Tento článek je o převážně neurčitých integrálech v počtu. Seznam definitivních integrálů najdete v části
Seznam určitých integrálů .
Článek na Wikipedii
Integrace je základní operace v integrální počet . Zatímco diferenciace má přímočarý pravidla kterým je derivace komplikovaného funkce lze najít rozlišením jeho jednodušších funkcí komponent, integrace nikoli, takže tabulky známých integrálů jsou často užitečné. Tato stránka uvádí některé z nejběžnějších antiderivativa .
Historický vývoj integrálů Německý matematik vydal kompilaci seznamu integrálů (Integraltafeln) a technik integrálního počtu Meier Hirsch [de ] (aka Meyer Hirsch [de ] ) v roce 1810. Tyto tabulky byly znovu publikovány ve Velké Británii v roce 1823. Rozsáhlejší tabulky byly sestaveny v roce 1858 nizozemským matematikem David Bierens de Haan pro něj Tabulky d'intégrales définies , doplněno Supplément aux tables d'intégrales définies v ca. 1864. Nové vydání vyšlo v roce 1867 pod názvem Nouvelles tables d'intégrales définies . Tyto tabulky, které obsahují hlavně integrály elementárních funkcí, se používaly až do poloviny 20. století. Poté byly nahrazeny mnohem obsáhlejšími tabulkami Gradshteyn a Ryzhik . V Gradshteyn a Ryzhik jsou integrály pocházející z knihy Bierens de Haan označeny BI.
Ne vše uzavřené výrazy mít uzavřená forma primitiv; tato studie tvoří předmět diferenciální Galoisova teorie , který byl původně vyvinut společností Joseph Liouville ve 30. a 40. letech 20. století, což vedlo k Liouvilleova věta který klasifikuje, které výrazy mají uzavřenou formu primitivní funkce. Jednoduchý příklad funkce bez primitivní funkce uzavřené formy je E −X 2 , jehož primitivní funkcí je (až do konstant) chybová funkce .
Od roku 1968 existuje Rischův algoritmus pro určení neurčitých integrálů, které lze vyjádřit z hlediska základní funkce , obvykle pomocí a počítačový algebraický systém . S integrály, které nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí, lze manipulovat symbolicky pomocí obecných funkcí, jako je Funkce Meijer G. .
Seznamy integrálů Více podrobností naleznete na následujících stránkách seznamy integrály :
Gradshteyn , Ryzhik , Geronimus , Tseytlin , Jeffrey, Zwillinger, Moll's (GR) Tabulka integrálů, sérií a produktů obsahuje velkou sbírku výsledků. Ještě větší multivolume stůl je Integrály a řady podle Prudnikov , Brychkov , a Marichev (se svazky 1–3 se seznamem integrálů a řadami základní a speciální funkce , svazek 4–5 jsou tabulky Laplaceovy transformace ). Kompaktnější sbírky najdete např. Brychkov, Marichev, Prudnikov Tabulky neurčitých integrálů , nebo jako kapitoly v Zwillingerově Standardní matematické tabulky a vzorce CRC nebo Bronshtein a Semendyayev je Průvodce knihou k matematice , Příručka matematiky nebo Uživatelská příručka k matematice a další matematické příručky.
Mezi další užitečné zdroje patří Abramowitz a Stegun a Batemanův rukopisný projekt . Obě práce obsahují mnoho identit týkajících se konkrétních integrálů, které jsou uspořádány s nejrelevantnějším tématem, místo aby byly shromažďovány do samostatné tabulky. Dva svazky Batemanova rukopisu jsou specifické pro integrální transformace.
Existuje několik webových stránek, které obsahují tabulky integrálů a integrálů na vyžádání. Wolfram Alpha může zobrazit výsledky a u některých jednodušších výrazů také mezilehlé kroky integrace. Wolfram Research provozuje také další online službu, Wolfram Mathematica Online integrátor .
Integrály jednoduchých funkcí C se používá pro libovolná integrační konstanta to lze určit, pouze pokud je známo něco o hodnotě integrálu v určitém okamžiku. Každá funkce má tedy nekonečný počet antiderivativa .
Tyto vzorce pouze uvádějí v jiné formě tvrzení v tabulka derivátů .
Integrály se singularitou Když existuje jedinečnost v integrované funkci tak, že její primitivní funkce bude nedefinovaná nebo v určitém okamžiku (singularita) C nemusí být stejné na obou stranách singularity. Níže uvedené formuláře obvykle předpokládají Hodnota Cauchyho jistiny kolem singularity v hodnotě C ale to není obecně nutné. Například v
∫ 1 X d X = ln | X | + C { displaystyle int {1 nad x} , dx = ln vlevo | x vpravo | + C} tam je singularita na 0 a primitivní se tam stane nekonečným. Pokud by se výše uvedený integrál měl použít k výpočtu určitého integrálu mezi −1 a 1, člověk by dostal špatnou odpověď 0. Toto je však Cauchyova hlavní hodnota integrálu kolem singularity. Pokud se integrace provádí v komplexní rovině, výsledek závisí na cestě kolem počátku, v tomto případě přispívá singularita -i π při použití cesty nad počátkem a i π pro cestu pod počátkem. Funkce na skutečné lince by mohla použít úplně jinou hodnotu C na obou stranách původu jako v:
∫ 1 X d X = ln | X | + { A -li X > 0 ; B -li X < 0. { displaystyle int {1 nad x} , dx = ln | x | + { begin {cases} A & { text {if}} x> 0; B & { text {if}} x <0. end {cases}}} Racionální funkce Další integrály: Seznam integrálů racionálních funkcí ∫ A d X = A X + C { displaystyle int a , dx = sekera + C} Následující funkce má neintegrovatelnou singularitu na 0 pro A ≤ −1 :
∫ X n d X = X n + 1 n + 1 + C (pro n ≠ − 1 ) { displaystyle int x ^ {n} , dx = { frac {x ^ {n + 1}} {n + 1}} + C qquad { text {(pro}} n neq -1 { ext{)}}} (Cavalieriho kvadraturní vzorec ) ∫ ( A X + b ) n d X = ( A X + b ) n + 1 A ( n + 1 ) + C (pro n ≠ − 1 ) { displaystyle int (sekera + b) ^ {n} , dx = { frac {(sekera + b) ^ {n + 1}} {a (n + 1)}} + C qquad { text {(pro}} n neq -1 { text {)}}} ∫ 1 X d X = ln | X | + C { displaystyle int {1 nad x} , dx = ln vlevo | x vpravo | + C} Obecněji,[1] ∫ 1 X d X = { ln | X | + C − X < 0 ln | X | + C + X > 0 { displaystyle int {1 nad x} , dx = { začátek {případy} ln levý | x pravý | + C ^ {-} & x <0 ln levý | x pravý | + C ^ {+} a x> 0 end {cases}}} ∫ C A X + b d X = C A ln | A X + b | + C { displaystyle int { frac {c} {sekera + b}} , dx = { frac {c} {a}} ln doleva | ax + b doprava | + C} Exponenciální funkce Další integrály: Seznam integrálů exponenciálních funkcí ∫ E A X d X = 1 A E A X + C { displaystyle int e ^ {ax} , dx = { frac {1} {a}} e ^ {ax} + C} ∫ F ′ ( X ) E F ( X ) d X = E F ( X ) + C { displaystyle int f '(x) e ^ {f (x)} , dx = e ^ {f (x)} + C} ∫ A X d X = A X ln A + C { displaystyle int a ^ {x} , dx = { frac {a ^ {x}} { ln a}} + C} Logaritmy Další integrály: Seznam integrálů logaritmických funkcí ∫ ln X d X = X ln X − X + C { displaystyle int ln x , dx = x ln x-x + C} ∫ log A X d X = X log A X − X ln A + C = X ln X − X ln A + C { displaystyle int log _ {a} x , dx = x log _ {a} x - { frac {x} { ln a}} + C = { frac {x ln xx} { ln a}} + C} Trigonometrické funkce Další integrály: Seznam integrálů trigonometrických funkcí ∫ hřích X d X = − cos X + C { displaystyle int sin {x} , dx = - cos {x} + C} ∫ cos X d X = hřích X + C { displaystyle int cos {x} , dx = sin {x} + C} ∫ opálení X d X = − ln | cos X | + C = ln | sek X | + C { displaystyle int tan {x} , dx = - ln { vlevo | cos {x} vpravo |} + C = ln { vlevo | sec {x} vpravo |} + C } ∫ dětská postýlka X d X = ln | hřích X | + C { displaystyle int cot {x} , dx = ln { left | sin {x} right |} + C} ∫ sek X d X = ln | sek X + opálení X | + C = ln | opálení ( θ 2 + π 4 ) | + C { displaystyle int sec {x} , dx = ln { left | sec {x} + tan {x} right |} + C = ln left | tan left ({ dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi} {4}} vpravo) vpravo | + C} (Vidět Integrace sekanční funkce . Tento výsledek byl známou domněnkou v 17. století.) ∫ csc X d X = − ln | csc X + dětská postýlka X | + C = ln | csc X − dětská postýlka X | + C = ln | opálení X 2 | + C { displaystyle int csc {x} , dx = - ln { left | csc {x} + cot {x} right |} + C = ln { left | csc {x} - cot {x} right |} + C = ln { left | tan { frac {x} {2}} right |} + C} ∫ sek 2 X d X = opálení X + C { displaystyle int sec ^ {2} x , dx = tan x + C} ∫ csc 2 X d X = − dětská postýlka X + C { displaystyle int csc ^ {2} x , dx = - dětská postýlka x + C} ∫ sek X opálení X d X = sek X + C { displaystyle int sec {x} , tan {x} , dx = sec {x} + C} ∫ csc X dětská postýlka X d X = − csc X + C { displaystyle int csc {x} , postýlka {x} , dx = - csc {x} + C} ∫ hřích 2 X d X = 1 2 ( X − hřích 2 X 2 ) + C = 1 2 ( X − hřích X cos X ) + C { displaystyle int sin ^ {2} x , dx = { frac {1} {2}} vlevo (x - { frac { sin 2x} {2}} vpravo) + C = { frac {1} {2}} (x- sin x cos x) + C} ∫ cos 2 X d X = 1 2 ( X + hřích 2 X 2 ) + C = 1 2 ( X + hřích X cos X ) + C { displaystyle int cos ^ {2} x , dx = { frac {1} {2}} vlevo (x + { frac { sin 2x} {2}} vpravo) + C = { frac {1} {2}} (x + sin x cos x) + C} ∫ opálení 2 X d X = opálení X − X + C { displaystyle int tan ^ {2} x , dx = tan x-x + C} ∫ dětská postýlka 2 X d X = − dětská postýlka X − X + C { displaystyle int postýlka ^ {2} x , dx = - postýlka x-x + C} ∫ sek 3 X d X = 1 2 ( sek X opálení X + ln | sek X + opálení X | ) + C { displaystyle int sec ^ {3} x , dx = { frac {1} {2}} ( sec x tan x + ln | sec x + tan x |) + C} (Vidět integrál secantu na kostky .) ∫ csc 3 X d X = 1 2 ( − csc X dětská postýlka X + ln | csc X − dětská postýlka X | ) + C = 1 2 ( ln | opálení X 2 | − csc X dětská postýlka X ) + C { displaystyle int csc ^ {3} x , dx = { frac {1} {2}} (- csc x cot x + ln | csc x- cot x |) + C = { frac {1} {2}} left ( ln left | tan { frac {x} {2}} right | - csc x cot x right) + C} ∫ hřích n X d X = − hřích n − 1 X cos X n + n − 1 n ∫ hřích n − 2 X d X { displaystyle int sin ^ {n} x , dx = - { frac { sin ^ {n-1} {x} cos {x}} {n}} + { frac {n-1 } {n}} int sin ^ {n-2} {x} , dx} ∫ cos n X d X = cos n − 1 X hřích X n + n − 1 n ∫ cos n − 2 X d X { displaystyle int cos ^ {n} x , dx = { frac { cos ^ {n-1} {x} sin {x}} {n}} + { frac {n-1} {n}} int cos ^ {n-2} {x} , dx} Inverzní trigonometrické funkce Další integrály: Seznam integrálů inverzních trigonometrických funkcí ∫ arcsin X d X = X arcsin X + 1 − X 2 + C , pro | X | ≤ + 1 { displaystyle int arcsin {x} , dx = x arcsin {x} + { sqrt {1-x ^ {2}}} + C, { text {pro}} vert x vert leq +1} ∫ arccos X d X = X arccos X − 1 − X 2 + C , pro | X | ≤ + 1 { displaystyle int arccos {x} , dx = x arccos {x} - { sqrt {1-x ^ {2}}} + C, { text {pro}} vert x vert leq +1} ∫ arktan X d X = X arktan X − 1 2 ln | 1 + X 2 | + C , pro všechny skutečné X { displaystyle int arctan {x} , dx = x arctan {x} - { frac {1} {2}} ln { vert 1 + x ^ {2} vert} + C, { text {pro všechny skutečné}} x} ∫ arccot X d X = X arccot X + 1 2 ln | 1 + X 2 | + C , pro všechny skutečné X { displaystyle int operatorname {arccot} {x} , dx = x operatorname {arccot} {x} + { frac {1} {2}} ln { vert 1 + x ^ {2} vert} + C, { text {pro všechny skutečné}} x} ∫ arcsec X d X = X arcsec X − ln | X ( 1 + 1 − X − 2 ) | + C , pro | X | ≥ 1 { displaystyle int operatorname {arcsec} {x} , dx = x operatorname {arcsec} {x} - ln left vert x , left (1 + { sqrt {1-x ^ { -2}}} , right) right vert + C, { text {for}} vert x vert geq 1} ∫ arccsc X d X = X arccsc X + ln | X ( 1 + 1 − X − 2 ) | + C , pro | X | ≥ 1 { displaystyle int operatorname {arccsc} {x} , dx = x operatorname {arccsc} {x} + ln left vert x , left (1 + { sqrt {1-x ^ { -2}}} , right) right vert + C, { text {for}} vert x vert geq 1} Hyperbolické funkce Další integrály: Seznam integrálů hyperbolických funkcí ∫ sinh X d X = hovno X + C { displaystyle int sinh x , dx = cosh x + C} ∫ hovno X d X = sinh X + C { displaystyle int cosh x , dx = sinh x + C} ∫ tanh X d X = ln ( hovno X ) + C { displaystyle int tanh x , dx = ln , ( cosh x) + C} ∫ coth X d X = ln | sinh X | + C , pro X ≠ 0 { displaystyle int coth x , dx = ln | sinh x | + C, { text {pro}} x neq 0} ∫ sech X d X = arktan ( sinh X ) + C { displaystyle int operatorname {sech} , x , dx = arctan , ( sinh x) + C} ∫ csch X d X = ln | tanh X 2 | + C , pro X ≠ 0 { displaystyle int operatorname {csch} , x , dx = ln vlevo | tanh {x nad 2} vpravo | + C, { text {pro}} x neq 0} Inverzní hyperbolické funkce Další integrály: Seznam integrálů inverzních hyperbolických funkcí ∫ arsinh X d X = X arsinh X − X 2 + 1 + C , pro všechny skutečné X { displaystyle int operatorname {arsinh} , x , dx = x , operatorname {arsinh} , x - { sqrt {x ^ {2} +1}} + C, { text {pro všechny skutečné}} x} ∫ arcosh X d X = X arcosh X − X 2 − 1 + C , pro X ≥ 1 { displaystyle int operatorname {arcosh} , x , dx = x , operatorname {arcosh} , x - { sqrt {x ^ {2} -1}} + C, { text {pro }} x geq 1} ∫ artanh X d X = X artanh X + ln ( 1 − X 2 ) 2 + C , pro | X | < 1 { displaystyle int operatorname {artanh} , x , dx = x , operatorname {artanh} , x + { frac { ln left (, 1-x ^ {2} right)} {2}} + C, { text {pro}} vert x vert <1} ∫ arcoth X d X = X arcoth X + ln ( X 2 − 1 ) 2 + C , pro | X | > 1 { displaystyle int operatorname {arcoth} , x , dx = x , operatorname {arcoth} , x + { frac { ln left (x ^ {2} -1 right)} {2 }} + C, { text {pro}} vert x vert> 1} ∫ arsech X d X = X arsech X + arcsin X + C , pro 0 < X ≤ 1 { displaystyle int operatorname {arsech} , x , dx = x , operatorname {arsech} , x + arcsin x + C, { text {pro}} 0 ∫ arcsch X d X = X arcsch X + | arsinh X | + C , pro X ≠ 0 { displaystyle int operatorname {arcsch} , x , dx = x , operatorname {arcsch} , x + vert operatorname {arsinh} , x vert + C, { text {pro}} x neq 0} Produkty funkcí úměrné jejich druhým derivacím ∫ cos A X E b X d X = E b X A 2 + b 2 ( A hřích A X + b cos A X ) + C { displaystyle int cos sekera , e ^ {bx} , dx = { frac {e ^ {bx}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} vlevo (sekera + b cos ax right) + C} ∫ hřích A X E b X d X = E b X A 2 + b 2 ( b hřích A X − A cos A X ) + C { displaystyle int sin ax , e ^ {bx} , dx = { frac {e ^ {bx}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} vlevo (b sin ax -a cos ax right) + C} ∫ cos A X hovno b X d X = 1 A 2 + b 2 ( A hřích A X hovno b X + b cos A X sinh b X ) + C { displaystyle int cos ax , cosh bx , dx = { frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2}}} vlevo (a sin ax , cosh bx + b cos ax , sinh bx right) + C} ∫ hřích A X hovno b X d X = 1 A 2 + b 2 ( b hřích A X sinh b X − A cos A X hovno b X ) + C { displaystyle int sin ax , cosh bx , dx = { frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2}}} vlevo (b sin ax , sinh bx- a cos ax , cosh bx right) + C} Funkce absolutní hodnoty Nechat F být funkcí, která má nejvýše jeden kořen v každém intervalu, ve kterém je definována, a G antiderivát F to je nula u každého kořene F (takováto primitivní funkce existuje tehdy a jen tehdy, pokud je splněna podmínka F je tedy spokojen)
∫ | F ( X ) | d X = sgn ( F ( X ) ) G ( X ) + C , { Displaystyle int left | f (x) right | , dx = operatorname {sgn} (f (x)) g (x) + C,} kde sgn (X ) je znaková funkce , který přebírá hodnoty −1, 0, 1 když X je záporná, nulová nebo kladná. To dává následující vzorce (kde A ≠ 0 ):
∫ | ( A X + b ) n | d X = sgn ( A X + b ) ( A X + b ) n + 1 A ( n + 1 ) + C [ n je liché a n ≠ − 1 ] . { displaystyle int left | (ax + b) ^ {n} right | , dx = operatorname {sgn} (ax + b) {(ax + b) ^ {n + 1} nad a ( n + 1)} + C quad [, n { text {je liché a}} n neq -1 ,] ,.} ∫ | opálení A X | d X = − 1 A sgn ( opálení A X ) ln ( | cos A X | ) + C { displaystyle int left | tan {ax} right | , dx = - { frac {1} {a}} operatorname {sgn} ( tan {ax}) ln ( left | cos {ax} vpravo |) + C} když A X ∈ ( n π − π 2 , n π + π 2 ) { displaystyle ax in left (n pi - { frac { pi} {2}}, n pi + { frac { pi} {2}} vpravo)} pro celé číslo n .
∫ | csc A X | d X = − 1 A sgn ( csc A X ) ln ( | csc A X + dětská postýlka A X | ) + C { displaystyle int left | csc {ax} right | , dx = - { frac {1} {a}} operatorname {sgn} ( csc {ax}) ln ( left | csc {ax} + cot {ax} vpravo |) + C} když A X ∈ ( n π , n π + π ) { displaystyle ax in left (n pi, n pi + pi right)} pro celé číslo n .
∫ | sek A X | d X = 1 A sgn ( sek A X ) ln ( | sek A X + opálení A X | ) + C { displaystyle int left | sec {ax} right | , dx = { frac {1} {a}} operatorname {sgn} ( sec {ax}) ln ( left | sec {ax} + tan {ax} vpravo |) + C} když A X ∈ ( n π − π 2 , n π + π 2 ) { displaystyle ax in left (n pi - { frac { pi} {2}}, n pi + { frac { pi} {2}} vpravo)} pro celé číslo n .
∫ | dětská postýlka A X | d X = 1 A sgn ( dětská postýlka A X ) ln ( | hřích A X | ) + C { displaystyle int left | cot {ax} right | , dx = { frac {1} {a}} operatorname {sgn} ( cot {ax}) ln ( left | sin {ax} vpravo |) + C} když A X ∈ ( n π , n π + π ) { displaystyle ax in left (n pi, n pi + pi right)} pro celé číslo n .
Pokud je funkce F nemá žádné spojité primitivní funkce, které nabývají nulové hodnoty v nule F (toto je případ funkcí sinus a kosinus) sgn (F (X )) ∫ F (X ) dx je primitivní funkcí F na každém interval na kterých F není nula, ale může být přerušovaná v místech, kde F (X ) = 0 . K tomu, abychom měli kontinuální primitivní funkci, je třeba přidat dobře zvolený kroková funkce . Použijeme-li také skutečnost, že absolutní hodnoty sinu a kosinu jsou periodické s periodou π , pak dostaneme:
∫ | hřích A X | d X = 2 A ⌊ A X π ⌋ − 1 A cos ( A X − ⌊ A X π ⌋ π ) + C { displaystyle int left | sin {ax} right | , dx = {2 over a} left lfloor { frac {ax} { pi}} right rfloor - {1 over a} cos { left (ax- left lfloor { frac {ax} { pi}} right rfloor pi right)} + C} [Citace je zapotřebí ] ∫ | cos A X | d X = 2 A ⌊ A X π + 1 2 ⌋ + 1 A hřích ( A X − ⌊ A X π + 1 2 ⌋ π ) + C { displaystyle int left | cos {ax} right | , dx = {2 over a} left lfloor { frac {ax} { pi}} + { frac {1} {2 }} right rfloor + {1 over a} sin { left (ax- left lfloor { frac {ax} { pi}} + { frac {1} {2}} right rfloor pi right)} + C} [Citace je zapotřebí ] Speciální funkce Ci, Si: Trigonometrické integrály , Ei: Exponenciální integrál , li: Logaritmická integrální funkce , erf: Chybová funkce
∫ Ci ( X ) d X = X Ci ( X ) − hřích X { displaystyle int operatorname {Ci} (x) , dx = x operatorname {Ci} (x) - sin x} ∫ Si ( X ) d X = X Si ( X ) + cos X { displaystyle int operatorname {Si} (x) , dx = x operatorname {Si} (x) + cos x} ∫ Ei ( X ) d X = X Ei ( X ) − E X { displaystyle int operatorname {Ei} (x) , dx = x operatorname {Ei} (x) -e ^ {x}} ∫ li ( X ) d X = X li ( X ) − Ei ( 2 ln X ) { displaystyle int operatorname {li} (x) , dx = x operatorname {li} (x) - operatorname {Ei} (2 ln x)} ∫ li ( X ) X d X = ln X li ( X ) − X { displaystyle int { frac { operatorname {li} (x)} {x}} , dx = ln x , operatorname {li} (x) -x} ∫ erf ( X ) d X = E − X 2 π + X erf ( X ) { displaystyle int operatorname {erf} (x) , dx = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} { sqrt { pi}}} + x operatorname {erf} (x )} Určité integrály postrádající uzavřená forma primitiv Existují některé funkce, jejichž primitivní funkce nemůže být vyjádřena v uzavřená forma . Lze však vypočítat hodnoty určitých integrálů některých z těchto funkcí v některých běžných intervalech. Níže je uvedeno několik užitečných integrálů.
∫ 0 ∞ X E − X d X = 1 2 π { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { sqrt {x}} , e ^ {- x} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { pi} }} (viz také Funkce gama ) ∫ 0 ∞ E − A X 2 d X = 1 2 π A { displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {a }}}} pro A > 0 (dále jen Gaussův integrál ) ∫ 0 ∞ X 2 E − A X 2 d X = 1 4 π A 3 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} {x ^ {2} e ^ {- ax ^ {2}} , dx} = { frac {1} {4}} { sqrt { frac { pi} {a ^ {3}}}}} pro A > 0 ∫ 0 ∞ X 2 n E − A X 2 d X = 2 n − 1 2 A ∫ 0 ∞ X 2 ( n − 1 ) E − A X 2 d X = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n + 1 π A 2 n + 1 = ( 2 n ) ! n ! 2 2 n + 1 π A 2 n + 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2n} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {2n-1} {2a}} int _ {0 } ^ { infty} x ^ {2 (n-1)} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n + 1} }} { sqrt { frac { pi} {a ^ {2n + 1}}}} = { frac {(2n)!} {n! 2 ^ {2n + 1}}} { sqrt { frac { pi} {a ^ {2n + 1}}}}} pro A > 0 , n je kladné celé číslo a !! je dvojitý faktoriál . ∫ 0 ∞ X 3 E − A X 2 d X = 1 2 A 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} {x ^ {3} e ^ {- ax ^ {2}} , dx} = { frac {1} {2a ^ {2}}}} když A > 0 ∫ 0 ∞ X 2 n + 1 E − A X 2 d X = n A ∫ 0 ∞ X 2 n − 1 E − A X 2 d X = n ! 2 A n + 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2n + 1} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {n} {a}} int _ {0 } ^ { infty} x ^ {2n-1} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {n!} {2a ^ {n + 1}}}} pro A > 0 , n = 0, 1, 2, .... ∫ 0 ∞ X E X − 1 d X = π 2 6 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x} {e ^ {x} -1}} , dx = { frac { pi ^ {2}} {6}}} (viz také Bernoulliho číslo ) ∫ 0 ∞ X 2 E X − 1 d X = 2 ζ ( 3 ) ≈ 2.40 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2}} {e ^ {x} -1}} , dx = 2 zeta (3) přibližně 2,40} ∫ 0 ∞ X 3 E X − 1 d X = π 4 15 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {3}} {e ^ {x} -1}} , dx = { frac { pi ^ {4}} { 15}}} ∫ 0 ∞ hřích X X d X = π 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin {x}} {x}} , dx = { frac { pi} {2}}} (vidět funkce sinc a Dirichletův integrál ) ∫ 0 ∞ hřích 2 X X 2 d X = π 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin ^ {2} {x}} {x ^ {2}}} , dx = { frac { pi} {2} }} ∫ 0 π 2 hřích n X d X = ∫ 0 π 2 cos n X d X = ( n − 1 ) ! ! n ! ! × { 1 -li n je zvláštní π 2 -li n je sudý. { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {n} x , dx = { frac {(n-1) !!} {n !!}} krát { begin {cases} 1 & { text {if}} n { text { je liché}} { frac { pi} {2}} & { text {if}} n { text {je sudý.}} end {případy}}} (li n je kladné celé číslo a !! je dvojitý faktoriál ). ∫ − π π cos ( α X ) cos n ( β X ) d X = { 2 π 2 n ( n m ) | α | = | β ( 2 m − n ) | 0 v opačném případě { displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} cos ( alpha x) cos ^ {n} ( beta x) dx = { begin {případů} { frac {2 pi} {2 ^ {n}}} { binom {n} {m}} & | alpha | = | beta (2m-n) | 0 & { text {jinak}} end {případy}}} (pro α , β , m , n celá čísla s β ≠ 0 a m , n ≥ 0 , viz také Binomický koeficient ) ∫ − t t hřích m ( α X ) cos n ( β X ) d X = 0 { displaystyle int _ {- t} ^ {t} sin ^ {m} ( alpha x) cos ^ {n} ( beta x) dx = 0} (pro α , β nemovitý, n nezáporné celé číslo a m liché, kladné celé číslo; protože integrand je zvláštní ) ∫ − π π hřích ( α X ) hřích n ( β X ) d X = { ( − 1 ) ( n + 1 2 ) ( − 1 ) m 2 π 2 n ( n m ) n zvláštní , α = β ( 2 m − n ) 0 v opačném případě { displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} sin ( alpha x) sin ^ {n} ( beta x) dx = { begin {cases} (- 1) ^ { left ({ frac {n + 1} {2}} right)} (- 1) ^ {m} { frac {2 pi} {2 ^ {n}}} { binom {n} {m} } & n { text {odd}}, alpha = beta (2m-n) 0 & { text {jinak}} end {případy}}} (pro α , β , m , n celá čísla s β ≠ 0 a m , n ≥ 0 , viz také Binomický koeficient ) ∫ − π π cos ( α X ) hřích n ( β X ) d X = { ( − 1 ) ( n 2 ) ( − 1 ) m 2 π 2 n ( n m ) n dokonce , | α | = | β ( 2 m − n ) | 0 v opačném případě { displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} cos ( alpha x) sin ^ {n} ( beta x) dx = { begin {cases} (- 1) ^ { left ({ frac {n} {2}} right)} (- 1) ^ {m} { frac {2 pi} {2 ^ {n}}} { binom {n} {m}} & n { text {even}}, | alpha | = | beta (2m-n) | 0 & { text {jinak}} end {případy}}} (pro α , β , m , n celá čísla s β ≠ 0 a m , n ≥ 0 , viz také Binomický koeficient ) ∫ − ∞ ∞ E − ( A X 2 + b X + C ) d X = π A exp [ b 2 − 4 A C 4 A ] { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- (ax ^ {2} + bx + c)} , dx = { sqrt { frac { pi} {a}} } exp left [{ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}} right]} (kde exp [u ] je exponenciální funkce Eu , a A > 0 ) ∫ 0 ∞ X z − 1 E − X d X = Γ ( z ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {z-1} , e ^ {- x} , dx = gama (z)} (kde Γ ( z ) { Displaystyle Gamma (z)} je Funkce gama ) ∫ 0 1 ( ln 1 X ) p d X = Γ ( p + 1 ) { displaystyle int _ {0} ^ {1} vlevo ( ln { frac {1} {x}} vpravo) ^ {p} , dx = gama (p + 1)} ∫ 0 1 X α − 1 ( 1 − X ) β − 1 d X = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) { displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ { alpha -1} (1-x) ^ { beta -1} dx = { frac { gama ( alfa) gama ( beta )} { Gamma ( alpha + beta)}}} (pro Re(α ) > 0 a Re(β ) > 0 viz Funkce Beta ) ∫ 0 2 π E X cos θ d θ = 2 π Já 0 ( X ) { displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {x cos theta} d theta = 2 pi I_ {0} (x)} (kde Já 0 (X ) je upravený Besselova funkce prvního druhu) ∫ 0 2 π E X cos θ + y hřích θ d θ = 2 π Já 0 ( X 2 + y 2 ) { displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {x cos theta + y sin theta} d theta = 2 pi I_ {0} left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} vpravo)} ∫ − ∞ ∞ ( 1 + X 2 ν ) − ν + 1 2 d X = ν π Γ ( ν 2 ) Γ ( ν + 1 2 ) { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} vlevo (1 + { frac {x ^ {2}} { nu}} vpravo) ^ {- { frac { nu +1 } {2}}} , dx = { frac {{ sqrt { nu pi}} Gamma left ({ frac { nu} {2}} right)} { Gamma left ({ frac { nu +1} {2}} vpravo)}}} (pro ν > 0 , to souvisí s funkce hustoty pravděpodobnosti z Studentské t -rozdělení )Pokud je funkce F má ohraničená variace na intervalu [A ,b ] , pak způsob vyčerpání poskytuje vzorec pro integrál:
∫ A b F ( X ) d X = ( b − A ) ∑ n = 1 ∞ ∑ m = 1 2 n − 1 ( − 1 ) m + 1 2 − n F ( A + m ( b − A ) 2 − n ) . { displaystyle int _ {a} ^ {b} {f (x) , dx} = (ba) součet limity _ {n = 1} ^ { infty} { součet limity _ {m = 1} ^ {2 ^ {n} -1} { left ({- 1} right) ^ {m + 1}}} 2 ^ {- n} f (a + m left ({ba} right ) 2 ^ {- n}).} „sen druháka ":
∫ 0 1 X − X d X = ∑ n = 1 ∞ n − n ( = 1.29128 59970 6266 … ) ∫ 0 1 X X d X = − ∑ n = 1 ∞ ( − n ) − n ( = 0.78343 05107 1213 … ) { displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {1} x ^ {- x} , dx & = sum _ {n = 1} ^ { infty} n ^ {- n} && ( = 1,29128 , 59970 , 6266 tečky) [6pt] int _ {0} ^ {1} x ^ {x} , dx & = - sum _ {n = 1} ^ { infty} ( -n) ^ {- n} && (= 0,78343 , 05107 , 1213 tečky) end {zarovnáno}}} přičítáno Johann Bernoulli .
Viz také Reference Další čtení Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [červen 1964]. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami . Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . PAN 0167642 . LCCN 65-12253 .Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik (v němčině). 1 . Přeložil Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23. vyd.). Thun a Frankfurt nad Mohanem: Verlag Harri Deutsch (a B. G. Teubner Verlagsgesellschaft , Lipsko). ISBN 3-87144-492-8 . Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Jurij Veniaminovič ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [říjen 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabulka integrálů, sérií a produktů . Přeložil Scripta Technica, Inc. (8. vydání). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 . (Několik předchozích vydání také.)Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович) ; Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.); Marichev, Oleg Igorevich (Маричев, Олег Игоревич) (1988–1992) [1981–1986 (rusky)]. Integrály a řady . 1–5 . Přeložil Queen, N. M. (1. vyd.). (Nauka ) Gordon & Breach Science Publishers /CRC Press . ISBN 2-88124-097-6 . . Druhé přepracované vydání (v ruštině), svazek 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.Yuri A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Příručka speciálních funkcí: Deriváty, integrály, řady a další vzorce . Ruské vydání, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. Anglické vydání, Chapman & Hall / CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X / 9781584889564. Daniel Zwillinger. Standardní matematické tabulky a vzorce CRC , 31. vydání. Chapman & Hall / CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Mnoho starších vydání také.) Meyer Hirsch [de ] , Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)Meyer Hirsch [de ] , Integrální tabulky nebo kolekce integrálních vzorců (Baynes a syn, Londýn, 1823) [anglický překlad Integraltafeln ]David Bierens de Haan , Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)Benjamin O. Pierce Krátká tabulka integrálů - přepracované vydání (Ginn & co., Boston, 1899) externí odkazy Tabulky integrálů Odvození Služba online Programy s otevřeným zdrojovým kódem