Pyramida (geometrie) - Pyramid (geometry)

Pravé pyramidy na pravidelném základě

Conwayova mnohostěnová notace	Yn
Schläfliho symbol	( ) ∨ {n}
Tváře	n trojúhelníky, 1 n-gon
Hrany	2n
Vrcholy	n + 1
Skupina symetrie	C_nproti, [1,n], (*nn), objednávka 2n
Rotační skupina	C_n, [1,n]⁺, (nn), objednat n
Duální mnohostěn	Self-dual
Vlastnosti	konvexní

1-kostra pyramidy je a graf kola

v geometrie, a pyramida je mnohostěn vytvořený připojením a polygonální základna a bod zvaný vrchol. Každá základní hrana a vrchol tvoří trojúhelník, který se nazývá a boční obličej. Je to kuželovitá pevná látka s polygonální základnou. Pyramida s n-stranný podstavec má n + 1 vrcholy, n + 1 tváře a 2n hrany. Všechny pyramidy jsou self-dual.

A pravá pyramida má svůj vrchol přímo nad těžiště jeho základny. Nazývají se nelegální pyramidy šikmé pyramidy. A pravidelná pyramida má pravidelný mnohoúhelník základna a obvykle se předpokládá, že je pravá pyramida.^[1]^[2]

Pokud není uvedeno, pyramida se obvykle považuje za a pravidelný čtvercová pyramida jako fyzické pyramida struktur. A trojúhelník pyramida na bázi se častěji nazývá a čtyřstěn.

Mezi šikmými pyramidami, jako ostré a tupé trojúhelníky lze nazvat pyramidu akutní pokud je jeho vrchol nad vnitřkem základny a tupý pokud je jeho vrchol nad vnějškem základny. A pravoúhlá pyramida má svůj vrchol nad hranou nebo vrcholem základny. V čtyřstěnu se tyto kvalifikace mění podle toho, která tvář je považována za základ.

Pyramidy jsou třídou prizmatoidy. Pyramidy lze zdvojnásobit bipyramidy přidáním druhého odsazeného bodu na druhou stranu základní roviny.

Pravé pyramidy s pravidelnou základnou

Pravá pyramida s pravidelnou základnou má strany rovnoramenného trojúhelníku, se symetrií je C_nproti nebo [1,n], s objednávkou 2n. Může to být prodlouženo Schläfliho symbol ( ) ∨ {n}, představující bod, (), spojený (ortogonálně odsazený) k a pravidelný mnohoúhelník, {n}. Operace spojení vytvoří nový okraj mezi všemi dvojicemi vrcholů dvou spojených obrazců.^[3]

The trigonální nebo trojúhelníková pyramida se vším rovnostranný trojúhelník tváře se stávají pravidelný čtyřstěn, jeden z Platonické pevné látky. Případ nižší symetrie trojúhelníková pyramida je C._3v, který má rovnostranný trojúhelníkový základ a 3 stejné rovnoramenné trojúhelníkové strany. Čtvercové a pětiúhelníkové pyramidy mohou být také složeny z pravidelných konvexních mnohoúhelníků, v takovém případě jsou Johnson pevné látky.

Pokud jsou všechny hrany čtvercové pyramidy (nebo jakéhokoli konvexního mnohostěnu) tečna do a koule takže průměrná poloha tangenciálních bodů je ve středu koule, pak se říká, že pyramida je kanonický, a tvoří polovinu běžné osmistěn.

Pyramidy se šestiúhelníkem nebo vyšší základnou musí být složeny z rovnoramenných trojúhelníků. Šestiúhelníková pyramida s rovnostrannými trojúhelníky by byla zcela plochá postava a sedmiúhelník nebo vyšší by trojúhelníky vůbec nesplňovaly.

Pravidelné pyramidy
Digonal	Trojúhelníkový	Náměstí	Pětiúhelníkový	Šestihranný	Heptagonal	Osmiúhelníkový	Enneagonal	Decagonal ...
Nevhodný	Pravidelný	Rovnostranný		Rovnoramenný

Pravé hvězdné pyramidy

Pravé pyramidy s pravidelný hvězdný polygon základny se nazývají hvězdné pyramidy.^[4] Například pentagramová pyramida má a pentagram základna a 5 protínajících se stran trojúhelníku.

Pravé pyramidy s nepravidelnou základnou

Příklad obecné pravé pyramidy s vrcholem nad těžištěm základního mnohoúhelníku

A pravá pyramida lze pojmenovat jako () ∨P, kde () je vrcholový bod, ∨ je operátor spojení a P je základní polygon.

An rovnoramenný trojúhelník pravý čtyřstěn lze zapsat jako () ∨ [() ∨ {}] jako spojení bodu s rovnoramenný trojúhelník základna, jako [() ∨ ()] ∨ {} nebo {} ∨ {} jako spojení (ortogonální posuny) dvou ortogonálních segmentů, a digonal disphenoid, obsahující 4 rovnoramenné trojúhelníkové plochy. Má C._1v symetrie ze dvou různých orientací základna-vrchol, a C_2v v plné symetrii.

A obdélníkový pravá pyramida, psané jako () ∨ [{} × {}] a a kosočtverečný pyramida, as () ∨ [{} + {}], oba mají symetrii C_2v.

Pravé pyramidy
Obdélníková pyramida	Kosočtverečná pyramida

Objem

The objem pyramidy (také jakýkoli kužel) je ${ displaystyle V = { tfrac {1} {3}} bh}$ , kde b je plocha základny a h výška od základny k vrcholu. Toto funguje pro libovolný mnohoúhelník, běžný i nepravidelný a pro jakékoli umístění vrcholu, za předpokladu, že h se měří jako kolmý vzdálenost od letadlo obsahující základnu. V roce 499 n. L Aryabhata, a matematik -astronom z klasického věku Indická matematika a Indická astronomie, použil tuto metodu v Aryabhatiya (část 2.6).

Vzorec lze formálně dokázat pomocí kalkulu. Podobně lineární rozměry průřezu rovnoběžného se základnou se lineárně zvětšují od vrcholu k základně. Faktor měřítka (faktor proporcionality) je ${ displaystyle 1 - { tfrac {y} {h}}}$ nebo ${ displaystyle { tfrac {h-y} {h}}}$ , kde h je výška a y je kolmá vzdálenost od roviny základny k průřezu. Protože plocha libovolného průřezu je úměrný čtverci tvaru škálování faktor, plocha průřezu ve výšce y je ${ displaystyle b { tfrac {(h-y) ^ {2}} {h ^ {2}}}}$ , nebo od obou b a h jsou konstanty, ${ displaystyle { tfrac {b} {h ^ {2}}} (h-y) ^ {2}}$ . Objem je dán integrální

{ displaystyle { frac {b} {h ^ {2}}} int _ {0} ^ {h} (hy) ^ {2} , dy = { frac {-b} {3h ^ {2 }}} (hy) ^ {3} { bigg |} _ {0} ^ {h} = { tfrac {1} {3}} bh.}

Stejná rovnice, ${ displaystyle V = { tfrac {1} {3}} bh}$ , také drží na šišky s jakoukoli základnou. To lze dokázat argumentem podobným výše uvedenému; vidět objem kužele.

Například objem pyramidy, jejíž základna je n-stranný pravidelný mnohoúhelník s délkou strany s a jehož výška je h je

{ displaystyle V = { frac {n} {12}} hs ^ {2} cot { frac { pi} {n}}.}

Vzorec lze také odvodit přesně bez počtu pro pyramidy s obdélníkovými základnami. Zvažte kostku jednotky. Nakreslete čáry od středu krychle ke každému z 8 vrcholů. Toto rozdělí kostku na 6 stejných čtvercových pyramid o základní ploše 1 a výšce 1/2. Každá pyramida má jasně objem 1/6. Z toho odvodíme, že objem pyramidy = výška × základní plocha / 3.

Dále rozšiřte kostku rovnoměrně ve třech směrech o nestejné množství, aby výsledné obdélníkové plné hrany byly A, b a C, s pevným objemem abc. Každá ze 6 pyramid uvnitř je rovněž rozšířena. A každá pyramida má stejný objem abc/ 6. Protože páry pyramid mají výšky A/2, b/ 2 a C/ 2, vidíme, že objem pyramidy = výška × základní plocha / 3 znovu.

Když jsou boční trojúhelníky rovnostranné, vzorec pro objem je

{ displaystyle V = { frac {1} {12}} ns ^ {3} cot left ({ frac { pi} {n}} right) { sqrt {1 - { frac {1 } {4 sin ^ {2} { tfrac { pi} {n}}}}}}}

Tento vzorec platí pouze pro n = 2, 3, 4 a 5; a zahrnuje také případ n = 6, pro které je objem roven nule (tj. Výška pyramidy je nula).^{[Citace je zapotřebí ]}

Plocha povrchu

The plocha povrchu pyramidy je ${ displaystyle A = B + { tfrac {PL} {2}}}$ , kde B je základní plocha, P je základna obvod a šikmá výška ${ displaystyle L = { sqrt {h ^ {2} + r ^ {2}}}}$ , kde h je nadmořská výška pyramidy a r je inradius základny.

Těžiště

The těžiště pyramidy je umístěn na úsečce, která spojuje vrchol na těžiště základny. U pevné pyramidy je těžiště 1/4 vzdálenosti od základny k vrcholu.

n-dimenzionální pyramidy

2-dimenzionální pyramida je trojúhelník, tvořený základní hranou spojenou s nekolineárním bodem zvaným an vrchol.

4-dimenzionální pyramida se nazývá a polyedrická pyramida, postavený a mnohostěn v 3prostorové nadrovině 4prostoru s dalším bodem mimo tuto nadrovinu.

Podobně jsou konstruovány pyramidy vyšších dimenzí.

Rodina jednoduchosti představují pyramidy v jakékoli dimenzi, roste od trojúhelník, čtyřstěn, 5článková, 5-simplexní atd. N-rozměrný simplex má minimum n + 1 vrcholy, se všemi dvojicemi vrcholů spojených hrany, všechny trojice vrcholů definujících tváře, všechny čtyřnásobky bodů definující čtyřboký buňky, atd.

Polyhedrální pyramida

Ve 4-dimenzionálním geometrie, a polyedrická pyramida je 4-mnohostěn postavena základnou mnohostěn buňka a vrchol směřovat. Boční fazety jsou pyramidové buňky, z nichž každá je konstruována jednou stranou základního mnohostěnu a vrcholem. Vrcholy a hrany mnohostěnných pyramid tvoří příklady vrcholové grafy, grafy vytvořené přidáním jednoho vrcholu (vrchol) k a rovinný graf (graf základny).

Pravidelný 5článková (nebo 4-simplexní ) je příkladem a čtyřboká pyramida. Z jednotné mnohostěny s cirkadériemi menšími než 1 lze vytvořit mnohostěnné pyramidy s pravidelnými čtyřstěnnými stranami. Mnohostěn s proti vrcholy, E hrany a F tváře mohou být základem na mnohostěnné pyramidě s v + 1 vrcholy, e + v hrany, f + e tváře a 1 + f buňky.

4D polyedrická pyramida s axiální symetrií lze vizualizovat ve 3D pomocí a Schlegelův diagram — 3D projekce, která umístí vrchol do středu základního mnohostěnu.

Rovnostranné uniformní pyramidy na bázi mnohostěnů (Schlegelův diagram )
Symetrie	[1,1,4]	[1,2,3]	[1,3,3]	[1,4,3]		[1,5,3]
název	Čtvercová pyramidová pyramida	Pyramida trojúhelníkového hranolu	Čtyřboká pyramida	Kubická pyramida	Oktaedrická pyramida	Ikosahedrální pyramida
Segmentochora index^[5]	K4.4	K4.7	K4.1	K4.26.1	K4.3	K4,84
Výška	0.707107	0.790569	0.790569	0.500000	0.707107	0.309017
obraz (Základna)
Základna	Náměstí pyramida	Trojúhelníkový hranol	Čtyřstěn	Krychle	Octahedron	Dvacetistěnu

Lze rozdělit jakýkoli konvexní 4-polytop polyedrické pyramidy přidáním vnitřního bodu a vytvořením jedné pyramidy z každé fazety do středového bodu. To může být užitečné pro výpočet svazků.

4-dimenzionální objem polyhedrální pyramidy je 1/4 objemu základního mnohostěnu krát jeho kolmé výšky, ve srovnání s plochou trojúhelníku, která je 1/2 délky základny krát výšky a objem pyramidy je 1/3 plocha základny krát výška.

Viz také

Reference

^ William F. Kern, James R Bland,Solidní menurace s důkazy, 1938, s. 46
^ Kapesní kniha stavebních inženýrů: Příručka pro inženýry Archivováno 2018-02-25 na Wayback Machine
^ N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.3 Pyramidy, hranoly a antiprismy
^ Wenninger, Magnus J. (1974), Mnohostěnné modely, Cambridge University Press, str. 50, ISBN 978-0-521-09859-5, archivováno od originálu dne 2013-12-11.
^ Konvexní Segmentochora Archivováno 19. 04. 2014 na Wayback Machine Dr. Richard Klitzing, Symetrie: Kultura a věda, sv. 11, č. 1–4, 139–181, 2000

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Pyramida". MathWorld.

[1] William F. Kern, James R Bland,Solidní menurace s důkazy, 1938, s. 46

[2] Kapesní kniha stavebních inženýrů: Příručka pro inženýry Archivováno 2018-02-25 na Wayback Machine

[3] N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.3 Pyramidy, hranoly a antiprismy

[4] Wenninger, Magnus J. (1974), Mnohostěnné modely, Cambridge University Press, str. 50, ISBN 978-0-521-09859-5, archivováno od originálu dne 2013-12-11.

[Segmentochora-5] Konvexní Segmentochora Archivováno 19. 04. 2014 na Wayback Machine Dr. Richard Klitzing, Symetrie: Kultura a věda, sv. 11, č. 1–4, 139–181, 2000

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]