Produkt (matematika) - Product (mathematics)

Aritmetické operace

Přidání (+) ${displaystyle scriptstyle left. {egin {matrix} scriptstyle {ext {term}}, +, {ext {term}} scriptstyle {ext {summand}}, +, {ext {summand}} scriptstyle {ext {addend ( široký smysl)}}, +, {ext {addend (široký smysl)}} scriptstyle {ext {augend}}, +, {ext {addend (přísný smysl)}} konec {matrix}} ight}, =,}$ ${displaystyle scriptstyle {ext {sum}}}$ Odčítání (−) ${displaystyle scriptstyle left. {egin {matrix} scriptstyle {ext {term}}, -, {ext {term}} scriptstyle {ext {minuend}}, -, {ext {subtrahend}} end {matrix}} ight} , =,}$ ${displaystyle scriptstyle {ext {rozdíl}}}$ Násobení (×) ${displaystyle scriptstyle left. {egin {matrix} scriptstyle {ext {factor}}, imes, {ext {factor}} scriptstyle {ext {multiplier}}, imes, {ext {multiplicand}} end {matrix}} ight} , =,}$ ${displaystyle scriptstyle {ext {product}}}$ Divize (÷) ${displaystyle scriptstyle left. {egin {matrix} scriptstyle {frac {scriptstyle {ext {dividend}}} {scriptstyle {ext {divisor}}}} scriptstyle {ext {}} scriptstyle {frac {scriptstyle {ext {čitatel} }} {scriptstyle {ext {denominator}}}} end {matrix}} ight}, =,}$ ${displaystyle {egin {matrix} scriptstyle {ext {frakce}} scriptstyle {ext {kvóta}} scriptstyle {ext {ratio}} konec {matrix}}}$ Umocňování ${displaystyle scriptstyle {ext {base}} ^ {ext {exponent}}, =,}$ ${displaystyle scriptstyle {ext {síla}}}$ nth kořen (√) ${displaystyle scriptstyle {sqrt [{ext {stupeň}}] {scriptstyle {ext {radicand}}}}, =,}$ ${displaystyle scriptstyle {ext {root}}}$ Logaritmus (protokol) ${displaystyle scriptstyle log _ {ext {base}} ({ext {anti-logarithm}}), =,}$ ${displaystyle scriptstyle {ext {logaritmus}}}$

v matematika, a produkt je výsledkem násobení nebo výraz, který identifikuje faktory vynásobit. Například 30 je produktem 6 a 5 (výsledek násobení) a ${displaystyle xcdot (2 + x)}$ je produktem ${displaystyle x}$ a ${displaystyle (2 + x)}$ (což naznačuje, že tyto dva faktory by měly být vynásobeny společně).

Pořadí, ve kterém nemovitý nebo komplex čísla jsou znásobeno nemá vliv na výrobek; toto je známé jako komutativní právo násobení. Když matice nebo členové různých jiných asociativní algebry násobí, produkt obvykle závisí na pořadí faktorů. Násobení matic je například nekomutativní, stejně jako násobení v jiných algebrách obecně.

V matematice existuje mnoho různých druhů produktů: kromě toho, že můžeme znásobit jen čísla, polynomy nebo matice, můžeme také definovat produkty na mnoha různých algebraické struktury.

Produkt dvou čísel

Součin dvou přirozených čísel

3 x 4 je 12

Umístěním několika kamenů do obdélníkového vzoru s ${displaystyle r}$ řádky a ${displaystyle s}$ sloupce dává

${displaystyle rcdot s = součet _ {i = 1} ^ {s} r = podprsenka {r + r + cdots + r} _ {s {ext {times}}} = součet _ {j = 1} ^ {r} s = podprsenka {s + s + cdots + s} _ {r {ext {times}}}}$

kameny.

Produkt dvou celých čísel

Celá čísla umožňují kladná a záporná čísla. Jejich součin je určen součinem jejich kladných množství v kombinaci se znaménkem odvozeným z následujícího pravidla:

${displaystyle {egin {array} {| c | c c |} hline cdot & - & + hline - & + & - + & - & + hline end {array}}}$

(Toto pravidlo je nezbytným důsledkem náročnosti distribučnost násobení nad sčítáním a není další pravidlo.)

Slovy máme:

• Mínus časy Mínus dává Plus
• Minus times Plus dává Minus
• Plus krát Minus dává Minus
• Plus krát Plus dává Plus

Produkt dvou frakcí

Dvě zlomky lze vynásobit vynásobením jejich čitatelů a jmenovatelů:

${displaystyle {frac {z} {n}} cdot {frac {z '} {n'}} = {frac {zcdot z '} {ncdot n'}}}$

Součin dvou reálných čísel

Pro přísnou definici součinu dvou reálných čísel viz Konstrukce reálných čísel.

Vzorce

Součin dvou komplexních čísel

Dvě komplexní čísla lze vynásobit distribučním zákonem a skutečností, že ${displaystyle i ^ {2} = - 1}$, jak následuje:

${displaystyle {egin {zarovnáno} (a + b, i) cdot (c + d, i) & = acdot c + acdot d, i + bcdot c, i + bcdot dcdot i ^ {2} & = (acdot c -bcdot d) + (acdot d + bcdot c), iend {zarovnáno}}}$

Geometrický význam komplexního násobení

Komplexní číslo v polárních souřadnicích.

Mohou být zapsána komplexní čísla polární souřadnice:

${displaystyle a + b, i = rcdot (cos (varphi) + isin (varphi)) = rcdot e ^ {ivarphi}}$

Dále

${displaystyle c + d, i = scdot (cos (psi) + isin (psi)) = scdot e ^ {ipsi},}$

z nichž jeden získá

${displaystyle (acdot c-bcdot d) + (acdot d + bcdot c) i = rcdot scdot e ^ {i (varphi + psi)}.}$

Geometrický význam spočívá v tom, že se velikosti násobí a přidávají se argumenty.

Produkt dvou čtveřic

Produkt dvou čtveřice najdete v článku na čtveřice. V tomto případě si všimněte ${displaystyle acdot b}$ a ${displaystyle bcdot a}$ jsou obecně odlišné.

Produkt sekvencí

Provozovatel produktu pro produkt sekvence je označeno velkým řeckým písmenem pi ∏ (analogicky k použití kapitálu Sigma ∑ tak jako součet symbol).^[2][3] Například výraz ${displaystyle extstyle prod _ {i = 1} ^ {6} i ^ {2}}$je další způsob psaní ${displaystyle 1cdot 4cdot 9cdot 16cdot 25cdot 36}$.^[4]

Produkt sekvence skládající se pouze z jednoho čísla je právě toto číslo; produkt vůbec bez faktorů je známý jako prázdný produkt, a rovná se 1.

Komutativní prsteny

Komutativní prsteny mít provoz produktu.

Zbytkové třídy celých čísel

Třídy reziduí v kruzích ${displaystyle mathbb {Z} / Nmathbb {Z}}$ lze přidat:

${displaystyle (a + Nmathbb {Z}) + (b + Nmathbb {Z}) = a + b + Nmathbb {Z}}$

a znásobeno:

${displaystyle (a + Nmathbb {Z}) cdot (b + Nmathbb {Z}) = acdot b + Nmathbb {Z}}$

Konvoluce

Konvoluce čtvercové vlny sama o sobě dává trojúhelníkovou funkci

Dvě funkce od reálných k sobě samým lze znásobit jiným způsobem, který se nazývá konvoluce.

Li

${displaystyle int limits _ {- infty} ^ {infty} | f (t) |, mathrm {d} t$

pak integrál

${displaystyle (f * g) (t);: = int limity _ {- infty} ^ {infty} f (au) cdot g (t- au), mathrm {d} au}$

je dobře definován a nazývá se konvoluce.

Pod Fourierova transformace, konvoluce se stává bodovým množením funkcí.

Polynomiální kroužky

Součin dvou polynomů je dán následujícím:

${displaystyle left (sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} X ^ {i} ight) cdot left (sum _ {j = 0} ^ {m} b_ {j} X ^ {j} ight ) = součet _ {k = 0} ^ {n + m} c_ {k} X ^ {k}}$

s

${displaystyle c_ {k} = součet _ {i + j = k} a_ {i} cdot b_ {j}}$

Produkty v lineární algebře

V lineární algebře existuje mnoho různých druhů produktů. Některé z nich mají matoucí podobná jména (vnější produkt, vnější produkt ) s velmi odlišnými významy, zatímco jiné mají velmi odlišné názvy (vnější produkt, tenzorový produkt, produkt Kronecker) a přesto vyjadřují v podstatě stejnou myšlenku. Stručný přehled je uveden v následujících částech.

Skalární násobení

Podle samotné definice vektorového prostoru lze vytvořit produkt libovolného skaláru s libovolným vektorem, čímž získáme mapu ${displaystyle mathbb {R} imes Vightarrow V}$.

Skalární součin

A skalární součin je bi-lineární mapa:

${displaystyle cdot: V imes Vightarrow mathbb {R}}$

s následujícími podmínkami, že ${displaystyle vcdot v> 0}$ pro všechny ${displaystyle 0ot = vin V}$.

Ze skalárního součinu lze definovat a norma necháním ${displaystyle | v |: = {sqrt {vcdot v}}}$.

Skalární součin také umožňuje definovat úhel mezi dvěma vektory:

${displaystyle cos angle (v, w) = {frac {vcdot w} {| v | cdot | w |}}}$

v ${displaystyle n}$-dimenzionální euklidovský prostor, standardní skalární součin (nazývaný Tečkovaný produkt ) darováno:

${displaystyle left (sum _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i} e_ {i} ight) cdot left (sum _ {i = 1} ^ {n} eta _ {i} e_ {i} ight ) = součet _ {i = 1} ^ {n} alfa _ {i}, eta _ {i}}$

Křížový produkt v trojrozměrném prostoru

The křížový produkt dvou vektorů ve 3-dimenzích je vektor kolmý na dva faktory, s délkou rovnou ploše rovnoběžníku překlenuté těmito dvěma faktory.

Křížový produkt lze také vyjádřit jako formální^[A] určující:

${displaystyle mathbf {u imes v} = {egin {vmatrix} mathbf {i} & mathbf {j} & mathbf {k} u_ {1} & u_ {2} & u_ {3} v_ {1} & v_ {2} & v_ { 3} end {vmatrix}}}$

Složení lineárních zobrazení

Lineární mapování lze definovat jako funkci F mezi dvěma vektorovými prostory PROTI a Ž s podkladovým polem F, uspokojující^[5]

${displaystyle f (t_ {1} x_ {1} + t_ {2} x_ {2}) = t_ {1} f (x_ {1}) + t_ {2} f (x_ {2}), celkově x_ { 1}, x_ {2} ve V, pro všechny t_ {1}, t_ {2} v mathbb {F}.}$

Pokud vezmeme v úvahu pouze konečné prostorové vektorové prostory, pak

${displaystyle f (mathbf {v}) = fleft (v_ {i} mathbf {b_ {V}} ^ {i} ight) = v_ {i} fleft (mathbf {b_ {V}} ^ {i} ight) = {f ^ {i}} _ {j} v_ {i} mathbf {b_ {W}} ^ {j},}$

ve kterém b_PROTI a b_Ž označit základny z PROTI a Ž, a proti_i označuje součástka z proti na b_PROTIⁱ, a Konvence Einsteinova součtu je použito.

Nyní uvažujeme složení dvou lineárních zobrazení mezi konečnými dimenzionálními vektorovými prostory. Nechte lineární mapování F mapa PROTI na Ža nechte lineární mapování G mapa Ž na U. Pak jeden může dostat

${displaystyle gcirc f (mathbf {v}) = gleft ({f ^ {i}} _ {j} v_ {i} mathbf {b_ {W}} ^ {j} ight) = {g ^ {j}} _ {k} {f ^ {i}} _ {j} v_ {i} mathbf {b_ {U}} ^ {k}.}$

Nebo v maticové formě:

${displaystyle gcirc f (mathbf {v}) = mathbf {G} mathbf {F} mathbf {v},}$

ve kterém i-řádek, j- sloupcový prvek F, označeno F_ij, je F^j_i, a G_ij= g^j_i.

Složení více než dvou lineárních zobrazení může být podobně reprezentováno řetězcem násobení matic.

Produkt dvou matic

Vzhledem k tomu, dvě matice

${displaystyle A = (a_ {i, j}) _ {i = 1ldots s; j = 1ldots r} v mathbb {R} ^ {s imes r}}$ a ${displaystyle B = (b_ {j, k}) _ {j = 1ldots r; k = 1ldots t} in mathbb {R} ^ {r imes t}}$

jejich produkt je dán

${displaystyle Bcdot A = left (sum _ {j = 1} ^ {r} a_ {i, j} cdot b_ {j, k} ight) _ {i = 1ldots s; k = 1ldots t}; v mathbb {R } ^ {s obrázky}}$

Složení lineárních funkcí jako maticového součinu

Existuje vztah mezi složením lineárních funkcí a součinem dvou matic. Chcete-li to vidět, nechť r = dim (U), s = dim (V) at = dim (W) je (konečný) rozměry vektorových prostorů U, V a W. Let ${displaystyle {mathcal {U}} = {u_ {1}, ldots, u_ {r}}}$ být základ U, ${displaystyle {mathcal {V}} = {v_ {1}, ldots, v_ {s}}}$ být základem V a ${displaystyle {mathcal {W}} = {w_ {1}, ldots, w_ {t}}}$ být základem W. Z hlediska tohoto základu, ať${displaystyle A = M_ {mathcal {V}} ^ {mathcal {U}} (f) v mathbb {R} ^ {s imes r}}$být matice představující f: U → V a ${displaystyle B = M_ {mathcal {W}} ^ {mathcal {V}} (g) v mathbb {R} ^ {r imes t}}$ být matice představující g: V → W. Potom

${displaystyle Bcdot A = M_ {mathcal {W}} ^ {mathcal {U}} (gcirc f) v mathbb {R} ^ {s obrázcích}}$

je matice představující ${displaystyle gcirc f: Uightarrow W}$.

Jinými slovy: maticovým produktem je popis složení lineárních funkcí v souřadnicích.

Tenzorový součin vektorových prostorů

Vzhledem k tomu, dva konečné trojrozměrné vektorové prostory PROTI a Ž, jejich tenzorový produkt lze definovat jako (2,0) -tenzor splňující:

${displaystyle Votimes W (v, m) = V (v) W (w), forall vin V ^ {*}, forall win W ^ {*},}$

kde PROTI^* a Ž^* označit duální mezery z PROTI a Ž.^[6]

Pro nekonečno-dimenzionální vektorové prostory má jeden také:

• Tenzorový produkt Hilbertových prostorů
• Topologický tenzorový produkt.

Tenzorový produkt, vnější produkt a Produkt Kronecker všichni vyjadřují stejnou obecnou myšlenku. Rozdíly mezi nimi spočívají v tom, že produkt Kronecker je pouze tenzorovým produktem matic, s ohledem na dříve fixovaný základ, zatímco tenzorový produkt je obvykle uveden v jeho vnitřní definice. Vnější produkt je jednoduše produkt Kronecker, omezený na vektory (místo matic).

Třída všech objektů s tenzorovým produktem

Obecně platí, že kdykoli jeden má dva matematické předměty které lze kombinovat způsobem, který se chová jako produkt tenzoru lineární algebry, lze to obecně chápat jako interní produkt a monoidní kategorie. To znamená, že monoidní kategorie přesně vystihuje význam tenzorového produktu; zachycuje přesně představu, proč se tenzorové produkty chovají tak, jak se chovají. Přesněji řečeno, monoidní kategorie je třída všech věcí (daného typ ), které mají tenzorový produkt.

Další produkty v lineární algebře

Mezi další druhy produktů v lineární algebře patří:

• Produkt Hadamard
• Produkt Kronecker
• Produkt z tenzory:
  • Klínový výrobek nebo vnější výrobek
  • Interiérový produkt
  • Vnější produkt
  • Tenzorový produkt

kartézský součin

v teorie množin, a kartézský součin je matematická operace který vrací a soubor (nebo sada produktů) z více sad. To znamená pro sety A a B, kartézský součin A × B je množina všech objednané páry (a, b)-kde a ∈ A a b ∈ B.^[7]

Třída všech věcí (dané typ ), které mají kartézské produkty, se nazývá a Kartézská kategorie. Mnoho z nich je Kartézské uzavřené kategorie. Příkladem takových objektů jsou sady.

Prázdný produkt

The prázdný produkt na číslech a většině algebraické struktury má hodnotu 1 (prvek identity násobení), stejně jako prázdná částka má hodnotu 0 (prvek identity přidání). Koncept prázdného produktu je však obecnější a vyžaduje zvláštní zacházení logika, teorie množin, programování a teorie kategorií.

Produkty nad jinými algebraickými strukturami

Výrobky přes jiné druhy algebraické struktury zahrnout:

• the kartézský součin sad
• the přímý součin skupin, a také polopřímý produkt, pletený výrobek a věnec produkt
• the produkt zdarma skupin
• the produkt prstenů
• the produkt ideálů
• the produkt topologických prostorů^[3]
• the Produkt Wick z náhodné proměnné
• the víčko, pohár, Massey a šikmý produkt v algebraické topologii
• the rozbít produkt a klínový součet (někdy nazývaný klínový produkt) v homotopy

Několik výše uvedených produktů je příkladem obecného pojmu interní produkt v monoidní kategorie; zbytek lze popsat obecným pojmem a produkt v teorii kategorií.

Produkty v teorii kategorií

Všechny předchozí příklady jsou speciální případy nebo příklady obecného pojmu produktu. Obecné pojetí pojmu výrobek viz produkt (teorie kategorií), který popisuje, jak kombinovat dva předměty nějakého druhu k vytvoření objektu, možná jiného druhu. Ale také, v teorii kategorií, jeden má:

• the vláknitý výrobek nebo pullback,
• the kategorie produktů, kategorie, která je produktem kategorií.
• the ultraprodukt, v teorie modelů.
• the interní produkt a monoidní kategorie, který zachycuje podstatu tenzorového produktu.

Ostatní produkty

• Funkce produkt integrální (jako spojitý ekvivalent k součinu posloupnosti nebo jako multiplikativní verze normálního / standardního / aditivního integrálu. Integrál produktu je také známý jako „spojitý produkt“ nebo „multiplikátor“.
• Složité násobení, teorie eliptických křivek.

Viz také

• Deligne tenzorový produkt abelianských kategorií
• Neomezený produkt
• Nekonečný produkt
• Iterovaná binární operace
• Násobení - Aritmetická operace

Poznámky

Reference

Bibliografie

• Jarchow, Hans (1981). Lokálně konvexní mezery. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN  978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.

externí odkazy

• "Produkt". PlanetMath.