Termínový test - Term test

v matematika, nth-term test na divergenci^[1] je jednoduchý test pro divergence z nekonečná řada:

• Li ${displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} eq 0}$ nebo pokud limit neexistuje, pak ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n}}$ rozchází se.

Mnoho autorů tento test nepojmenuje nebo mu dá kratší název.^[2]

Při testování, zda se řada sbližuje nebo rozchází, je tento test kvůli jeho snadnému použití často zkontrolován jako první.

Používání

Na rozdíl od silnějšího konvergenční testy, pojem test sám o sobě nemůže dokázat, že série konverguje. Zejména konverzace k testu není pravdivá; místo toho lze říci jen:

• Li ${displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} = 0,}$ pak ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n}}$ může nebo nemusí konvergovat. Jinými slovy, pokud ${displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} = 0,}$ test je neprůkazný.

The harmonická řada je klasický příklad divergentní řady, jejíž podmínky se omezují na nulu.^[3] Obecnější třída p-série,

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {p}}},}$

ilustruje možné výsledky testu:

• Li p ≤ 0, pak pojem test identifikuje řadu jako divergentní.
• Pokud 0 < p ≤ 1, pak je termín test neprůkazný, ale řada se liší od integrální test konvergence.
• Pokud 1 < p, pak termín test je neprůkazný, ale řada je konvergentní, opět integrálním testem konvergence.

Důkazy

Test je obvykle prokázán v kontrapozitivní formulář:

• Li ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n}}$ tedy konverguje ${displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} = 0.}$

Omezit manipulaci

Li s_n jsou částečné součty řady, pak to předpokládá předpoklad, že řada konverguje

${displaystyle lim _ {n o infty} s_ {n} = L}$

pro nějaké číslo s. Pak^[4]

${displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} = lim _ {n o infty} (s_ {n} -s_ {n-1}) = lim _ {n o infty} s_ {n} -lim _ { n o infty} s_ {n-1} = LL = 0.}$

Cauchyho kritérium

Předpoklad, že řada konverguje, znamená, že prochází Cauchyho konvergenční test: pro každého ${displaystyle varepsilon> 0}$ existuje číslo N takhle

${displaystyle | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + ldots + a_ {n + p} |$

platí pro všechny n > N a p ≥ 1. Nastavení p = 1 obnovuje definici příkazu^[5]

${displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} = 0.}$

Rozsah

Nejjednodušší verze termínu test platí pro nekonečnou řadu reálná čísla. Výše uvedené dva důkazy, vyvoláním Cauchyova kritéria nebo linearity limitu, fungují také v jakémkoli jiném normovaný vektorový prostor^[6] (nebo jakákoli (aditivně napsaná) abelianská skupina).

Poznámky

Reference

• Brabenec, Robert (2005). Zdroje pro studium skutečné analýzy. MAA. ISBN  0883857375.
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Funkční analýza: Vstup do Hilbertova prostoru. World Scientific. ISBN  9812565639.
• Kaczor, Wiesława a Maria Nowak (2003). Problémy v matematické analýze. Americká matematická společnost. ISBN  0821820508.
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principy matematické analýzy (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN  0-07-054235-X.
• Stewart, James (1999). Kalkul: Brzy transcendentální (Ed. 4e). Brooks / Cole. ISBN  0-534-36298-2.
• Huhubi, Erdoğan S. (2003). Funkční analýza. Springer. ISBN  1402016166.