Rovnoramenný trojúhelník - Isosceles triangle

Rovnoramenný trojúhelník
Rovnoramenný trojúhelník se svislou osou symetrie
Typ	trojúhelník
Hrany a vrcholy	3
Schläfliho symbol	( ) ∨ { }
Skupina symetrie	Dih2, [], (*), objednávka 2
Duální mnohoúhelník	Self-dual
Vlastnosti	konvexní, cyklický

v geometrie, an rovnoramenný trojúhelník je trojúhelník která má dvě strany stejné délky. Někdy je uvedeno, že má přesně dvě strany stejné délky a někdy jako alespoň dvě strany stejné délky, druhá verze tedy zahrnuje rovnostranný trojúhelník jako speciální případ Mezi příklady rovnoramenných trojúhelníků patří rovnoramenný pravý trojúhelník, zlatý trojúhelník a tváře bipyramidy a jisté Katalánština pevné látky.

Matematické studium rovnoramenných trojúhelníků sahá až do roku staroegyptská matematika a Babylonská matematika. Rovnoramenné trojúhelníky byly použity jako dekorace ještě v dřívějších dobách a často se objevují v architektuře a designu, například v štíty a štíty budov.

Dvě stejné strany se nazývají nohy a třetí strana se nazývá základna trojúhelníku. Ostatní rozměry trojúhelníku, jako je jeho výška, plocha a obvod, lze vypočítat pomocí jednoduchých vzorců z délek nohou a základny. Každý rovnoramenný trojúhelník má osu symetrie podél kolmá osa jeho základny. Dva úhly naproti nohám jsou stejné a vždy akutní, takže klasifikace trojúhelníku jako akutního, pravého nebo tupého závisí pouze na úhlu mezi jeho dvěma rameny.

Terminologie, klasifikace a příklady

Euklid definoval rovnoramenný trojúhelník jako trojúhelník s přesně dvěma stejnými stranami,^[1] ale moderní léčba dává přednost definování rovnoramenných trojúhelníků, které mají alespoň dvě stejné strany. Rozdíl mezi těmito dvěma definicemi spočívá v tom, že moderní verze dělá z rovnostranných trojúhelníků (se třemi stejnými stranami) zvláštní případ rovnoramenných trojúhelníků.^[2] Říká se trojúhelník, který není rovnoramenný (má tři nerovné strany) scalene.^[3]"Rovnoramenný" je vyroben z Řecké kořeny „isos“ (stejné) a „skelos“ (noha). Stejné slovo se používá například pro rovnoramenné lichoběžníky, lichoběžníky se dvěma stejnými stranami,^[4] a pro rovnoramenné sady, sady bodů, z nichž každé tři tvoří rovnoramenný trojúhelník.^[5]

V rovnoramenném trojúhelníku, který má přesně dvě stejné strany, se volají stejné strany nohy a třetí strana se nazývá základna. Úhel zahrnutý nohama se nazývá úhel vrcholu a úhly, které mají základnu jako jednu ze svých stran, se nazývají základní úhly.^[6] Vrchol naproti základně se nazývá vrchol.^[7] V případě rovnostranného trojúhelníku, protože všechny strany jsou stejné, lze kteroukoli stranu nazvat základnou.^[8]

Speciální rovnoramenné trojúhelníky

Rovnoramenný pravý trojúhelník

Tři shodné vepsané čtverce v Calabi trojúhelník

A zlatý trojúhelník rozdělené na menší zlatý trojúhelník a zlatý gnomon

The triakis trojúhelníkový obklad

Katalánská tělesa s rovnoramennými trojúhelníkovými plochami

Triakis čtyřstěn

Triakis octahedron

Tetrakis hexahedron

Pentakis dodecahedron

Triakis icosahedron

Zda je rovnoramenný trojúhelník akutní, pravý nebo tupý záleží pouze na úhlu na jeho vrcholu. v Euklidovská geometrie, základní úhly nemohou být tupé (větší než 90 °) nebo pravé (rovné 90 °), protože jejich míry by činily alespoň 180 °, tedy součet všech úhlů v jakémkoli euklidovském trojúhelníku.^[8] Vzhledem k tomu, že trojúhelník je tupý nebo pravý právě tehdy, když je jeden z jeho úhlů tupý nebo pravý, je rovnoramenný trojúhelník tupý, pravý nebo akutní právě tehdy, je-li jeho vrcholový úhel tupý, pravý nebo akutní.^[7] v Edwin Abbott kniha Flatland, tato klasifikace tvarů byla použita jako satira sociální hierarchie: rovnoramenné trojúhelníky představovaly Dělnická třída, s ostrými rovnoramennými trojúhelníky vyššími v hierarchii než pravými nebo tupými rovnoramennými trojúhelníky.^[9]

Stejně jako rovnoramenný pravý trojúhelník, bylo studováno několik dalších specifických tvarů rovnoramenných trojúhelníků. Mezi ně patří Calabi trojúhelník (trojúhelník se třemi shodnými vepsanými čtverci),^[10] the zlatý trojúhelník a zlatý gnomon (dva rovnoramenné trojúhelníky, jejichž strany a základna jsou v Zlatý řez ),^[11] trojúhelník 80-80-20, který se objevuje v Langley's Adventitious Angles hádanka,^[12] a trojúhelník 30-30-120 triakis trojúhelníkový obklad.Pět Katalánština pevné látky, triakis čtyřstěn, triakis octahedron, tetrakis hexahedron, pentakis dodecahedron, a triakis icosahedron, každý má rovnoramenné trojúhelníkové tváře, stejně jako nekonečně mnoho pyramidy^[8] a bipyramidy.^[13]

Vzorce

Výška

Pro libovolný rovnoramenný trojúhelník následujících šest úsečky shodovat se:

• the nadmořská výška, úsečka od vrcholu kolmo k základně,^[14]
• the úhlová osa od vrcholu k základně,^[14]
• the medián od vrcholu ke středu základny,^[14]
• the kolmá osa základny v trojúhelníku,^[14]
• segment v trojúhelníku jedinečného osa symetrie trojúhelníku a^[14]
• segment uvnitř trojúhelníku Eulerova linie trojúhelníku, kromě případů, kdy trojúhelník je rovnostranný.^[15]

Jejich společná délka je výška ${ displaystyle h}$ Pokud má trojúhelník stejné strany délky ${ displaystyle a}$ a základna délky ${ displaystyle b}$, obecné trojúhelníkové vzorce pro délky těchto segmentů se všechny zjednodušují na^[16]

${ displaystyle h = { frac {1} {2}} { sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}.}$

Tento vzorec lze také odvodit z Pythagorova věta s využitím skutečnosti, že nadmořská výška rozděluje základnu a rozděluje rovnoramenný trojúhelník na dva shodné pravé trojúhelníky.^[17]

Eulerova linie libovolného trojúhelníku prochází trojúhelníky ortocentrum (průsečík jeho tří nadmořských výšek), jeho těžiště (průsečík jeho tří středů) a jeho circumcenter (průsečík kolmých přímek jeho tří stran, který je také středem kružnice, která prochází třemi vrcholy). V rovnoramenném trojúhelníku s přesně dvěma stejnými stranami jsou tyto tři body odlišné a (podle symetrie) leží všechny na ose symetrie trojúhelníku, ze kterého vyplývá, že Eulerova linie se shoduje s osou symetrie. The stimulant trojúhelníku leží také na Eulerově linii, což pro jiné trojúhelníky neplatí.^[15] Pokud se v daném trojúhelníku shodují libovolné dva úseky úhlu, střední hodnoty nebo nadmořské výšky, musí být tento trojúhelník rovnoramenné.^[18]

Plocha

Oblast ${ displaystyle T}$ rovnoramenného trojúhelníku lze odvodit ze vzorce pro jeho výšku a z obecného vzorce pro oblast trojúhelníku jako polovinu součinu základny a výšky:^[16]

${ displaystyle T = { frac {b} {4}} { sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}.}$

Stejný plošný vzorec lze také odvodit z Heronův vzorec pro oblast trojúhelníku z jeho tří stran. Přímé použití Heronova vzorce však může být numericky nestabilní pro rovnoramenné trojúhelníky s velmi ostrými úhly, kvůli téměř zrušení mezi semiperimetr a délka strany v těchto trojúhelnících.^[19]

Pokud vrcholový úhel ${ displaystyle ( theta)}$ a délky nohou ${ displaystyle (a)}$ rovnoramenného trojúhelníku jsou známy, pak oblast tohoto trojúhelníku je:^[20]

${ displaystyle T = { frac {1} {2}} a ^ {2} sin theta.}$

Toto je speciální případ obecného vzorce pro oblast trojúhelníku jako poloviční součin dvou stran vynásobený sinusem zahrnutého úhlu.^[21]

Obvod

Obvod ${ displaystyle p}$ rovnoramenného trojúhelníku se stejnými stranami ${ displaystyle a}$ a základna ${ displaystyle b}$ je jen^[16]

${ displaystyle p = 2a + b.}$

Jako v každém trojúhelníku, oblast ${ displaystyle T}$ a obvod ${ displaystyle p}$ jsou ve spojení s izoperimetrická nerovnost^[22]

${ displaystyle p ^ {2}> 12 { sqrt {3}} T.}$

Jedná se o přísnou nerovnost pro rovnoramenné trojúhelníky se stranami nerovnými základně a stává se rovností pro rovnostranný trojúhelník. Plocha, obvod a základ mohou být navzájem spojeny rovnicí^[23]

${ displaystyle 2pb ^ {3} -p ^ {2} b ^ {2} + 16T ^ {2} = 0.}$

Pokud jsou základna a obvod pevné, pak tento vzorec určuje plochu výsledného rovnoramenného trojúhelníku, což je maximum ze všech trojúhelníků se stejnou základnou a obvodem.^[24]Na druhou stranu, pokud jsou plocha a obvod pevné, lze tento vzorec použít k obnovení základní délky, ale ne jednoznačně: obecně existují dva odlišné rovnoramenné trojúhelníky s danou plochou ${ displaystyle T}$ a obvod ${ displaystyle p}$. Když se izoperimetrická nerovnost stane rovností, existuje pouze jeden takový trojúhelník, který je rovnostranný.^[25]

Délka úhlové osy

Pokud mají dvě stejné strany délku ${ displaystyle a}$ a druhá strana má délku ${ displaystyle b}$, pak interní úhlová osa ${ displaystyle t}$ z jednoho ze dvou stejně úhlových vrcholů splňuje^[26]

${ displaystyle { frac {2ab} {a + b}}> t> { frac {ab { sqrt {2}}} {a + b}}}$

stejně jako

${ displaystyle t <{ frac {4a} {3}};}$

a naopak, pokud platí druhá podmínka, rovnoramenný trojúhelník parametrizovaný podle ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle t}$ existuje.^[27]

The Steiner – Lehmusova věta uvádí, že každý trojúhelník se dvěma úhlovými přímkami stejné délky je rovnoramenný. To bylo formulováno v roce 1840 C. L. Lehmus. Je to další jmenovec, Jakob Steiner, byl jedním z prvních, kdo poskytl řešení.^[28]Ačkoli byl původně formulován pouze pro vnitřní úhlové přímky, funguje to pro mnoho (ale ne všechny) případů, kdy jsou místo toho dvě vnější úhlové přímky stejné. 30-30-120 rovnoramenný trojúhelník vytváří hraniční případ pro tuto variantu věty, protože má čtyři půlící úhly se stejným úhlem (dvě vnitřní, dvě vnější).^[29]

Poloměry

Rovnoramenný trojúhelník zobrazující jeho středový (modrý), těžiště (červený), incenter (zelený) a osu symetrie (fialový)

Vzorce inradius a circumradius pro rovnoramenný trojúhelník lze odvodit z jejich vzorců pro libovolné trojúhelníky.^[30]Poloměr vepsaný kruh rovnoramenného trojúhelníku s délkou strany ${ displaystyle a}$, základna ${ displaystyle b}$a výška ${ displaystyle h}$ je:^[16]

${ displaystyle { frac {2ab-b ^ {2}} {4h}}.}$

Střed kruhu leží na ose symetrie trojúhelníku, v této vzdálenosti nad základnou. Rovnoramenný trojúhelník má největší možnou vepsanou kružnici mezi trojúhelníky se stejnou základnou a vrcholovým úhlem a má také největší plochu a obvod mezi stejnou třídou trojúhelníků.^[31]

Poloměr opsaná kružnice je:^[16]

${ displaystyle { frac {a ^ {2}} {2h}}.}$

Střed kruhu leží na ose symetrie trojúhelníku, tato vzdálenost je pod vrcholem.

Vepsaný čtverec

Pro jakýkoli rovnoramenný trojúhelník existuje jedinečný čtverec s jednou stranou kolineární se základnou trojúhelníku a dvěma protilehlými rohy po jeho stranách. The Calabi trojúhelník je speciální rovnoramenný trojúhelník s vlastností, že další dva vepsané čtverce se stranami kolineárními se stranami trojúhelníku mají stejnou velikost jako základní čtverec.^[10] Mnohem starší věta, zachovaná v pracích Hrdina Alexandrie, uvádí, že pro rovnoramenný trojúhelník se základnou ${ displaystyle b}$ a výška ${ displaystyle h}$, délka strany vepsaného čtverce na základně trojúhelníku je^[32]

${ displaystyle { frac {bh} {b + h}}.}$

Rovnoramenné dělení jiných tvarů

Rozdělení a cyklický pětiúhelník do rovnoramenných trojúhelníků o poloměrech jeho kruhového kruhu

Pro jakékoli celé číslo ${ displaystyle n geq 4}$, jakýkoli trojúhelník lze rozdělit na ${ displaystyle n}$ rovnoramenné trojúhelníky.^[33]V pravoúhlý trojuhelník, medián z přepony (tj. úsečka od středu přepony do pravoúhlého vrcholu) rozdělí pravý trojúhelník na dva rovnoramenné trojúhelníky. Je to proto, že střed přepony je středem přepony obvod pravého trojúhelníku a každý ze dvou trojúhelníků vytvořených přepážkou má dva stejné poloměry jako dvě jeho strany.^[34]Podobně an akutní trojúhelník může být rozdělena do tří rovnoramenných trojúhelníků segmenty z jeho circumcenteru,^[35] ale tato metoda nefunguje u tupých trojúhelníků, protože circumcenter leží mimo trojúhelník.^[30]

Zobecnění rozdělení ostrého trojúhelníku, jakékoli cyklický mnohoúhelník který obsahuje střed jeho opsané kružnice, lze rozdělit na rovnoramenné trojúhelníky pomocí poloměrů této kružnice přes její vrcholy. Skutečnost, že všechny poloměry kruhu mají stejnou délku, znamená, že všechny tyto trojúhelníky jsou rovnoramenné. Tento oddíl lze použít k odvození vzorce pro plochu mnohoúhelníku v závislosti na délce jeho strany, a to i pro cyklické polygony, které neobsahují jejich obvody. Tento vzorec zobecňuje Heronův vzorec pro trojúhelníky a Brahmaguptův vzorec pro cyklické čtyřstěny.^[36]

Buď úhlopříčka a kosočtverec rozděluje na dvě části shodný rovnoramenné trojúhelníky. Podobně jedna ze dvou úhlopříček ofa papírový drak rozděluje jej na dva rovnoramenné trojúhelníky, které nejsou shodné, kromě případů, kdy je drak kosočtverec.^[37]

Aplikace

V architektuře a designu

Tupý rovnoramenný štít Pantheon, Řím

Akutní rovnoramenné štíty přes portál Saint-Etienne, Notre-Dame de Paris

Rovnoramenné trojúhelníky se běžně vyskytují v architektura jako tvary štíty a štíty. v starořecká architektura a jeho pozdější napodobeniny byl použit tupý rovnoramenný trojúhelník; v Gotická architektura toto bylo nahrazeno ostrým rovnoramenným trojúhelníkem.^[8]

V architektura středověku, stal se populárním další rovnoramenný trojúhelníkový tvar: egyptský rovnoramenný trojúhelník. Toto je rovnoramenný trojúhelník, který je akutní, ale méně než rovnostranný trojúhelník; jeho výška je úměrná 5/8 základny.^[38] Egyptský rovnoramenný trojúhelník byl znovu použit v moderní architektuře nizozemským architektem Hendrik Petrus Berlage.^[39]

Detailní pohled na upravený Warrenův krov s vertikálami

Warrenův krov struktury, jako jsou mosty, jsou běžně uspořádány do rovnoramenných trojúhelníků, i když někdy jsou pro větší pevnost zahrnuty i svislé nosníky.^[40]Povrchy mozaikový tupými rovnoramennými trojúhelníky lze použít k vytvoření rozmístitelné struktury které mají dva stabilní stavy: rozložený stav, ve kterém se povrch roztahuje na válcový sloup, a složený stav, ve kterém se složí do kompaktnějšího tvaru hranolu, který lze snadněji transportovat.^[41]

Guyanská vlajka

Vlajka Svaté Lucie

v grafický design a dekorativní umění Rovnoramenné trojúhelníky byly častým designovým prvkem v kulturách po celém světě přinejmenším od Raně neolitický^[42] do moderní doby.^[43] Jsou běžným designovým prvkem v vlajky a heraldika, které se objevují prominentně se svislou základnou, například v Guyanská vlajka, nebo s vodorovnou základnou v vlajka Svaté Lucie, kde vytvářejí stylizovaný obraz horského ostrova.^[44]

Byly také použity v designech s náboženským nebo mystickým významem, například v Šrí Jantra z Hinduistická meditační praxe.^[45]

V jiných oblastech matematiky

Pokud kubická rovnice se skutečnými koeficienty má tři kořeny, které nejsou všechny reálná čísla, pak když jsou tyto kořeny zakresleny do složité letadlo jako Argandův diagram tvoří vrcholy rovnoramenného trojúhelníku, jehož osa symetrie se shoduje s horizontální (skutečnou) osou. Je to proto, že komplexní kořeny jsou komplexní konjugáty a proto jsou symetrické kolem skutečné osy.^[46]

v nebeská mechanika, problém se třemi těly bylo studováno ve zvláštním případě, že tři těla tvoří rovnoramenný trojúhelník, protože za předpokladu, že těla jsou uspořádána tímto způsobem, se snižuje počet stupně svobody systému, aniž by se snížil na vyřešený Lagrangeův bod případ, kdy tělesa tvoří rovnostranný trojúhelník. První případy problému se třemi těly, u nichž se ukázalo, že mají neomezené oscilace, byly v rovnoramenném problému se třemi těly.^[47]

Historie a omyly

Dlouho předtím, než byly studovány rovnoramenné trojúhelníky starořečtí matematici, praktici z Staroegyptská matematika a Babylonská matematika věděl, jak vypočítat jejich plochu. Problémy tohoto typu jsou zahrnuty v Moskevský matematický papyrus a Rhind Mathematical Papyrus.^[48]

Věta, že základní úhly rovnoramenného trojúhelníku jsou stejné, se v Euklidovi jeví jako Proposition I.5.^[49] Tento výsledek se nazývá pons asinorum (můstek oslů) nebo věta o rovnoramenném trojúhelníku. Konkurenční vysvětlení tohoto jména zahrnují teorii, že je to proto, že diagram použitý Euklidem při jeho demonstraci výsledku připomíná most, nebo proto, že se jedná o první obtížný výsledek v Euklidovi, a slouží k oddělení těch, kteří rozumějí Euklidově geometrii od kdo nemůže.^[50]

Dobře známý klam je falešný důkaz tvrzení, že všechny trojúhelníky jsou rovnoramenné. Robin Wilson připisuje tento argument Lewis Carroll,^[51] kdo to publikoval v roce 1899, ale W. W. Rouse Ball publikoval to v roce 1892 a později napsal, že Carroll získal argument od něj.^[52] Klam má kořeny v Euklidově nedostatečném uznání pojmu mezi a výsledná nejednoznačnost uvnitř proti mimo čísel.^[53]

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W., „Rovnoramenný trojúhelník“, MathWorld