Integrace Lebesgue – Stieltjes - Lebesgue–Stieltjes integration

v míra-teoretická analýza a související odvětví matematika, Integrace Lebesgue – Stieltjes zevšeobecňuje Riemann – Stieltjes a Lebesgueova integrace, zachování mnoha výhod prvního v obecnějším teoreticko-teoretickém rámci. Lebesgue-Stieltjesův integrál je obyčejný Lebesgueův integrál s ohledem na míru známou jako Lebesgue-Stieltjesova míra, která může být spojena s jakoukoli funkcí ohraničená variace na skutečné linii. Opatření Lebesgue – Stieltjes je a pravidelné opatření Borel, a naopak každá pravidelná Borelova míra na skutečné linii je tohoto druhu.

Lebesgue – Stieltjes integrály, pojmenovaný pro Henri Leon Lebesgue a Thomas Joannes Stieltjes, jsou také známé jako Lebesgue – Radonové integrály nebo prostě Radonové integrály, po Johann Radon, kterému je velká část teorie věnována. Nacházejí společné použití v pravděpodobnost a stochastické procesy, a v některých odvětvích analýza počítaje v to teorie potenciálu.

Definice

Lebesgue – Stieltjesův integrál

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dg (x)}

je definováno, když ${ displaystyle f: left [a, b right] rightarrow mathbb {R}}$ je Borel -měřitelný a ohraničený a ${ displaystyle g: left [a, b right] rightarrow mathbb {R}}$ je z ohraničená variace v $[A, b]$ a vpravo kontinuální nebo kdy $F$ je nezáporný a $G$ je monotónní a pravý spojitý. Nejprve to předpokládejte $F$ je nezáporný a $G$ je monotónní neklesající a vpravo spojitý. Definovat $w ((s, t]) = G (t) - G (s)$ a $w ({A}) = 0$ (Alternativně stavba funguje pro $G$ levý spojitý, $w ([s, t)) = G (t) - G (s)$ a $w ({b}) = 0$ ).

Podle Carathéodoryova věta o rozšíření, existuje jedinečná míra Borel $μ G$ na $[A, b]$ s čím souhlasím $w$ na každém intervalu $Já$ . Měření $μ G$ vychází z vnější míra (ve skutečnosti metrická vnější míra ) dána

{ displaystyle mu _ {g} (E) = inf left { sum _ {i} mu _ {g} (I_ {i}) : E podmnožina bigcup _ {i} I_ {i} doprava }}

the infimum převzal všechny krytí z $E$ spočetně mnoha semiopenních intervalech. Toto opatření se někdy nazývá^[1] the Lebesgue – Stieltjes měří spojený s $G$ .

Lebesgue – Stieltjesův integrál

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dg (x)}

je definován jako Lebesgueův integrál z $F$ s ohledem na opatření $μ G$ obvyklým způsobem. Li $G$ je nerostoucí, pak definujte

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dg (x): = - int _ {a} ^ {b} f (x) , d (-g) (x) ,}

druhý integrál je definován předchozí konstrukcí.

Li $G$ je omezené variace a $F$ je ohraničený, pak je možné psát

{ displaystyle dg (x) = dg_ {1} (x) -dg_ {2} (x)}

kde $G 1 (X) = PROTI X A G$ je celková variace z $G$ v intervalu $[A, X]$ , a $G 2 (X) = G 1 (X) - G (X)$ . Oba $G 1$ a $G 2$ jsou monotónní neklesající. Nyní je Lebesgue – Stieltjes nedílnou součástí $G$ je definováno

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dg (x) = int _ {a} ^ {b} f (x) , dg_ {1} (x) - int _ {a} ^ {b} f (x) , dg_ {2} (x),}

kde poslední dva integrály jsou dobře definovány předchozí konstrukcí.

Daniellův integrál

Alternativní přístup (Hewitt & Stromberg 1965 ) je definovat Lebesgue – Stieltjesův integrál jako Daniellův integrál který rozšiřuje obvyklý Riemann – Stieltjesův integrál. Nechat $G$ být neklesající pravou spojitou funkcí na $[A, b]$ a definovat $Já (F)$ být integrálem Riemann – Stieltjes

{ displaystyle I (f) = int _ {a} ^ {b} f (x) , dg (x)}

pro všechny spojité funkce $F$ . The funkční $Já$ definuje a Radonová míra na $[A, b]$ . Tuto funkci lze poté rozšířit na třídu všech nezáporných funkcí nastavením

{ displaystyle { begin {aligned} { overline {I}} (h) & = sup left {I (f) : f v C [a, b], 0 leq f leq h right } { overline { overline {I}}} (h) & = inf left {I (f) : f v C [a, b], h leq f right }. end {aligned}}}

Pro Borel měřitelné funkce, jeden má

{ displaystyle { overline {I}} (h) = { overline { overline {I}}} (h),}

a obě strany identity pak definují Lebesgue-Stieltjesův integrál $h$ . Vnější míra $μ G$ je definováno prostřednictvím

{ displaystyle mu _ {g} (A) = { overline { overline {I}}} ( chi _ {A})}

kde $χ A$ je funkce indikátoru z $A$ .

S integrátory omezené variace se zachází, jak je uvedeno výše, rozkladem na pozitivní a negativní variace.

Příklad

Předpokládejme to $y : [A, b] \to R 2$ je usměrnitelná křivka v letadle a $ρ : R 2 \to [0, \infty)$ je Borel měřitelný. Pak můžeme definovat délku $y$ vzhledem k euklidovské metrice vážené ρ být

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} rho ( gamma (t)) , d ell (t),}

kde ${ displaystyle ell (t)}$ je délka omezení $y$ na $[A, t]$ . Toto se někdy nazývá $ρ$ -délka $y$ . Tato představa je docela užitečná pro různé aplikace: například v blátivém terénu může rychlost, jakou se člověk může pohybovat, záviset na tom, jak hluboké je bahno. Li $ρ (z)$ označuje převrácenou rychlost chůze na nebo blízko $z$ , pak $ρ$ -délka $y$ je čas, který by trvalo přejezd $y$ . Koncept extrémní délka používá tento pojem $ρ$ délka křivek a je užitečná při studiu konformní mapování.

Integrace po částech

Funkce $F$ se říká, že je v určitém okamžiku „pravidelná“ $A$ pokud pravá a levá ruka omezuje $F (A +)$ a $F (A -)$ existují a funkce trvá na $A$ průměrná hodnota

{ displaystyle f (a) = { frac {f (a -) + f (a +)} {2}}.}

Vzhledem ke dvěma funkcím $U$ a $PROTI$ konečné varianty, pokud v každém bodě alespoň jeden z $U$ nebo $PROTI$ je spojitý nebo $U$ a $PROTI$ jsou oba normální, pak integrace po částech vzorec pro integrály Lebesgue – Stieltjes:^[2]

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} U , dV + int _ {a} ^ {b} V , dU = U (b +) V (b +) - U (a-) V (a- ), qquad - infty

Zde jsou příslušná opatření Lebesgue – Stieltjes spojena s pravými spojitými verzemi funkcí $U$ a $PROTI$ ; to znamená, že ${ displaystyle { tilde {U}} (x) = lim _ {t až x +} U (t)}$ a podobně ${ displaystyle { tilde {V}} (x).}$ Ohraničený inverval $(A, b)$ může být nahrazen neomezeným intervalem $(-\infty, b)$ , $(A,\infty)$ nebo $(-\infty,\infty)$ pokud $U$ a $PROTI$ jsou konečné variace na tomto neomezeném intervalu. Lze také použít funkce s komplexní hodnotou.

Alternativní výsledek, který má v teorii stochastický počet je následující. Vzhledem k tomu, dvě funkce $U$ a $PROTI$ konečných variací, které jsou pravo-spojité a mají levé meze (jsou càdlàg funkce)

{ displaystyle U (t) V (t) = U (0) V (0) + int _ {(0, t]} U (s -) , dV (s) + int _ {(0, t]} V (s -) , dU (s) + součet _ {u in (0, t]} Delta U_ {u} Delta V_ {u},}

kde $Δ U t = U (t) - U (t -)$ . Tento výsledek lze považovat za předchůdce Itôovo lemma, a je použitelný v obecné teorii stochastické integrace. Poslední termín je $Δ U (t) Δ PROTI (t) = d [U, PROTI],$ který vyplývá z kvadratické kovariace $U$ a $PROTI$ . (Na dřívější výsledek lze potom nahlížet jako na výsledek vztahující se k Stratonovichův integrál.)

Související pojmy

Lebesgueova integrace

Když $G (X) = X$ pro všechny skutečné $X$ , pak $μ G$ je Lebesgueovo opatření a Lebesgue – Stieltjesův integrál $F$ s ohledem na $G$ je ekvivalentní s Lebesgueův integrál z $F$ .

Riemann – Stieltjesova integrace a teorie pravděpodobnosti

Kde $F$ je kontinuální reálná funkce reálné proměnné a $proti$ je neklesající reálná funkce, Lebesgue-Stieltjesův integrál je ekvivalentní s Riemann – Stieltjesův integrál, v takovém případě často píšeme

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dv (x)}

pro Lebesgue – Stieltjesův integrál, necháme míru $μ proti$ zůstat implicitní. To je zvláště běžné v teorie pravděpodobnosti když $proti$ je kumulativní distribuční funkce reálné hodnoty náhodné proměnné $X$ , v jakém případě

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dv (x) = mathrm {E} [f (X)].}

(Viz článek na Integrace Riemann – Stieltjes Další podrobnosti o řešení těchto případů.)

Poznámky

^ Halmos (1974), Sec. 15
^ Hewitt, Edwin (květen 1960). "Integrace pomocí dílů pro integrály Stieltjes". Americký matematický měsíčník. 67 (5): 419–423. doi:10.2307/2309287. JSTOR 2309287.

Reference

Halmos, Paul R. (1974), Teorie měření, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9
Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Reálná a abstraktní analýza, Springer-Verlag.
Saks, Stanislaw (1937) Teorie integrálu.
Shilov, G. E. a Gurevich, B. L., 1978. Integrální, opatření a derivace: jednotný přístup, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.

[1] Halmos (1974), Sec. 15

[2] Hewitt, Edwin (květen 1960). "Integrace pomocí dílů pro integrály Stieltjes". Americký matematický měsíčník. 67 (5): 419–423. doi:10.2307/2309287. JSTOR 2309287.

[1]

[2]

Integrály
Typy integrálů	Riemannův integrál Lebesgueův integrál Burkillův integrál Bochnerův integrál Daniellův integrál Darboux integrální Henstock – Kurzweil integrální Haarův integrál Hellingerův integrál Khinchin integrální Kolmogorovův integrál Lebesgue – Stieltjes integrál Pettisův integrál Pfefferův integrál Riemann – Stieltjesův integrál Regulovaný integrál
Integrační metody	Díly Střídání Inverzní funkce Změna pořadí Trigonometrická substituce Eulerovo střídání Střídání Weierstrassem Dílčí zlomky Redukční vzorce Parametrické derivace Eulerův vzorec Diferenciace pod integrálním znaménkem Integrace kontury Numerická integrace
Nesprávné integrály	Gaussův integrál Dirichletův integrál Fermi – Diracův integrál kompletní neúplný Bose – Einsteinův integrál Frullani integrální Běžné integrály v teorii kvantového pole
Stochastické integrály	Je to integrální Russo – Valloisův integrál Stratonovichův integrál Skorokhod integrál