Antiderivativní - Antiderivative

{displaystyle F (x) = {frac {x ^ {3}} {3}} - {frac {x ^ {2}} {2}} - x + c}

, ukazující tři z nekonečně mnoha řešení, která lze vyrobit změnou libovolná konstanta

C

.

v počet, an primitivní, inverzní derivace, primitivní funkce, primitivní integrál nebo neurčitý integrál^{[Poznámka 1]} a funkce $F$ je diferencovatelná funkce $F$ jehož derivát se rovná původní funkci $F$ . To lze označit symbolicky jako $F' = F$ .^[1]^[2] Proces řešení pro primitivní léky se nazývá antidiferenciace (nebo neurčitá integrace) a nazývá se jeho opačná operace diferenciace, což je proces hledání derivátu. Antidivativa jsou často označována kapitálem Římská písmena jako $F$ a $G$ .^[3]

Antiderivatives se vztahují k určité integrály skrz základní věta o počtu: určitý integrál funkce nad interval se rovná rozdílu mezi hodnotami antiderivátu vyhodnoceného v koncových bodech intervalu.

v fyzika, Antiderivatives vznikají v kontextu přímočarý pohyb (např. při vysvětlování vztahu mezi pozice, rychlost a akcelerace ).^[4] The oddělený ekvivalent pojmu antiderivativ je antidifference.

Příklady

Funkce ${displaystyle F (x) = {frac {x ^ {3}} {3}}}$ je primitivní funkcí ${displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ , protože derivát ${displaystyle {frac {x ^ {3}} {3}}}$ je ${displaystyle x ^ {2}}$ , a protože derivát a konstantní je nula, ${displaystyle x ^ {2}}$ bude mít nekonečný řada protichůdných látek, jako např ${displaystyle {frac {x ^ {3}} {3}}, {frac {x ^ {3}} {3}} + 1, {frac {x ^ {3}} {3}} - 2}$ atd. Všechny antideriváty ${displaystyle x ^ {2}}$ lze získat změnou hodnoty $C$ v ${displaystyle F (x) = {frac {x ^ {3}} {3}} + c}$ , kde $C$ je libovolná konstanta známá jako konstanta integrace.^[3] V zásadě grafy antiderivativ dané funkce jsou vertikální překlady navzájem, přičemž vertikální umístění každého grafu závisí na hodnota $C$ .

Obecněji, funkce napájení ${displaystyle f (x) = x ^ {n}}$ má primitivní funkci ${displaystyle F (x) = {frac {x ^ {n + 1}} {n + 1}} + c}$ -li $n \neq -1$ , a ${displaystyle F (x) = ln | x | + c}$ -li $n = -1$ .

v fyzika, integrace akcelerace výnosy rychlost plus konstanta. Konstanta je počáteční člen rychlosti, který by byl ztracen při převzetí derivace rychlosti, protože derivace konstantního člena je nula. Stejný vzorec platí pro další integrace a derivace pohybu (poloha, rychlost, zrychlení atd.).^[4]

Použití a vlastnosti

Antiderivatives can be used to vypočítat určité integrály, za použití základní věta o počtu: pokud $F$ je primitivní funkcí integrovatelný funkce $F$ přes interval ${displaystyle [a, b]}$ , pak:

{displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x), dx = F (b) -F (a).}

Z tohoto důvodu je každá z nekonečně mnoha předpokladů dané funkce $F$ se někdy nazývá „obecný integrál“ nebo „neurčitý integrál“ F, a je psán pomocí integrálního symbolu bez hranic:^[3]

{displaystyle int f (x), dx.}

Li $F$ je primitivní funkcí $F$ a funkce $F$ je definován v nějakém intervalu, pak v každém dalším primitivnímu $G$ z $F$ se liší od $F$ konstantou: existuje číslo $C$ takhle ${displaystyle G (x) = F (x) + c}$ pro všechny $X$ . $C$ se nazývá konstanta integrace. Pokud doména $F$ je disjunktní unie dvou nebo více (otevřených) intervalů, pak lze pro každý z těchto intervalů zvolit jinou integrační konstantu. Například

{displaystyle F (x) = {egin {cases} - {frac {1} {x}} + c_ {1} quad x <0 - {frac {1} {x}} + c_ {2} quad x> 0end {cases}}}

je nejobecnějším primitivem ${displaystyle f (x) = 1 / x ^ {2}}$ na své přirozené doméně ${displaystyle (-infty, 0) cup (0, infty).}$

Každý spojitá funkce $F$ má primitivní funkci a jednu primitivní funkci $F$ je dán určitým integrálem $F$ s proměnnou horní hranicí:

{displaystyle F (x) = int _ {0} ^ {x} f (t), dt.}

Změnou dolní hranice vzniknou další anti-aktivace (ale ne nutně všechna možná anti-aktivace). Toto je další formulace základní věta o počtu.

Existuje mnoho funkcí, jejichž primitivní funkce, i když existují, nelze vyjádřit pomocí základní funkce (jako polynomy, exponenciální funkce, logaritmy, trigonometrické funkce, inverzní trigonometrické funkce a jejich kombinace). Příkladem jsou

{displaystyle int e ^ {- x ^ {2}}, dx, qquad int sin x ^ {2}, dx, qquad int {frac {sin x} {x}}, dx, qquad int {frac {1} { ln x}}, dx, qquad int x ^ {x}, dx.}

Zleva doprava, první čtyři jsou chybová funkce, Fresnelova funkce, trigonometrický integrál a logaritmická integrální funkce. Podrobnější diskuse viz také Diferenciální Galoisova teorie.

Techniky integrace

Hledání antiderivativ elementárních funkcí je často podstatně těžší než hledání jejich derivátů (ve skutečnosti neexistuje předdefinovaná metoda výpočtu neurčitých integrálů).^[5] U některých elementárních funkcí je nemožné najít primitivní funkci z hlediska jiných elementárních funkcí. Chcete-li se dozvědět více, podívejte se základní funkce a neelementární integrál.

Existuje mnoho vlastností a technik pro hledání antiderivativ, mezi ně patří mimo jiné:

The linearita integrace (který rozděluje složité integrály na jednodušší)
Integrace substitucí, často v kombinaci s trigonometrické identity nebo přirozený logaritmus
- The metoda pravidla inverzního řetězce (zvláštní případ integrace substitucí)
Integrace po částech (integrovat produkty funkcí)
Integrace inverzní funkce (vzorec, který vyjadřuje primitivní funkci inverze $F -1$ invertibilní a spojité funkce $F$ , pokud jde o primitivní funkci $F$ a ze dne $F -1$ ).
Metoda dílčí zlomky v integraci (což nám umožňuje integrovat všechny racionální funkce —Frakce dvou polynomů)
The Rischův algoritmus
Další techniky pro více integrací (viz například dvojité integrály, polární souřadnice, Jacobian a Stokesova věta )
Numerická integrace (technika aproximace určitého integrálu, pokud neexistuje elementární primitivní funkce, jako v případě $exp (- X 2)$ )
Algebraická manipulace s integrandem (takže lze použít jiné integrační techniky, jako je integrace substitucí)
Cauchyův vzorec pro opakovanou integraci (pro výpočet $n$ - časově primitivní funkce)

{displaystyle int _ {x_ {0}} ^ {x} int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} tečky int _ {x_ {0}} ^ {x_ {n-1}} f (x_ {n}), dx_ {n} tečky, dx_ {2}, dx_ {1} = int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t) {frac {(xt) ^ {n-1}} {(n-1)!}}, dt.}

Počítačové algebraické systémy lze použít k automatizaci některých nebo všech prací souvisejících s výše uvedenými symbolickými technikami, což je zvláště užitečné, když jsou příslušné algebraické manipulace velmi složité nebo zdlouhavé. Integrály, které již byly odvozeny, lze vyhledat v a tabulka integrálů.

Nespojitých funkcí

Nespojité funkce mohou mít primitivní funkce. I když v této oblasti stále existují otevřené otázky, je známo, že:

Někteří velmi patologické funkce s velkými sadami diskontinuit může přesto mít primitivní účinky.
V některých případech lze najít anti-negativa takových patologických funkcí Riemannova integrace, zatímco v jiných případech tyto funkce nejsou Riemannovy integrovatelné.

Za předpokladu, že doménami funkcí jsou otevřené intervaly:

Nutná, ale nedostatečná podmínka funkce $F$ mít primitivní funkci je to $F$ mít vlastnost střední hodnoty. To je, pokud $[A, b]$ je podinterval domény $F$ a $y$ je jakékoli skutečné číslo mezi $F (A)$ a $F (b)$ , pak existuje a $C$ mezi $A$ a $b$ takhle $F (C) = y$ . To je důsledek Darbouxova věta.

Soubor diskontinuit $F$ musí být hubená sada. Tato sada musí být také F-sigma sada (protože sada nespojitostí jakékoli funkce musí být tohoto typu). Navíc pro jakoukoli skromnou množinu F-sigma lze postavit nějakou funkci $F$ mít primitivní funkci, která má danou množinu jako sadu nespojitostí.

Li $F$ má primitivní funkci, je ohraničený na uzavřených konečných subintervalech domény a má sadu diskontinuit Lebesgueovo opatření 0, pak lze integraci ve smyslu Lebesgue najít antiderivativ. Ve skutečnosti s použitím výkonnějších integrálů, jako je Henstock – Kurzweil integrální, každá funkce, pro kterou existuje primitivní funkce, je integrovatelná a její obecný integrál se shoduje s její primitivní funkcí.

Li $F$ má primitivní funkci $F$ v uzavřeném intervalu ${displaystyle [a, b]}$ , pak pro jakýkoli výběr oddílu ${displaystyle a = x_ {0}$ pokud si vyberete vzorové body ${displaystyle x_ {i} ^ {*} v [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ jak je uvedeno v věta o střední hodnotě, pak odpovídající Riemannova suma dalekohledy na hodnotu ${displaystyle F (b) -F (a)}$ .

{displaystyle {egin {aligned} součet _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} ^ {*}) (x_ {i} -x_ {i-1}) & = součet _ {i = 1 } ^ {n} [F (x_ {i}) - F (x_ {i-1})] & = F (x_ {n}) - F (x_ {0}) = F (b) -F ( a) konec {zarovnáno}}}

Nicméně pokud

F

je neomezený, nebo pokud

F

je omezený, ale soubor diskontinuit

F

má pozitivní Lebesgueovu míru, jinou volbu vzorkovacích bodů

{displaystyle x_ {i} ^ {*}}

může dát Riemannovu částku výrazně jinou hodnotu, bez ohledu na to, jak jemný je oddíl. Viz příklad 4 níže.

Nějaké příklady

Funkce
${displaystyle f (x) = 2xsin left ({frac {1} {x}} ight) -cos left ({frac {1} {x}} ight)}$
s ${displaystyle f (0) = 0}$ není spojitý v ${displaystyle x = 0}$ ale má to primitivní
${displaystyle F (x) = x ^ {2} zbývající hřích ({frac {1} {x}} vpravo)}$
s ${displaystyle F (0) = 0}$ . Od té doby $F$ je omezen na uzavřené konečné intervaly a je diskontinuální pouze v 0, což je primitivní funkce $F$ lze získat integrací: ${displaystyle F (x) = int _ {0} ^ {x} f (t), dt}$ .
Funkce
${displaystyle f (x) = 2xsin left ({frac {1} {x ^ {2}}} ight) - {frac {2} {x}} cos left ({frac {1} {x ^ {2}} } v noci)}$
s ${displaystyle f (0) = 0}$ není spojitý v ${displaystyle x = 0}$ ale má to primitivní
${displaystyle F (x) = x ^ {2} zbývající hřích ({frac {1} {x ^ {2}}} vpravo)}$
s ${displaystyle F (0) = 0}$ . Na rozdíl od příkladu 1 $F (X)$ je neomezený v libovolném intervalu obsahujícím 0, takže Riemannův integrál je nedefinovaný.
Li $F (X)$ je funkce v příkladu 1 a $F$ je jeho primitivní, a ${displaystyle {x_ {n}} _ {ngeq 1}}$ je hustý počitatelný podmnožina otevřeného intervalu ${displaystyle (-1,1),}$ pak funkce
${displaystyle g (x) = součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {f (x-x_ {n})} {2 ^ {n}}}}$
má primitivní funkci
${displaystyle G (x) = součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {F (x-x_ {n})} {2 ^ {n}}}.}$
Soubor diskontinuit $G$ je přesně sada ${displaystyle {x_ {n}} _ {ngeq 1}}$ . Od té doby $G$ je omezena na uzavřené konečné intervaly a sada diskontinuit má míru 0, což je primitivní $G$ lze najít integrací.
Nechat ${displaystyle {x_ {n}} _ {ngeq 1}}$ být hustý počitatelný podmnožina otevřeného intervalu ${displaystyle (-1,1).}$ Zvažte všude nepřetržitě přísně rostoucí funkci
${displaystyle F (x) = součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {2 ^ {n}}} (x-x_ {n}) ^ {1/3}.}$
To lze ukázat
${displaystyle F '(x) = součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {3cdot 2 ^ {n}}} (x-x_ {n}) ^ {- 2/3}}$

Obrázek 1.

Obrázek 2.
pro všechny hodnoty $X$ kde řada konverguje, a že graf $F (X)$ má vertikální tečny u všech ostatních hodnot $X$ . Zejména má graf vertikální tečny ve všech bodech sady ${displaystyle {x_ {n}} _ {ngeq 1}}$ .
navíc ${displaystyle F (x) geq 0}$ pro všechny $X$ kde je definována derivace. Z toho vyplývá, že inverzní funkce ${displaystyle G = F ^ {- 1}}$ je všude rozlišitelný a to
${displaystyle g (x) = G '(x) = 0}$
pro všechny $X$ v sadě ${displaystyle {F (x_ {n})} _ {ngeq 1}}$ který je v intervalu hustý ${displaystyle [F (-1), F (1)].}$ Tím pádem $G$ má primitivní funkci $G$ . Na druhou stranu to nemůže být pravda
${displaystyle int _ {F (-1)} ^ {F (1)} g (x), dx = GF (1) -GF (-1) = 2,}$
protože pro jakýkoli oddíl ${displaystyle [F (-1), F (1)]}$ , ze sady lze vybrat ukázkové body pro Riemannovu sumu ${displaystyle {F (x_ {n})} _ {ngeq 1}}$ , což znamená pro součet hodnotu 0. Z toho vyplývá, že $G$ má soubor diskontinuit pozitivního Lebesgueova opatření. Obrázek 1 vpravo ukazuje přiblížení ke grafu $G (X)$ kde ${displaystyle {x_ {n} = cos (n)} _ {ngeq 1}}$ a série je zkrácena na 8 termínů. Obrázek 2 ukazuje graf aproximace antiderivátu $G (X)$ , také zkráceno na 8 termínů. Na druhou stranu, pokud je Riemannův integrál nahrazen Lebesgueův integrál, pak Fatouovo lemma nebo dominující věta o konvergenci ukázat to $G$ uspokojuje v této souvislosti základní teorém počtu.
V příkladech 3 a 4 jsou sady nespojitostí funkcí $G$ jsou husté pouze v konečném otevřeném intervalu ${displaystyle (a, b).}$ Tyto příklady však lze snadno upravit tak, aby měly sady diskontinuit, které jsou husté na celé reálné linii ${displaystyle (-infty, infty)}$ . Nechat
${displaystyle lambda (x) = {frac {a + b} {2}} + {frac {b-a} {pi}} an ^ {- 1} x.}$
Pak ${displaystyle g (lambda (x)) lambda '(x)}$ má hustou sadu diskontinuit ${displaystyle (-infty, infty)}$ a má primitivní účinky ${displaystyle Gcdot lambda.}$
Použitím podobné metody jako v příkladu 5 lze provádět úpravy $G$ v příkladu 4, aby vůbec zmizel racionální čísla. Pokud někdo používá naivní verzi Riemannův integrál definovaný jako limit levého nebo pravého Riemannova součtu přes pravidelné oddíly, získá se, že integrál takové funkce $G$ v intervalu ${displaystyle [a, b]}$ je 0 kdykoli $A$ a $b$ jsou oba racionální, místo ${displaystyle G (b) -G (a)}$ . Tedy základní věta o počtu významně selže.
Funkce, která má primitivní funkci, stále nemusí být integrovatelná s Riemannem. Derivát Funkce Volterry je příklad.

Viz také

Poznámky

^ Antiderivativa se také nazývají obecné integrály, a někdy integrály. Druhý termín je obecný a vztahuje se nejen na neurčité integrály (primitivní funkce), ale také na určité integrály. Když slovo integrální je použit bez další specifikace, má čtenář z kontextu odvodit, zda se jedná o určitý nebo neurčitý integrál. Někteří autoři definují neurčitý integrál funkce jako soubor jejích nekonečně mnoha možných protikladů. Jiní to definují jako libovolně vybraný prvek této sady. Tento článek přijímá druhý přístup. V učebnicích matematiky na anglické úrovni můžete tento termín najít úplný primitiv - L. Bostock a S. Chandler (1978) Čistá matematika 1; Řešení diferenciální rovnice zahrnující libovolnou konstantu se nazývá obecné řešení (nebo někdy úplné primitivum).

Reference

^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6. vydání). Brooks / Cole. ISBN 0-495-01166-5.
^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Počet (9. vydání). Brooks / Cole. ISBN 0-547-16702-4.
^ ^A ^b ^C „Kompendium matematických symbolů“. Matematický trezor. 2020-03-01. Citováno 2020-08-18.
^ ^A ^b "4.9: Antiderivatives". Matematika LibreTexts. 2017-04-27. Citováno 2020-08-18.
^ "Antiderivativní a neurčitá integrace | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Citováno 2020-08-18.

Další čtení

Úvod do klasické reálné analýzy, Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (viz taky )
Historický esej o kontinuitě derivátů autor: Dave L. Renfro

externí odkazy

Wolfram Integrator - Bezplatná online symbolická integrace s Windows Mathematica
Matematický asistent na webu - symbolické výpočty online. Umožňuje uživatelům integrovat se v malých krocích (s radami pro další krok (integrace po částech, substituce, částečné zlomky, použití vzorců a další), založené na Maxima
Funkční kalkulačka od WIMS
Integrální na Hyperfyzika
Antiderivativa a neurčité integrály na Khan Academy
Integrovaná kalkulačka na Symbolab
Antiderivative na MIT
Úvod do integrálů na SparkNotes
Antidivativa na Harvy Mudd College

[1] Antiderivativa se také nazývají obecné integrály, a někdy integrály. Druhý termín je obecný a vztahuje se nejen na neurčité integrály (primitivní funkce), ale také na určité integrály. Když slovo integrální je použit bez další specifikace, má čtenář z kontextu odvodit, zda se jedná o určitý nebo neurčitý integrál. Někteří autoři definují neurčitý integrál funkce jako soubor jejích nekonečně mnoha možných protikladů. Jiní to definují jako libovolně vybraný prvek této sady. Tento článek přijímá druhý přístup. V učebnicích matematiky na anglické úrovni můžete tento termín najít úplný primitiv - L. Bostock a S. Chandler (1978) Čistá matematika 1; Řešení diferenciální rovnice zahrnující libovolnou konstantu se nazývá obecné řešení (nebo někdy úplné primitivum).

[2] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6. vydání). Brooks / Cole. ISBN 0-495-01166-5.

[3] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Počet (9. vydání). Brooks / Cole. ISBN 0-547-16702-4.

[:0-4] A ^b ^C „Kompendium matematických symbolů“. Matematický trezor. 2020-03-01. Citováno 2020-08-18.

[:1-5] A ^b "4.9: Antiderivatives". Matematika LibreTexts. 2017-04-27. Citováno 2020-08-18.

[6] "Antiderivativní a neurčitá integrace | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Citováno 2020-08-18.

[Poznámka 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]