrál měřidlovým integrálem v učebnicích počtu podepsali Bartle, Henstock, Kurzweil, Schechter, Schwabik a Výborný