Geodetický mnohostěn - Geodesic polyhedron

3 konstrukce pro {3,5+}_6,0



Dvacetistěn a související mnohostěn symetrie lze použít k definování vysoce geodetického mnohostěnu rozdělením trojúhelníkových ploch na menší trojúhelníky a promítnutím všech nových vrcholů na kouli. Polygonální plochy vyššího řádu lze rozdělit na trojúhelníky přidáním nových vrcholů na střed každé plochy. Nové tváře v kouli nejsou rovnostranné trojúhelníky, ale mají přibližně stejnou délku hrany. Všechny vrcholy jsou valenční-6 kromě 12 vrcholů, které jsou valenční 5.

Konstrukce {3,5+}_3,3

Geodetické dělení lze provádět také z rozšířeného dvanáctistěnu, který rozděluje pětiúhelníky na trojúhelníky se středovým bodem a dále se dělí.

Konstrukce {3,5+}_6,3

Chirální mnohostěny s polygonálními plochami vyššího řádu lze rozšířit o středové body a nové trojúhelníkové plochy. Tyto trojúhelníky lze poté dále rozdělit na menší trojúhelníky pro nové geodetické mnohostěny. Všechny vrcholy jsou valenční-6 kromě 12 centrovaných na původní vrcholy, které jsou valenční 5.

Stavba smíšené geodetické formy

Geodetické členění lze také provést pomocí rozšířených čtvercových ploch, ačkoli výsledné trojúhelníky budou spíše u pravoúhlých trojúhelníků než u rovnostranných. Tento rhombicosidodecahedron příklad má 4 až 7 trojúhelníků kolem každého vrcholu.

A geodetický mnohostěn je konvexní mnohostěn z trojúhelníků. Obvykle mají ikosahedrální symetrie, takže mají na vrcholu 6 trojúhelníků, kromě 12 vrcholů, které mají 5 trojúhelníků. Jsou to dvojí odpovídajících Goldbergova mnohostěna s většinou šestihranných ploch.

Geodetické mnohostěny jsou dobrou aproximací sféry pro mnoho účelů a objevují se v mnoha různých kontextech. Nejznámější může být geodetické kopule navrhl Buckminster Fuller, podle nichž jsou pojmenovány geodetické mnohostěny. Geodetické sítě použito v geodézie mít také geometrii geodetických mnohostěnů. The kapsidy některých viry mít tvar geodetických mnohostěnů,^[1]^[2] a fulleren molekuly mají tvar Goldbergova mnohostěna. Geodetické mnohostěny jsou k dispozici jako geometrické primitivy v Softwarový balíček Blender pro 3D modelování, který je volá icospheres: jsou alternativou k UV koule, který má pravidelnější rozložení vrcholů než UV koule.^[3]^[4] The Konstrukce Goldberg – Coxeter je rozšíření konceptů, které jsou základem geodetické mnohostěny.

Geodetická notace

v Magnus Wenninger je Sférické modely, jsou uvedeny mnohostěny geodetická notace ve formě {3,q+}_b,C, kde {3,q} je Schläfliho symbol pro pravidelný mnohostěn s trojúhelníkovými plochami a q-mocenství vrcholy. The + symbol označuje valenci zvětšovaných vrcholů. b,C představují popis dělení, přičemž 1,0 představuje základní formulář. Existují 3 třídy symetrie formulářů: {3,3+}_1,0 pro čtyřstěn, {3,4+}_1,0 pro osmistěn a {3,5+}_1,0 pro dvacetistěnu.

Duální notace pro Goldbergova mnohostěna je {q+,3}_b,C, s valenčními 3 vrcholy, s q- úhlové a šestihranné tváře. K dispozici jsou 3 třídy symetrie formulářů: {3 +, 3}_1,0 pro čtyřstěn, {4+,3}_1,0 pro krychle a {5 +, 3}_1,0 pro dvanáctistěn.

Hodnoty pro b,C jsou rozděleny do tří tříd:

Třída I. (b = 0 nebo c = 0): {3,q+}_b,0 nebo {3,q+}_0,b představují jednoduché dělení s rozdělením původních hran b dílčí hrany.

Třída II (b = c): {3,q+}_b,b jsou lépe vidět z duální mnohostěn {q, 3} s q-gonal tváře nejprve rozděleny na trojúhelníky se středovým bodem a poté jsou všechny hrany rozděleny na b dílčí hrany.

Třída III: {3,q+}_b,C mít nenulové nerovné hodnoty pro b,Ca existují v chirálních párech. Pro b > C můžeme to definovat jako pravou formu, a C > b je levoruký formulář.

Pododdělení ve třídě III zde nesedí jednoduše s původními hranami. Podskupiny lze extrahovat pohledem na a trojúhelníkové obklady, umístění velkého trojúhelníku na vrcholky mřížky a turistické cesty z jednoho vrcholu b kroky v jednom směru a otočení ve směru nebo proti směru hodinových ručiček a pak další C kroky k dalšímu primárnímu vrcholu.

Například dvacetistěnu je {3,5+}_1,0, a pentakis dodecahedron, {3,5+}_1,1 je viděn jako pravidelný dvanáctistěn s pětiúhelníkovými plochami rozdělenými do 5 trojúhelníků.

Primární plocha dělení se nazývá a hlavní mnohostěnný trojúhelník (PPT) nebo struktura rozdělení. Výpočet jednoho PPT umožňuje vytvoření celého obrázku.

The frekvence geodetického mnohostěnu je definován součtem ν = b + C. A harmonický je subfrekvence a může být jakýmkoli celým dělitelem ν. Třída II má od roku vždy harmonickou 2 ν = 2b.

The triangulační číslo je T = b² + před naším letopočtem + C². Tento počet násobek počtu původních ploch vyjadřuje, kolik trojúhelníků bude mít nový mnohostěn.

**PPT s frekvencí 8**

Elementy

Počet prvků je určen číslem triangulace ${ displaystyle T = b ^ {2} + bc + c ^ {2}}$ . Dva různé geodetické mnohostěny mohou mít stejný počet prvků, například {3,5+}_5,3 a {3,5+}_7,0 oba mají T = 49.

Symetrie	Icosahedral	Osmistěn	Čtyřboká
Základna	Dvacetistěnu {3,5} = {3,5+}_1,0	Octahedron {3,4} = {3,4+}_1,0	Čtyřstěn {3,3} = {3,3+}_1,0
obraz
Symbol	{3,5+}_b,C	{3,4+}_b,C	{3,3+}_b,C
Vrcholy	${ displaystyle 10T + 2}$	${ displaystyle 4T + 2}$	${ displaystyle 2T + 2}$
Tváře	${ displaystyle 20T}$	${ displaystyle 8T}$	${ displaystyle 4T}$
Hrany	${ displaystyle 30T}$	${ displaystyle 12T}$	${ displaystyle 6T}$

Konstrukce

Geodetické mnohostěny jsou konstruovány rozdělením ploch jednodušších mnohostěnů a poté promítnutím nových vrcholů na povrch koule. Geodetický mnohostěn má přímé hrany a ploché plochy, které se přibližují ke kouli, ale může být také vytvořen jako sférický mnohostěn (A mozaikování na koule ) s pravdou geodetické zakřivené hrany na povrchu koule a sférický trojúhelník tváře.

Conway	u₃I = (kt) I	(k) ti	ktI
obraz
Formulář	3 frekvence rozdělit dvacetistěnu	Kis zkrácený dvacetistěn	Geodetický mnohostěn (3,0)	Sférický mnohostěn

V tomto případě {3,5+}_3,0, s frekvencí ${ displaystyle nu = 3}$ a triangulační číslo ${ displaystyle T = 9}$ , každá ze čtyř verzí mnohoúhelníku má 92 vrcholů (80, kde se spojuje šest hran, a 12, kde se spojuje pět hran), 270 hran a 180 ploch.

Vztah k Goldbergově mnohostěně

Geodetické mnohostěny jsou dvojníkem Goldbergových mnohostěnů. Goldbergovy mnohostěny souvisí také v aplikaci a operátor kis (dělící trojúhelníky ploch se středovým bodem) vytváří nové geodetické mnohostěny a zkrácení vrcholy geodetického mnohostěnu vytvoří nový Goldbergův mnohostěn. Například Goldberg G (2,1) kised, se stane {3,5+}_4,1a zkrácení, které se stane G (6,3). A podobně {3,5+}_2,1 zkrácen se stane G (4,1), a to kised stává se {3,5+}_6,3.

Příklady

Třída I.

Geodetická mnohostěna I. třídy
Frekvence	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)	(6,0)	(7,0)	(8,0)	(m,0)
T	1	4	9	16	25	36	49	64	m²
Tvář trojúhelník									...
Icosahedral									více
Osmistěn									více
Čtyřboká									více

Třída II

Geodetická mnohostěna třídy II
Frekvence	(1,1)	(2,2)	(3,3)	(4,4)	(5,5)	(6,6)	(7,7)	(8,8)	(m,m)
T	3	12	27	48	75	108	147	192	3m²
Tvář trojúhelník									...
Icosahedral									více
Osmistěn									více
Čtyřboká									více

Třída III

Třída III geodetické mnohostěn
Frekvence	(2,1)	(3,1)	(3,2)	(4,1)	4,2)	(4,3)	(5,1)	(5,2)	(m,n)
T	7	13	19	21	28	37	31	39	m²+mn+n²
Tvář trojúhelník									...
Icosahedral									více
Osmistěn									více
Čtyřboká									více

Sférické modely

Magnus Wenninger kniha Sférické modely zkoumá tyto členění v budově mnohostěnné modely. Poté, co vysvětlil konstrukci těchto modelů, vysvětlil jeho použití trojúhelníkových mřížek k vyznačení vzorů, přičemž v modelech byly barevné nebo vyloučené trojúhelníky.^[5]

Příklad modelu
Umělecký model vytvořený otcem Magnus Wenninger volala Objednávejte v chaosu, představující chirální podmnožinu trojúhelníků 16frekvenční dvacetistěny geodetická sféra, {3,5+}_16,0	Zobrazuje se virtuální kopie ikosahedrální symetrie velké kruhy. Šestinásobná rotační symetrie je iluzorní, na samotném ikosahedronu neexistuje.	Jediný dvacetistěnný trojúhelník s 16frekvenčním rozdělením

Viz také

Conwayova mnohostěnová notace

Reference

^ Caspar, D. L. D .; Klug, A. (1962). "Fyzikální principy při konstrukci pravidelných virů". Cold Spring Harb. Symp. Kvant. Biol. 27: 1–24. doi:10,1101 / sqb.1962.027.001.005. PMID 14019094.
^ Coxeter, H.S.M. (1971). "Virusové makromolekuly a geodetické dómy.". V Butcher, J. C. (ed.). Spektrum matematiky. Oxford University Press. 98–107.
^ „Mesh Primitives“, Referenční příručka mixéru, verze 2.77, vyvoláno 2016-06-11.
^ „Jaký je rozdíl mezi UV koulí a IKosférou?“. Mixér Stack Exchange.
^ Sférické modely, str. 150–159

Robert Williams Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu, 1979, s. 142–144, obrázek 4-49,50,51 Custery 12 koulí, 42 koulí, 92 koulí
Antony Pugh, Mnohostěn: vizuální přístup, 1976, kapitola 6. Geodetická mnohostěna R. Buckminstera Fullera a příbuzná mnohostěna
Wenninger, Magnus (1979), Sférické modely, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-29432-4, PAN 0552023, archivovány z originál 4. července 2008 Dotisk Dover 1999 ISBN 978-0-486-40921-4
Edward S. Popko, Rozdělené sféry: Geodetika a řádné rozdělení sféry (2012) Kapitola 8 Subdivision schemas, 8.1 Geodesic Notation, 8.2 Triangulation number 8.3 Frequency and Harmonics 8.4 Grid Symetry 8.5 Class I: Alternates and fords 8.5.1 Defining the Principal triangle 8.5.2 Edge Reference Points

[Caspar1962-1] Caspar, D. L. D .; Klug, A. (1962). "Fyzikální principy při konstrukci pravidelných virů". Cold Spring Harb. Symp. Kvant. Biol. 27: 1–24. doi:10,1101 / sqb.1962.027.001.005. PMID 14019094.

[2] Coxeter, H.S.M. (1971). "Virusové makromolekuly a geodetické dómy.". V Butcher, J. C. (ed.). Spektrum matematiky. Oxford University Press. 98–107.

[3] „Mesh Primitives“, Referenční příručka mixéru, verze 2.77, vyvoláno 2016-06-11.

[4] „Jaký je rozdíl mezi UV koulí a IKosférou?“. Mixér Stack Exchange.

[5] Sférické modely, str. 150–159

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]