Dirichletův test - Dirichlets test - Wikipedia

v matematika, Dirichletův test je metoda testování pro konvergence a série. Je pojmenována po svém autorovi Peter Gustav Lejeune Dirichlet, a byl posmrtně publikován v Journal de Mathématiques Pures et Appliquées v roce 1862.^[1]

Prohlášení

Test uvádí, že pokud ${ displaystyle {a_ {n} }}$ je sekvence z reálná čísla a ${ displaystyle {b_ {n} }}$ posloupnost komplexní čísla uspokojující

• ${ displaystyle {a_ {n} }}$ je monotóní

• ${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0}$

• ${ displaystyle left | sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} vpravo | leq M}$ pro každé kladné celé číslo N

kde M je nějaká konstanta, pak řada

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} b_ {n}}$

konverguje.

Důkaz

Nechat ${ displaystyle S_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k}}$ a ${ displaystyle B_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} b_ {k}}$.

Z součet podle částí, máme to ${ displaystyle S_ {n} = a_ {n} B_ {n} + součet _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$. Od té doby ${ displaystyle B_ {n}}$ je ohraničen M a ${ displaystyle a_ {n} rightarrow 0}$, první z těchto pojmů se blíží nule, ${ displaystyle a_ {n} B_ {n} až 0}$ tak jako ${ displaystyle n to infty}$.

Máme pro každého k, ${ displaystyle | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) | leq M | a_ {k} -a_ {k + 1} |}$. Ale pokud ${ displaystyle {a_ {n} }}$ klesá,

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} -a_ {k + 1}) = M součet _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$,

což je teleskopická částka, to se rovná ${ displaystyle M (a_ {1} -a_ {n + 1})}$ a proto se blíží ${ displaystyle Ma_ {1}}$ tak jako ${ displaystyle n to infty}$. Tím pádem, ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})}$ konverguje. A pokud ${ displaystyle {a_ {n} }}$ stoupá,

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = - sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} - a_ {k + 1}) = - M suma _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$,

což je opět teleskopický součet, který se rovná ${ displaystyle -M (a_ {1} -a_ {n + 1})}$ a proto se blíží ${ displaystyle -Ma_ {1}}$ tak jako ${ displaystyle n to infty}$. Takže opět ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})}$ konverguje.

Tak, ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) |}$ konverguje také test přímého srovnání. Série ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$ konverguje také absolutní konvergence test. Proto ${ displaystyle S_ {n}}$ konverguje.

Aplikace

Zvláštní případ Dirichletova testu je běžněji používaný test střídavé řady pro případ

${ displaystyle b_ {n} = (- 1) ^ {n} Longrightarrow left | sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} right | leq 1.}$

Dalším důsledkem je to ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} sin n}$ konverguje kdykoli ${ displaystyle {a_ {n} }}$ je klesající sekvence, která má sklon k nule.

Nesprávné integrály

Analogický výrok pro konvergenci nesprávných integrálů je prokázán pomocí integrace po částech. Pokud je integrál funkce F je rovnoměrně ohraničen ve všech intervalech a G je monotónně klesající nezáporná funkce, pak integrál fg je konvergentní nesprávný integrál.

Poznámky

Reference

• Hardy, G. H., Kurz čisté matematiky„Deváté vydání, Cambridge University Press, 1946. (str. 379–380).
• Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13–15) ISBN  0-8247-6949-X.

externí odkazy

• Důkaz na PlanetMath.org