Diferencovatelná funkce - Differentiable function

Diferencovatelná funkce

v počet (pobočka matematika ), a diferencovatelná funkce jednoho nemovitý proměnná je funkce, jejíž derivát existuje v každém bodě doména. Jinými slovy graf rozlišitelné funkce má non-vertikální tečna v každém vnitřním bodě v jeho doméně. Diferencovatelná funkce je hladká (funkce je místně dobře aproximována jako a lineární funkce v každém vnitřním bodě) a neobsahuje žádný zlom, úhel nebo hrot.

Obecněji pro X₀ jako vnitřní bod v doméně funkce F, pak F se říká, že je diferencovatelné na x₀ právě když derivát F ′(X₀) existuje. Jinými slovy, graf F má nevislou tečnu v bodě (X₀, F(X₀)). Funkce F je také volána lokálně lineární na X₀ protože je dobře aproximován a lineární funkce blízko tohoto bodu.

Diferencovatelnost reálných funkcí jedné proměnné

Funkce ${ displaystyle f: U podmnožina mathbb {R} až mathbb {R}}$ , definované na otevřené množině ${ displaystyle U}$ , se říká, že je diferencovatelné na ${ displaystyle a v U}$ je-li splněna některá z následujících rovnocenných podmínek:

Derivát ${ displaystyle f '(a) = lim _ {h až 0} { frac {f (a + h) -f (a)} {h}}}$ existuje.
Existuje skutečné číslo ${ displaystyle L}$ takhle ${ displaystyle lim _ {h až 0} { frac {f (a + h) -f (a) -Lh} {h}} = 0}$ . Číslo ${ displaystyle L}$ , pokud existuje, je rovno ${ displaystyle f '(a)}$ .
Existuje funkce ${ displaystyle g: U podmnožina mathbb {R} až mathbb {R}}$ takhle ${ displaystyle f (a + h) = f (a) + f '(a) h + g (h)}$ a ${ displaystyle lim _ {h až 0} { frac {g (h)} {h}} = 0}$ .

Diferencovatelnost a kontinuita

The absolutní hodnota funkce je spojitá (tj. nemá žádné mezery). Je všude rozlišitelný až na na místě

X

= 0, kde při průjezdu prudce zatáčí

y

-osa.

A hrot na grafu spojité funkce. Při nule je funkce spojitá, ale nediferencovatelná.

Li $F$ je diferencovatelný v bodě $X 0$ , pak $F$ také musí být kontinuální na $X 0$ . Každá diferencovatelná funkce musí být zejména spojitá v každém bodě své domény. Konverzace neplatí: spojitá funkce nemusí být rozlišitelná. Například funkce s ohybem, hrot nebo vertikální tečna může být spojitý, ale nelze jej rozlišit v místě anomálie.

Většina funkcí, které se v praxi vyskytují, má derivace ve všech bodech nebo v skoro každý směřovat. Výsledek však Stefan Banach uvádí, že množina funkcí, které mají v určitém okamžiku derivaci, je a hubená sada v prostoru všech spojitých funkcí.^[1] Neformálně to znamená, že rozlišitelné funkce jsou mezi spojitými funkcemi velmi atypické. První známý příklad funkce, která je spojitá všude, ale nikde diferencovatelná, je Funkce Weierstrass.

Třídy rozlišitelnosti

Diferencovatelné funkce lze lokálně aproximovat lineárními funkcemi.

Funkce

{ displaystyle f: mathbb {R} do mathbb {R}}

s

{ displaystyle f (x) = x ^ {2} sin left ({ tfrac {1} {x}} right)}

pro

{ displaystyle x neq 0}

a

{ displaystyle f (0) = 0}

je rozlišitelný. Tato funkce však není nepřetržitě diferencovatelná.

Funkce F se říká, že je průběžně diferencovatelné pokud je derivát F′(X) existuje a je sám o sobě spojitou funkcí. Ačkoli derivace diferencovatelné funkce nikdy nemá skoková diskontinuita, je možné, aby derivát měl zásadní diskontinuitu. Například funkce

{ displaystyle f (x) ; = ; { začátek {případů} x ^ {2} sin (1 / x) & { text {if}} x neq 0 0 & { text {pokud }} x = 0 end {cases}}}

je rozlišitelný od 0, protože

{ displaystyle f '(0) = lim _ { epsilon až 0} vlevo ({ frac { epsilon ^ {2} sin (1 / epsilon) -0} { epsilon}} vpravo ) = 0,}

existuje. Nicméně pro X ≠ 0, pravidla diferenciace naznačit

{ Displaystyle f '(x) = 2x sin (1 / x) - cos (1 / x)}

který nemá žádné omezení jako X → 0. Přesto, Darbouxova věta znamená, že derivace jakékoli funkce splňuje závěr věta o střední hodnotě.

O kontinuálně diferencovatelných funkcích se někdy říká, že jsou třída C¹. Funkce je z třída C² pokud první a druhá derivace funkce existují a jsou spojité. Obecněji se o funkci říká, že je třída C^k pokud první k deriváty F′(X), F′′(X), ..., F^(k)(X) všechny existují a jsou spojité. Pokud deriváty F⁽ⁿ⁾ existují pro všechna kladná celá čísla n, funkce je hladký nebo ekvivalentně z třída C^∞.

Diferencovatelnost ve vyšších rozměrech

A funkce několika reálných proměnných $F : R m \to R n$ se říká, že je v určitém okamžiku rozlišitelný $X 0$ -li tady existuje A lineární mapa $J : R m \to R n$ takhle

{ displaystyle lim _ { mathbf {h} až mathbf {0}} { frac { | mathbf {f} ( mathbf {x_ {0}} + mathbf {h}) - mathbf {f} ( mathbf {x_ {0}}) - mathbf {J} mathbf {(h)} | _ { mathbf {R} ^ {n}}} { | mathbf {h} | _ { mathbf {R} ^ {m}}}} = 0.}

Pokud je funkce diferencovatelná na $X 0$ , pak všechny částečné derivace existují v $X 0$ a lineární mapa $J$ je dán Jacobian matrix. Podobnou formulaci derivátu vyšší dimenze poskytuje základní přírůstkové lemma nalezený v jednoduchém proměnném počtu.

Pokud existují všechny parciální derivace funkce v a sousedství bodu $X 0$ a jsou spojité v bodě $X 0$ , pak je funkce v tomto bodě diferencovatelná $X 0$ .

Existence dílčích derivátů (nebo dokonce všech) směrové deriváty ) obecně nezaručuje, že je funkce v určitém okamžiku odlišitelná. Například funkce $F : R 2 \to R$ definován

{ displaystyle f (x, y) = { begin {cases} x & { text {if}} y neq x ^ {2} 0 & { text {if}} y = x ^ {2} konec {případů}}}

není rozlišitelný na $(0, 0)$ , ale v tomto bodě existují všechny parciální derivace a směrové derivace. Pro souvislý příklad funkce

{ displaystyle f (x, y) = { begin {cases} y ^ {3} / (x ^ {2} + y ^ {2}) & { text {if}} (x, y) neq (0,0) 0 & { text {if}} (x, y) = (0,0) end {případy}}}

nelze rozlišit na $(0, 0)$ , ale opět existují všechny parciální derivace a směrové derivace.

Diferencovatelnost v komplexní analýze

v komplexní analýza, komplexní diferenciace je definována pomocí stejné definice jako reálné funkce s jednou proměnnou. To umožňuje možnost dělení komplexních čísel. Takže funkce ${ displaystyle f: mathbb {C} do mathbb {C}}$ se říká, že je rozlišitelný v ${ displaystyle x = a}$ když

{ displaystyle f '(a) = lim _ {h až 0} { frac {f (a + h) -f (a)} {h}}.}

Ačkoli tato definice vypadá podobně jako diferencovatelnost reálných funkcí s jednou proměnnou, jedná se o přísnější podmínku. Funkce ${ displaystyle f: mathbb {C} do mathbb {C}}$ , to je v daném okamžiku komplexně diferencovatelné ${ displaystyle x = a}$ je v tomto bodě automaticky diferencovatelný, když je viděn jako funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R} ^ {2}}$ . Důvodem je, že to znamená komplexní diferencovatelnost

{ displaystyle lim _ {h až 0} { frac {| f (a + h) -f (a) -f '(a) h |} {| h |}} = 0.}

Nicméně funkce ${ displaystyle f: mathbb {C} do mathbb {C}}$ může být diferencovatelný jako funkce s více proměnnými, aniž by byl komplexně rozlišitelný. Například, ${ displaystyle f (z) = { frac {z + { overline {z}}} {2}}}$ je v každém bodě diferencovatelná, považována za 2 proměnnou skutečnou funkci ${ displaystyle f (x, y) = x}$ , ale v žádném okamžiku to není komplexně diferencovatelné.

Volá se jakákoli funkce, která je komplexně diferencovatelná v sousedství bodu holomorfní v tom bodě. Taková funkce je nutně nekonečně diferencovatelná a ve skutečnosti analytický.

Diferencovatelné funkce na potrubích

Li M je diferencovatelné potrubí, skutečná nebo komplexně oceněná funkce F na M se říká, že je v určitém okamžiku rozlišitelný p pokud je rozlišitelný s ohledem na nějaký (nebo jakýkoli) souřadnicový graf definovaný kolem p. Obecněji, pokud M a N jsou rozlišitelná potrubí, funkce F: M → N se říká, že je v určitém okamžiku rozlišitelný p pokud je diferencovatelný s ohledem na některé (nebo jakékoli) souřadnicové grafy definované kolem p a F(p).

Viz také

Reference

^ Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179.. Citováno uživatelem Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Reálná a abstraktní analýza. Springer-Verlag. Věta 17.8.

[1] Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179.. Citováno uživatelem Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Reálná a abstraktní analýza. Springer-Verlag. Věta 17.8.

[1]