Epigraf (matematika) - Epigraph (mathematics)

Funkce (v černé barvě) je konvexní právě tehdy, je-li oblast nad jejím grafem (zeleně) a konvexní sada. Tato oblast je epigraf funkce.

v matematika, epigraf nebo supergraf^[1] a funkce F : Rⁿ → R je soubor bodů ležících na nebo nad jeho graf:

{displaystyle {mbox {epi}} f = {(x, mu),:, xin mathbb {R} ^ {n} ,, mu v mathbb {R} ,, mu geq f (x)} subseteq mathbb {R} ^ {n + 1}.}

The přísný epigraf je epigraf s odstraněným samotným grafem:

{displaystyle {mbox {epi}} _ {S} f = {(x, mu),:, xin mathbb {R} ^ {n} ,, mu v mathbb {R} ,, mu> f (x)} subseteq mathbb {R} ^ {n + 1}.}

Stejné definice jsou platné pro funkci, která přijímá hodnoty $ℝ \cup {\infty}$ . V tomto případě je epigraf prázdný kdyby a jen kdyby F se shodně rovná nekonečnu.

The doména (spíše než codomain ) funkce není pro tuto definici nijak zvlášť důležitá; může to být jakýkoli lineární prostor^[1] nebo dokonce libovolná množina^[2] namísto ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ .

Podobně je jeho množina bodů na nebo pod funkcí hypograf.

Epigraf lze často použít pro geometrické interpretace vlastností konvexní funkce nebo prokázat tyto vlastnosti.

Vlastnosti

Funkce je konvexní právě když je jeho epigraf a konvexní sada. Epigraf skutečného afinní funkce G : Rⁿ → R je poloviční prostor v Rⁿ⁺¹.

Funkce je nižší polokontinuální právě když je jeho epigraf Zavřeno.

Viz také

Hypograf (matematika)

Reference

^ ^A ^b Pekka Neittaanmäki; Sergey R. Repin (2004). Spolehlivé metody pro počítačovou simulaci: Kontrola chyb a odhady posteriori. Elsevier. p. 81. ISBN 978-0-08-054050-4.
^ Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2007). Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce (3. vyd.). Springer Science & Business Media. p. 8. ISBN 978-3-540-32696-0.

Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Konvexní analýza„Princeton University Press, Princeton, NJ. ISBN 0-691-01586-4.

[NeittaanmäkiRepin2004-1] A ^b Pekka Neittaanmäki; Sergey R. Repin (2004). Spolehlivé metody pro počítačovou simulaci: Kontrola chyb a odhady posteriori. Elsevier. p. 81. ISBN 978-0-08-054050-4.

[AliprantisBorder2007-2] Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2007). Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce (3. vyd.). Springer Science & Business Media. p. 8. ISBN 978-3-540-32696-0.

[1]

[2]