Směrový derivát - Directional derivative

v matematika, směrový derivát vícerozměrného diferencovatelná funkce podél daného vektor proti v daném bodě X intuitivně představuje okamžitou rychlost změny funkce, která se pohybuje X s rychlostí určenou proti. Zobecňuje tedy pojem a parciální derivace, ve kterém je rychlost změny vedena podél jednoho z křivočarý souřadnicové křivky, přičemž všechny ostatní souřadnice jsou konstantní.

Směrový derivát je zvláštním případem Gateaux derivát.

Zápis

Nechat F být křivka, jejíž tečný vektor v určitém vybraném bodě je proti. Směrový derivát funkce F s ohledem na proti mohou být označeny některou z následujících položek:

${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}),}$
${ displaystyle f '_ { mathbf {v}} ( mathbf {x}),}$
${ displaystyle D _ { mathbf {v}} f ( mathbf {x}),}$
${ displaystyle Df ( mathbf {x}) ( mathbf {v}),}$
${ displaystyle částečné _ { mathbf {v}} f ( mathbf {x}),}$
${ displaystyle { frac { částečné {f ( mathbf {x})}} { částečné { mathbf {v}}}},}$
${ displaystyle mathbf {v} cdot { nabla f ( mathbf {x})},}$
${ displaystyle mathbf {v} cdot { frac { částečné f ( mathbf {x})} { částečné mathbf {x}}}.}$

Definice

A obrysový graf z

{ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}

, zobrazující vektor přechodu v černé barvě a jednotkový vektor

{ displaystyle mathbf {u}}

zmenšen směrovou derivací ve směru

{ displaystyle mathbf {u}}

oranžově. Vektor přechodu je delší, protože přechod směřuje ve směru největší rychlosti nárůstu funkce.

The směrový derivát a skalární funkce

{ displaystyle f ( mathbf {x}) = f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}

podél vektoru

{ displaystyle mathbf {v} = (v_ {1}, ldots, v_ {n})}

je funkce ${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} {f}}$ definováno omezit^[1]

{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}) = lim _ {h rightarrow 0} { frac {f ( mathbf {x} + h mathbf {v }) -f ( mathbf {x})} {h}}.}

Tato definice je platná v široké škále kontextů, například tam, kde norma vektoru (a tedy jednotkového vektoru) není definováno.^[2]

Pokud je funkce F je rozlišitelný v X, potom existuje směrový derivát podél libovolného vektoru protia jeden má

{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}) = nabla f ( mathbf {x}) cdot mathbf {v}}

Kde ${ displaystyle nabla}$ vpravo označuje spád a ${ displaystyle cdot}$ je Tečkovaný produkt.^[3] To vyplývá z definování cesty ${ displaystyle h (t) = x + tv}$ a použití definice derivátu jako limitu, který lze vypočítat na této cestě, abychom získali:

{ displaystyle { begin {aligned} 0 = lim _ {t rightarrow 0} { frac {f (x + tv) -f (x) -tD_ {f} (x) (v)} {t} } = lim _ {t rightarrow 0} { frac {f (x + tv) -f (x)} {t}} - D_ {f} (x) (v) = nabla _ {v} f (x) -D_ {f} (x) (v) rightarrow nabla f ( mathbf {x}) cdot mathbf {v} = D_ {f} (x) (v) = nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}) end {zarovnáno}}}

Intuitivně směrový derivát F v určitém okamžiku X představuje rychlost změny z F, ve směru proti s ohledem na čas, když se pohybujeme kolem X.

Používáme pouze směr vektoru

Úhel α mezi tečnou A a vodorovná bude maximální, pokud rovina řezu obsahuje směr přechodu A.

V Euklidovský prostor, někteří autoři^[4] definujte směrovou derivaci s ohledem na libovolný nenulový vektor proti po normalizace, tedy nezávislý na jeho velikosti a závislý pouze na jeho směru.^[5]

Tato definice udává míru nárůstu o F na jednotku vzdálenosti posunutou ve směru daném proti. V tomto případě jeden má

{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}) = lim _ {h rightarrow 0} { frac {f ( mathbf {x} + h mathbf {v }) -f ( mathbf {x})} {h | mathbf {v} |}},}

nebo v případě F je diferencovatelný v X,

{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}) = nabla f ( mathbf {x}) cdot { frac { mathbf {v}} {| mathbf {v} |}}.}

Omezení na jednotkový vektor

V kontextu funkce na a Euklidovský prostor, některé texty omezují vektor proti být jednotkový vektor. S tímto omezením jsou obě výše uvedené definice rovnocenné.^[6]

Vlastnosti

Mnoho známých vlastností obyčejných derivát podržte směrovou derivaci. Patří mezi ně pro všechny funkce F a G definované v a sousedství z, a rozlišitelný v, p:

pravidlo součtu:
${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} (f + g) = nabla _ { mathbf {v}} f + nabla _ { mathbf {v}} g.}$
pravidlo konstantního faktoru: Pro každou konstantu C,
${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} (srov) = c nabla _ { mathbf {v}} f.}$
produktové pravidlo (nebo Leibnizovo pravidlo):
${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} (fg) = g nabla _ { mathbf {v}} f + f nabla _ { mathbf {v}} g.}$
řetězové pravidlo: Pokud G je diferencovatelný v p a h je diferencovatelný v G(p), pak
${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} (h circ g) ( mathbf {p}) = h '(g ( mathbf {p})) nabla _ { mathbf {v}} g ( mathbf {p}).}$

V diferenciální geometrii

Nechat $M$ být diferencovatelné potrubí a $p$ bod $M$ . Předpokládejme to $F$ je funkce definovaná v sousedství $p$ , a rozlišitelný v $p$ . Li $proti$ je tečný vektor na $M$ v $p$ , pak směrový derivát z $F$ podél $proti$ , označované různě jako $df (proti)$ (vidět Vnější derivát ), ${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} f ( mathbf {p})}$ (vidět Kovariantní derivát ), ${ displaystyle L _ { mathbf {v}} f ( mathbf {p})}$ (vidět Derivát lži ), nebo ${ displaystyle { mathbf {v}} _ { mathbf {p}} (f)}$ (vidět Tečný prostor § Definice pomocí derivací ), lze definovat následovně. Nechat $y : [-1, 1] \to M$ být diferencovatelná křivka s $y (0) = p$ a $y'(0) = proti$ . Potom je směrová derivace definována pomocí

{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} f ( mathbf {p}) = vlevo. { frac {d} {d tau}} f circ gamma ( tau) vpravo | _ { tau = 0}.}

Tuto definici lze prokázat nezávisle na volbě $y$ , za předpokladu $y$ je vybrán předepsaným způsobem tak, aby $y'(0) = proti$ .

Derivát lži

The Derivát lži vektorového pole ${ displaystyle scriptstyle W ^ { mu} (x)}$ podél vektorového pole ${ displaystyle scriptstyle V ^ { mu} (x)}$ je dáno rozdílem dvou směrových derivací (s mizivou torzí):

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {V} W ^ { mu} = (V cdot nabla) W ^ { mu} - (W cdot nabla) V ^ { mu}.}

Zejména pro skalární pole ${ displaystyle scriptstyle phi (x)}$ , Lieova derivace se redukuje na standardní směrovou derivaci:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {V} phi = (V cdot nabla) phi.}

Riemannův tenzor

Směrové deriváty se často používají v úvodních derivacích Riemannův tenzor zakřivení. Zvažte zakřivený obdélník s nekonečně malým vektorem δ podél jednoho okraje a δPodél druhé. Přeložíme covector S podél δ pak δ′ A poté odečíst překlad δ' a pak δ. Místo vytváření směrových derivací pomocí částečných derivací používáme kovarianční derivace. Operátor překladu pro δ je tedy

{ displaystyle 1+ sum _ { nu} delta ^ { nu} D _ { nu} = 1 + delta cdot D,}

a pro δ′,

{ displaystyle 1+ sum _ { mu} delta '^ { mu} D _ { mu} = 1 + delta' cdot D.}

Rozdíl mezi těmito dvěma cestami je tedy

{ displaystyle (1+ delta ' cdot D) (1+ delta cdot D) S ^ { rho} - (1+ delta cdot D) (1+ delta cdot D) S ^ { rho} = sum _ { mu, nu} delta '^ { mu} delta ^ { nu} [D _ { mu}, D _ { nu}] S _ { rho}.}

Dá se argumentovat^[7] že nekomutativita kovariančních derivátů měří zakřivení potrubí:

{ displaystyle [D _ { mu}, D _ { nu}] S _ { rho} = pm součet _ { sigma} R ^ { sigma} {} _ { rho mu nu} S_ { sigma},}

kde R je Riemannova křivka tenzoru a znaménko závisí na podepsat konvenci autora.

V teorii skupin

Překlady

V Poincarého algebra, můžeme definovat nekonečně malý překladatelský operátor P tak jako

{ displaystyle mathbf {P} = i nabla.}

(dále jen i zajišťuje to P je operátor s vlastním nastavením ) Pro konečné posunutí λ, unitární Hilbertův prostor zastoupení pro překlady je^[8]

{ displaystyle U ( mathbf { lambda}) = exp left (-i mathbf { lambda} cdot mathbf {P} right).}

Použitím výše uvedené definice operátoru infinitezimálního překladu vidíme, že operátor konečného překladu je umocněný směrový derivát:

{ displaystyle U ( mathbf { lambda}) = exp left ( mathbf { lambda} cdot nabla right).}

Toto je operátor překladu v tom smyslu, že působí na funkce s více proměnnými F(X) tak jako

{ displaystyle U ( mathbf { lambda}) f ( mathbf {x}) = exp left ( mathbf { lambda} cdot nabla right) f ( mathbf {x}) = f ( mathbf {x} + mathbf { lambda}).}

Důkaz poslední rovnice

Ve standardním kalkulu s jednou proměnnou je derivace hladké funkce f (x) definována (pro malé ε)

{ displaystyle { frac {df} {dx}} = { frac {f (x + epsilon) -f (x)} { epsilon}}.}

To lze přeskupit a najít f (x + ε):

{ displaystyle f (x + epsilon) = f (x) + epsilon , { frac {df} {dx}} = vlevo (1+ epsilon , { frac {d} {dx}} vpravo) f (x).}

Z toho vyplývá, že ${ displaystyle [1+ epsilon , (d / dx)]}$ je překladatelský operátor. To je okamžitě zobecněno^[9] na funkce s více proměnnými f (X)

{ displaystyle f ( mathbf {x} + mathbf { epsilon}) = left (1+ mathbf { epsilon} cdot nabla right) f ( mathbf {x}).}

Tady ${ displaystyle mathbf { epsilon} cdot nabla}$ je směrový derivát podél nekonečně malého posunutí ε. Našli jsme nekonečně malou verzi překladatelského operátoru:

{ displaystyle U ( mathbf { epsilon}) = 1 + mathbf { epsilon} cdot nabla.}

Je zřejmé, že zákon o množení skupin^[10] U (g) U (f) = U (gf) má formu

{ displaystyle U ( mathbf {a}) U ( mathbf {b}) = U ( mathbf {a + b}).}

Předpokládejme tedy, že vezmeme konečné posunutí λ a rozdělit jej na N částí (N → ∞ je implikováno všude), takže λ/ N =ε. Jinými slovy,

{ displaystyle mathbf { lambda} = N mathbf { epsilon}.}

Poté pomocí U (ε) N krát můžeme postavit U (λ):

{ displaystyle [U ( mathbf { epsilon})] ^ {N} = U (N mathbf { epsilon}) = U ( mathbf { lambda}).}

Nyní můžeme připojit náš výše uvedený výraz pro U (ε):

{ displaystyle [U ( mathbf { epsilon})] ^ {N} = levý [1+ mathbf { epsilon} cdot nabla pravý] ^ {N} = levý [1 + { frac { mathbf { lambda} cdot nabla} {N}} vpravo] ^ {N}.}

Používání identity^[11]

{ displaystyle exp (x) = doleva [1 + { frac {x} {N}} doprava] ^ {N},}

my máme

{ displaystyle U ( mathbf { lambda}) = exp left ( mathbf { lambda} cdot nabla right).}

A protože U (ε)F(X) = f (X+ε) my máme

{ displaystyle [U ( mathbf { epsilon})] ^ {N} f ( mathbf {x}) = f ( mathbf {x} + N mathbf { epsilon}) = f ( mathbf {x } + mathbf { lambda}) = U ( mathbf { lambda}) f ( mathbf {x}) = exp left ( mathbf { lambda} cdot nabla right) f ( mathbf {X} ),}

Q.E.D.

Z technického hlediska je tento postup možný pouze proto, že překladová skupina tvoří Abelian podskupina (Cartan subalgebra ) v Poincarého algebře. Zejména zákon o množení skupin U (A) U (b) = U (A+b) nelze považovat za samozřejmost. Také si všimneme, že Poincaré je propojená Lieova skupina. Jedná se o skupinu transformací T (ξ), které jsou popsány souvislou sadou reálných parametrů ${ displaystyle scriptstyle xi ^ {a}}$ . Zákon o množení skupin má formu

{ displaystyle T ({ bar { xi}}) T ( xi) = T (f ({ bar { xi}}, xi))}

Brát ${ displaystyle scriptstyle xi ^ {a}}$ = 0 jako souřadnice identity, musíme mít

{ displaystyle f ^ {a} ( xi, 0) = f ^ {a} (0, xi) = xi ^ {a}.}

Skutečné operátory v Hilbertově prostoru jsou reprezentovány unitárními operátory U (T (ξ)). Ve výše uvedeném zápisu jsme potlačili T; nyní píšeme U (λ) jako U (P(λ)). Pro malé sousedství kolem identity, reprezentace řady sil

{ displaystyle U (T ( xi)) = 1 + i součet _ {a} xi ^ {a} t_ {a} + { frac {1} {2}} součet _ {b, c} xi ^ {b} xi ^ {c} t_ {bc} + cdots}

je docela dobrý. Předpokládejme, že U (T (ξ)) tvoří neprojektivní zobrazení, tj. To

{ displaystyle U (T ({ bar { xi}})) U (T ( xi)) = U (T (f ({ bar { xi}}, xi)))}}

Expanze f na druhou mocninu je

{ displaystyle f ^ {a} ({ bar { xi}}, xi) = xi ^ {a} + { bar { xi}} ^ {a} + sum _ {b, c} f ^ {abc} { bar { xi}} ^ {b} xi ^ {c}.}

Po rozšíření rovnice násobení reprezentace a rovnicních koeficientů máme netriviální podmínku

{ displaystyle t_ {bc} = - t_ {b} t_ {c} -i sum _ {a} f ^ {abc} t_ {a}.}

Od té doby ${ displaystyle scriptstyle t_ {ab}}$ je podle definice symetrický ve svých indexech, máme standard Lež algebra komutátor:

{ displaystyle [t_ {b}, t_ {c}] = i sum _ {a} (- f ^ {abc} + f ^ {acb}) t_ {a} = i sum _ {a} C ^ {abc} t_ {a},}

s C. strukturní konstanta. Generátory překladů jsou částečné derivační operátory, které dojíždějí:

{ displaystyle left [{ frac { částečné} { částečné x ^ {b}}}, { frac { částečné} { částečné x ^ {c}}} vpravo] = 0.}

To znamená, že strukturní konstanty zmizí a tím zmizí i kvadratické koeficienty v expanzi f. To znamená, že f je jednoduše aditivní:

{ displaystyle f _ { text {abelian}} ^ {a} ({ bar { xi}}, xi) = xi ^ {a} + { bar { xi}} ^ {a},}

a tedy pro abelianské skupiny,

{ displaystyle U (T ({ bar { xi}})) U (T ( xi)) = U (T ({ bar { xi}} + xi))}}

Q.E.D.

Rotace

The operátor rotace také obsahuje směrovou derivaci. Operátor otáčení pro úhel θ, tj. o částku θ = |θ| kolem osy rovnoběžné s ${ displaystyle scriptstyle { hat { theta}}}$ = θ/ θ je

{ displaystyle U (R ( mathbf { theta})) = exp (-i mathbf { theta} cdot mathbf {L}).}

Tady L je vektorový operátor, který generuje SO (3):

{ displaystyle mathbf {L} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 end {pmatrix}} mathbf {i} + { begin {pmatrix} 0 & 0 & -1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 end {pmatrix}} mathbf {j} + { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 - 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} mathbf {k}.}

Může být geometricky ukázáno, že nekonečně malá pravotočivá rotace mění vektor polohy X podle

{ displaystyle mathbf {x} rightarrow mathbf {x} - delta mathbf { theta} times mathbf {x}.}

Očekávali bychom tedy při nekonečně malé rotaci:

{ displaystyle U (R ( delta mathbf { theta})) f ( mathbf {x}) = f ( mathbf {x} - delta mathbf { theta} krát mathbf {x}) = f ( mathbf {x}) - ( delta mathbf { theta} times mathbf {x}) cdot nabla f.}

Z toho vyplývá, že

{ displaystyle U (R ( delta mathbf { theta})) = 1 - ( delta mathbf { theta} times mathbf {x}) cdot nabla.}

Podle stejného postupu umocňování, jak je uvedeno výše, se dostaneme k operátoru otáčení na základě polohy, což je umocněný směrový derivát:^[12]

{ displaystyle U (R ( mathbf { theta})) = exp (- ( mathbf { theta} krát mathbf {x}) cdot nabla).}

Normální derivace

A normální derivace je směrový derivát přijatý ve směru normálním (tj. ortogonální ) na nějaký povrch ve vesmíru, nebo obecněji podél a normální vektor pole kolmé na některé nadpovrch. Viz například Neumannova okrajová podmínka. Pokud je normální směr označen ${ displaystyle mathbf {n}}$ , pak směrový derivát funkce F je někdy označován jako ${ displaystyle { frac { částečné f} { částečné n}}}$ . V jiných notacích

{ displaystyle { frac { částečné f} { částečné mathbf {n}}} = nabla f ( mathbf {x}) cdot mathbf {n} = nabla _ { mathbf {n}} {f} ( mathbf {x}) = { frac { částečné f} { částečné mathbf {x}}} cdot mathbf {n} = Df ( mathbf {x}) [ mathbf {n }].}

V mechanice kontinua pevných látek

Několik důležitých výsledků v mechanice kontinua vyžaduje derivace vektorů s ohledem na vektory a tenzory s ohledem na vektory a tenzory.^[13] The směrová směrnice poskytuje systematický způsob hledání těchto derivátů.

Níže jsou uvedeny definice směrových derivací pro různé situace. Předpokládá se, že funkce jsou dostatečně plynulé, aby bylo možné brát derivace.

Derivace skalárních funkcí vektorů

Nechat ${ displaystyle f ( mathbf {v})}$ být skutečnou funkcí vektoru ${ displaystyle mathbf {v}}$ . Pak derivát ${ displaystyle f ( mathbf {v})}$ s ohledem na ${ displaystyle mathbf {v}}$ (nebo na ${ displaystyle mathbf {v}}$ ) ve směru ${ displaystyle mathbf {u}}$ je definován jako

{ displaystyle { frac { částečné f} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = Df ( mathbf {v}) [ mathbf {u}] = vlevo [{ frac {d} {d alpha}} ~ f ( mathbf {v} + alpha ~ mathbf {u}) right] _ { alpha = 0}}

pro všechny vektory ${ displaystyle mathbf {u}}$ .

Vlastnosti:

Li ${ displaystyle f ( mathbf {v}) = f_ {1} ( mathbf {v}) + f_ {2} ( mathbf {v})}$ pak ${ displaystyle { frac { částečné f} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = vlevo ({ frac { částečné f_ {1}} { částečné mathbf {v }}} + { frac { částečné f_ {2}} { částečné mathbf {v}}} vpravo) cdot mathbf {u}.}$
Li ${ displaystyle f ( mathbf {v}) = f_ {1} ( mathbf {v}) ~ f_ {2} ( mathbf {v})}$ pak ${ displaystyle { frac { částečné f} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = vlevo ({ frac { částečné f_ {1}} { částečné mathbf {v }}} cdot mathbf {u} vpravo) ~ f_ {2} ( mathbf {v}) + f_ {1} ( mathbf {v}) ~ vlevo ({ frac { částečné f_ {2 }} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} vpravo).}$
Li ${ displaystyle f ( mathbf {v}) = f_ {1} (f_ {2} ( mathbf {v}))}$ pak ${ displaystyle { frac { částečné f} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = { frac { částečné f_ {1}} { částečné f_ {2}}} ~ { frac { částečné f_ {2}} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u}.}$

Deriváty vektorově oceněných funkcí vektorů

Nechat ${ displaystyle mathbf {f} ( mathbf {v})}$ být funkcí vektoru s hodnotou vektoru ${ displaystyle mathbf {v}}$ . Pak derivát ${ displaystyle mathbf {f} ( mathbf {v})}$ s ohledem na ${ displaystyle mathbf {v}}$ (nebo na ${ displaystyle mathbf {v}}$ ) ve směru ${ displaystyle mathbf {u}}$ je tenzor druhého řádu definováno jako

{ displaystyle { frac { částečné mathbf {f}} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = D mathbf {f} ( mathbf {v}) [ mathbf { u}] = left [{ frac {d} {d alpha}} ~ mathbf {f} ( mathbf {v} + alpha ~ mathbf {u}) right] _ { alpha = 0 }}

pro všechny vektory ${ displaystyle mathbf {u}}$ .

Vlastnosti:

Li ${ displaystyle mathbf {f} ( mathbf {v}) = mathbf {f} _ {1} ( mathbf {v}) + mathbf {f} _ {2} ( mathbf {v})}$ pak ${ displaystyle { frac { částečné mathbf {f}} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = left ({ frac { částečné mathbf {f} _ {1 }} { částečné mathbf {v}}} + { frac { částečné mathbf {f} _ {2}} { částečné mathbf {v}}} vpravo) cdot mathbf {u}. }$
Li ${ displaystyle mathbf {f} ( mathbf {v}) = mathbf {f} _ {1} ( mathbf {v}) times mathbf {f} _ {2} ( mathbf {v}) }$ pak ${ displaystyle { frac { částečné mathbf {f}} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = left ({ frac { částečné mathbf {f} _ {1 }} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} doprava) times mathbf {f} _ {2} ( mathbf {v}) + mathbf {f} _ {1} ( mathbf {v}) times left ({ frac { částečné mathbf {f} _ {2}} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} vpravo).}$
Li ${ displaystyle mathbf {f} ( mathbf {v}) = mathbf {f} _ {1} ( mathbf {f} _ {2} ( mathbf {v}))}$ pak ${ displaystyle { frac { částečné mathbf {f}} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = { frac { částečné mathbf {f} _ {1}} { částečné mathbf {f} _ {2}}} cdot vlevo ({ frac { částečné mathbf {f} _ {2}} { částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u } že jo).}$

Derivace skalárních funkcí tenzorů druhého řádu

Nechat ${ displaystyle f ( mathbf {S})}$ být skutečnou funkcí tenzoru druhého řádu ${ displaystyle mathbf {S}}$ . Pak derivát ${ displaystyle f ( mathbf {S})}$ s ohledem na ${ displaystyle mathbf {S}}$ (nebo na ${ displaystyle mathbf {S}}$ ) ve směru ${ displaystyle mathbf {T}}$ je tenzor druhého řádu definováno jako

{ displaystyle { frac { částečné f} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} = Df ( mathbf {S}) [ mathbf {T}] = vlevo [{ frac {d} {d alpha}} ~ f ( mathbf {S} + alpha mathbf {T}) right] _ { alpha = 0}}

pro všechny tenzory druhého řádu ${ displaystyle mathbf {T}}$ .

Vlastnosti:

Li ${ displaystyle f ( mathbf {S}) = f_ {1} ( mathbf {S}) + f_ {2} ( mathbf {S})}$ pak ${ displaystyle { frac { částečné f} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} = vlevo ({ frac { částečné f_ {1}} { částečné mathbf {S} }} + { frac { částečné f_ {2}} { částečné mathbf {S}}} vpravo): mathbf {T}.}$
Li ${ displaystyle f ( mathbf {S}) = f_ {1} ( mathbf {S}) ~ f_ {2} ( mathbf {S})}$ pak ${ displaystyle { frac { částečné f} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} = vlevo ({ frac { částečné f_ {1}} { částečné mathbf {S} }}: mathbf {T} vpravo) ~ f_ {2} ( mathbf {S}) + f_ {1} ( mathbf {S}) ~ vlevo ({ frac { částečné f_ {2}} { partial mathbf {S}}}: mathbf {T} right).}$
Li ${ displaystyle f ( mathbf {S}) = f_ {1} (f_ {2} ( mathbf {S}))}$ pak ${ displaystyle { frac { částečné f} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} = { frac { částečné f_ {1}} { částečné f_ {2}}} ~ vlevo ({ frac { částečné f_ {2}} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} vpravo).}$

Derivace tenzorových funkcí tenzorů druhého řádu

Nechat ${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {S})}$ být funkcí tenzoru druhého řádu tenzoru druhého řádu ${ displaystyle mathbf {S}}$ . Pak derivát ${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {S})}$ s ohledem na ${ displaystyle mathbf {S}}$ (nebo na ${ displaystyle mathbf {S}}$ ) ve směru ${ displaystyle mathbf {T}}$ je tenzor čtvrtého řádu definováno jako

{ displaystyle { frac { částečné mathbf {F}} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} = D mathbf {F} ( mathbf {S}) [ mathbf {T }] = left [{ frac {d} {d alpha}} ~ mathbf {F} ( mathbf {S} + alpha mathbf {T}) right] _ { alpha = 0}}

pro všechny tenzory druhého řádu ${ displaystyle mathbf {T}}$ .

Vlastnosti:

Li ${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {S}) = mathbf {F} _ {1} ( mathbf {S}) + mathbf {F} _ {2} ( mathbf {S})}$ pak ${ displaystyle { frac { částečné mathbf {F}} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} = vlevo ({ frac { částečné mathbf {F} _ {1} } { částečné mathbf {S}}} + { frac { částečné mathbf {F} _ {2}} { částečné mathbf {S}}} vpravo): mathbf {T}.}$
Li ${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {S}) = mathbf {F} _ {1} ( mathbf {S}) cdot mathbf {F} _ {2} ( mathbf {S}) }$ pak ${ displaystyle { frac { částečné mathbf {F}} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} = vlevo ({ frac { částečné mathbf {F} _ {1} } { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} vpravo) cdot mathbf {F} _ {2} ( mathbf {S}) + mathbf {F} _ {1} ( mathbf {S}) cdot left ({ frac { partial mathbf {F} _ {2}} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} vpravo).}$
Li ${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {S}) = mathbf {F} _ {1} ( mathbf {F} _ {2} ( mathbf {S}))}$ pak ${ displaystyle { frac { částečné mathbf {F}} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} = { frac { částečné mathbf {F} _ {1}} { částečné mathbf {F} _ {2}}}: vlevo ({ frac { částečné mathbf {F} _ {2}} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} vpravo ).}$
Li ${ displaystyle f ( mathbf {S}) = f_ {1} ( mathbf {F} _ {2} ( mathbf {S}))}$ pak ${ displaystyle { frac { částečný f} { částečný mathbf {S}}}: mathbf {T} = { frac { částečný f_ {1}} { částečný mathbf {F} _ {2 }}}: left ({ frac { částečné mathbf {F} _ {2}} { částečné mathbf {S}}}: mathbf {T} vpravo).}$

Viz také

Poznámky

^ R. Wrede; M. Spiegel (2010). Pokročilý počet (3. vyd.). Schaumova osnova. ISBN 978-0-07-162366-7.
^ Použitelnost se vztahuje i na funkce v prostorech bez a metrický a do diferencovatelné potrubí, například v obecná relativita.
^ Pokud bodový produkt není definován, spád je také nedefinováno; nicméně pro diferencovatelnost F, směrová derivace je stále definována a podobný vztah existuje s vnější derivací.
^ Thomas, George B. Jr.; a Finney, Ross L. (1979) Kalkul a analytická geometrie, Addison-Wesley Publ. Co., páté vydání, str. 593.
^ To obvykle předpokládá a Euklidovský prostor - například funkce několika proměnných obvykle nemá definici velikosti vektoru, a tedy ani jednotkového vektoru.
^ Hughes-Hallet, Deborah; McCallum, William G .; Gleason, Andrew M. (01.01.2012). Calculus: Single and multivariable. John Wiley. p. 780. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012.
^ Zee, A. (2013). Stručně řečeno Einsteinova gravitace. Princeton: Princeton University Press. p. 341. ISBN 9780691145587.
^ Weinberg, Steven (1999). Kvantová teorie polí (Přetištěno (s kor.). Ed.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Lis. ISBN 9780521550017.
^ Zee, A. (2013). Stručně řečeno Einsteinova gravitace. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691145587.
^ Mexiko, Kevin Cahill, University of New (2013). Fyzikální matematika (Repr. Ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211.
^ Edwards, Ron Larson, Robert, Bruce H. (2010). Počet jedné proměnné (9. vydání). Belmont: Brooks / Cole. ISBN 9780547209982.
^ Shankar, R. (1994). Principy kvantové mechaniky (2. vyd.). New York: Kluwer Academic / Plenum. p. 318. ISBN 9780306447907.
^ J. E. Marsden a T. J. R. Hughes, 2000, Matematické základy pružnostiDover.

Reference

Hildebrand, F. B. (1976). Pokročilý počet pro aplikace. Prentice Hall. ISBN 0-13-011189-9.
K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence (2010). Matematické metody pro fyziku a inženýrství. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
Shapiro, A. (1990). "O konceptech směrové diferencovatelnosti". Journal of Optimization Theory and Applications. 66 (3): 477–487. doi:10.1007 / BF00940933.

externí odkazy

[1] R. Wrede; M. Spiegel (2010). Pokročilý počet (3. vyd.). Schaumova osnova. ISBN 978-0-07-162366-7.

[2] Použitelnost se vztahuje i na funkce v prostorech bez a metrický a do diferencovatelné potrubí, například v obecná relativita.

[3] Pokud bodový produkt není definován, spád je také nedefinováno; nicméně pro diferencovatelnost F, směrová derivace je stále definována a podobný vztah existuje s vnější derivací.

[4] Thomas, George B. Jr.; a Finney, Ross L. (1979) Kalkul a analytická geometrie, Addison-Wesley Publ. Co., páté vydání, str. 593.

[5] To obvykle předpokládá a Euklidovský prostor - například funkce několika proměnných obvykle nemá definici velikosti vektoru, a tedy ani jednotkového vektoru.

[6] Hughes-Hallet, Deborah; McCallum, William G .; Gleason, Andrew M. (01.01.2012). Calculus: Single and multivariable. John Wiley. p. 780. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012.

[7] Zee, A. (2013). Stručně řečeno Einsteinova gravitace. Princeton: Princeton University Press. p. 341. ISBN 9780691145587.

[8] Weinberg, Steven (1999). Kvantová teorie polí (Přetištěno (s kor.). Ed.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Lis. ISBN 9780521550017.

[9] Zee, A. (2013). Stručně řečeno Einsteinova gravitace. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691145587.

[10] Mexiko, Kevin Cahill, University of New (2013). Fyzikální matematika (Repr. Ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211.

[11] Edwards, Ron Larson, Robert, Bruce H. (2010). Počet jedné proměnné (9. vydání). Belmont: Brooks / Cole. ISBN 9780547209982.

[12] Shankar, R. (1994). Principy kvantové mechaniky (2. vyd.). New York: Kluwer Academic / Plenum. p. 318. ISBN 9780306447907.

[Marsden00-13] J. E. Marsden a T. J. R. Hughes, 2000, Matematické základy pružnostiDover.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]