Test střídavé řady - Alternating series test

v matematická analýza, test střídavé řady je metoda použitá k prokázání, že střídavé řady s pojmy, které snižují absolutní hodnotu je a konvergentní řady Test byl použit Gottfried Leibniz a je někdy známá jako Leibnizův test, Leibnizovo pravidlo, nebo Leibnizovo kritérium.

Formulace

Série formuláře

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} a_ {n} = a_ {0} -a_ {1} + a_ {2} -a_ {3} + cdots !}$

kde buď všichni A_n jsou pozitivní nebo všichni A_n jsou záporné, nazývá se střídavé řady.

The test střídavé řady pak říká: pokud ${ displaystyle | a_ {n} |}$ klesá monotónně^[1] a ${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} = 0}$ pak se střídavá řada sblíží.

Navíc nechte L označit součet řady, pak částečný součet

${ displaystyle S_ {k} = součet _ {n = 0} ^ {k} (- 1) ^ {n} a_ {n} !}$

přibližný L s chybou ohraničenou dalším vynechaným termínem:

${ displaystyle left | S_ {k} -L right vert leq left | S_ {k} -S_ {k + 1} right vert = a_ {k + 1}. !}$

Důkaz

Předpokládejme, že máme řadu formulářů ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n-1} a_ {n} !}$, kde ${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0}$ a ${ displaystyle a_ {n} geq a_ {n + 1}}$ pro všechna přirozená čísla n. (Pouzdro ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} a_ {n} !}$ následuje tím, že vezme zápor.)^[1]

Důkaz konvergence

Prokážeme, že oba dílčí součty ${ displaystyle S_ {2m + 1} = součet _ {n = 1} ^ {2m + 1} (- 1) ^ {n-1} a_ {n}}$ s lichým počtem termínů a ${ displaystyle S_ {2m} = součet _ {n = 1} ^ {2m} (- 1) ^ {n-1} a_ {n}}$ se sudým počtem termínů konverguje ke stejnému počtu L. Tedy obvyklý dílčí součet ${ displaystyle S_ {k} = součet _ {n = 1} ^ {k} (- 1) ^ {n-1} a_ {n}}$ také konverguje k L.

Liché dílčí částky se monotónně snižují:

${ displaystyle S_ {2 (m + 1) +1} = S_ {2m + 1} -a_ {2m + 2} + a_ {2m + 3} leq S_ {2m + 1}}$

zatímco sudé částečné částky se monotónně zvyšují:

${ displaystyle S_ {2 (m + 1)} = S_ {2m} + a_ {2m + 1} -a_ {2m + 2} geq S_ {2m}}$

obojí proto A_n monotónně klesá s n.

Navíc od té doby A_n jsou pozitivní, ${ displaystyle S_ {2m + 1} -S_ {2m} = a_ {2m + 1} geq 0}$. Můžeme tedy shromáždit tato fakta a vytvořit tak následující sugestivní nerovnost:

${ displaystyle a_ {1} -a_ {2} = S_ {2} leq S_ {2m} leq S_ {2m + 1} leq S_ {1} = a_ {1}.}$

Nyní si to povšimněte A₁ − A₂ je dolní mez monotónně klesající sekvence S_{2 m + 1}, monotónní věta o konvergenci pak znamená, že tato posloupnost konverguje jako m blíží se nekonečnu. Podobně konverguje i posloupnost i částečného součtu.

Nakonec musí konvergovat ke stejnému číslu, protože

${ displaystyle lim _ {m to infty} (S_ {2m + 1} -S_ {2m}) = lim _ {m to infty} a_ {2m + 1} = 0.}$

Zavolejte limit L, pak monotónní věta o konvergenci také nám říká další informace

${ displaystyle S_ {2m} leq L leq S_ {2m + 1}}$

pro všechny m. To znamená, že dílčí součty střídavé řady se také „střídají“ nad a pod konečným limitem. Přesněji řečeno, když existuje lichý (sudý) počet termínů, tj. Poslední člen je termín plus (minus), pak je částečný součet nad (pod) konečným limitem.

Toto porozumění vede okamžitě k chybě vázané na částečné součty, zobrazené níže.

Důkaz o částečné chybě chyby vázán

Chtěli bychom ukázat ${ displaystyle left | S_ {k} -L right | leq a_ {k + 1} !}$ rozdělením do dvou případů.

Když k = 2m + 1, tedy liché, pak

${ displaystyle left | S_ {2m + 1} -L right | = S_ {2m + 1} -L leq S_ {2m + 1} -S_ {2m + 2} = a _ {(2m + 1) + 1}}$

Když k = 2m, tedy sudý, pak

${ displaystyle left | S_ {2m} -L right | = L-S_ {2m} leq S_ {2m + 1} -S_ {2m} = a_ {2m + 1}}$

podle přání.

Oba případy se v zásadě opírají o poslední nerovnost odvozenou v předchozím důkazu.

Pro použití alternativního důkazu Cauchyho konvergenční test viz Střídavá řada.

Zobecnění viz Dirichletův test.

Protiklad

Aby byl závěr pravdivý, měly by být splněny všechny podmínky v testu, jmenovitě konvergence k nule a monotónnost.

${ displaystyle { frac {1} {{ sqrt {2}} - 1}} - { frac {1} {{ sqrt {2}} + 1}} + { frac {1} {{ sqrt {3}} - 1}} - { frac {1} {{ sqrt {3}} + 1}} + cdots}$

Znamení se střídají a termíny mají tendenci k nule. Monotónnost však není přítomna a test nemůžeme použít. Série se vlastně liší. Ve skutečnosti za částečný součet ${ displaystyle S_ {2n}}$ my máme ${ displaystyle S_ {2n} = { frac {2} {1}} + { frac {2} {2}} + { frac {2} {3}} + cdots + { frac {2} {n-1}}}$ což je dvojnásobek částečného součtu harmonické řady, který je odlišný. Proto se původní série liší.

Viz také

• Střídavá řada
• Dirichletův test

Poznámky

^ V praxi se prvních několik výrazů může zvýšit. Důležité je to ${ displaystyle b_ {n} geq b_ {n + 1}}$ pro všechny ${ displaystyle n}$ po nějakém okamžiku.^[2]

Reference

• Konrad Knopp (1956) Nekonečné sekvence a série, § 3.4, Dover Publications ISBN  0-486-60153-6
• Konrad Knopp (1990) Teorie a aplikace nekonečných sérií, § 15, Dover Publications ISBN  0-486-66165-2
• E. T. Whittaker & G. N. Watson (1963) Kurz moderní analýzy, 4. vydání, §2.3, Cambridge University Press ISBN  0-521-58807-3

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Leibnizovo kritérium“. MathWorld.