Katalánština pevná - Catalan solid

Triakis čtyřstěn, pětiúhelníkový icositetrahedron a disdyakis triacontahedron. První a poslední lze popsat jako nejmenší a největší katalánskou pevnou látku.

Pevné látky nahoře (tmavé) zobrazené společně s jejich duálními (světlé). Viditelné části katalánských pevných látek jsou pravidelné pyramidy.

A kosočtverečný dvanáctistěn s jeho konfigurace obličeje.

v matematika, a Katalánština pevnánebo Archimédův duální, je duální mnohostěn do Archimédův pevný. Existuje 13 katalánských pevných látek. Jsou pojmenovány pro belgický matematik, Eugène Catalan, který je poprvé popsal v roce 1865.

Katalánské pevné látky jsou všechny konvexní. Oni jsou tvář-tranzitivní ale ne vrchol-tranzitivní. Je tomu tak proto, že duální archimédovské pevné látky jsou přechodné vrcholem a nikoli přechodové. Všimněte si, že na rozdíl od Platonické pevné látky a Archimédovy pevné látky, jsou tváře katalánských těles ne pravidelné mnohoúhelníky. Nicméně vrcholové postavy katalánských pevných látek jsou pravidelné a mají konstantní vzepětí. Katalánské pevné látky jsou přechodné na obličej isohedra.

Kromě toho jsou dvě z katalánských pevných látek hrana tranzitivní: kosočtverečný dvanáctistěn a kosočtverečný triacontahedron. Tohle jsou duální ze dvou kvazi pravidelný Archimédovy pevné látky.

Stejně jako hranoly a antiprismy nejsou obecně považovány za archimédské pevné látky, takže bipyramidy a lichoběžník nejsou obecně považovány za katalánské pevné látky, přestože jsou přechodné.

Dva z katalánských pevných látek jsou chirální: pětiúhelníkový icositetrahedron a pětiúhelníkový hexekontahedron, duální na chirál urážka kostka a urážet dvanáctistěn. Každý z nich přichází ve dvou enantiomorfy. Nepočítáme-li enantiomorfy, bipyramidy a lichoběžníky, existuje celkem 13 katalánských pevných látek.

Symetrie

Katalánští pevní látky spolu s jejich dvojím Archimédovy pevné látky, lze rozdělit do skupin s čtyřboká, osmistěnná a ikosaedrální symetrie. Pro osmiboká i ikosaedrální symetrii existuje šest forem. Jediným katalánským tělesem se skutečnou čtyřboká symetrií je triakis čtyřstěn (duální z zkrácený čtyřstěn ). Kosočtverečný dvanáctistěn a tetrakis hexahedron mají osmistěnu symetrii, ale mohou být zbarveny tak, aby měly pouze čtyřboká symetrii. Oprava a urážky existují také se čtyřboká symetrií, ale jsou Platonický namísto Archimedeana, takže jejich duály jsou platonické místo katalánštiny. (V tabulce níže jsou zobrazeny s hnědým pozadím.)

Čtyřboká symetrie

Archimedean (Platonický)
Katalánština (Platonický)

Oktaedrická symetrie

Archimedean
Katalánština

Ikosahedrální symetrie

Archimedean
Katalánština

Seznam

název (Dvojí název) Conway jméno	Obrázky	Ortogonální drátové modely	Tvář polygon	Úhly obličeje (°)	Dihedrální úhel (°)	Tváře	Hrany	Vert	Sym.
triakis čtyřstěn (zkrácený čtyřstěn ) „kT“			Rovnoramenný V3.6.6	112.885 33.557 33.557	129.521	12	18	8	Td
kosočtverečný dvanáctistěn (cuboctahedron ) „jC“			Kosočtverec V3.4.3.4	70.529 109.471 70.529 109.471	120	12	24	14	Óh
triakis octahedron (zkrácená kostka ) „kO“			Rovnoramenný V3.8.8	117.201 31.400 31.400	147.350	24	36	14	Óh
tetrakis hexahedron (zkrácený osmistěn ) „kC“			Rovnoramenný V4.6.6	83.621 48.190 48.190	143.130	24	36	14	Óh
deltoidní icositetrahedron (kosočtverec ) "oC"			papírový drak V3.4.4.4	81.579 81.579 81.579 115.263	138.118	24	48	26	Óh
disdyakis dodecahedron (zkrácený cuboctahedron ) „mC“			Scalene V4.6.8	87.202 55.025 37.773	155.082	48	72	26	Óh
pětiúhelníkový icositetrahedron (urážka kostka ) „gC“			Pentagon V3.3.3.3.4	114.812 114.812 114.812 114.812 80.752	136.309	24	60	38	Ó
kosočtverečný triacontahedron (icosidodecahedron ) „jD“			Kosočtverec V3.5.3.5	63.435 116.565 63.435 116.565	144	30	60	32	Jáh
triakis icosahedron (zkrácený dvanáctistěn ) „kI“			Rovnoramenný V3.10.10	119.039 30.480 30.480	160.613	60	90	32	Jáh
pentakis dodecahedron (zkrácený dvacetistěn ) "kD"			Rovnoramenný V5.6.6	68.619 55.691 55.691	156.719	60	90	32	Jáh
deltoidní hexekontahedron (rhombicosidodecahedron ) „oD“			papírový drak V3.4.5.4	86.974 67.783 86.974 118.269	154.121	60	120	62	Jáh
disdyakis triacontahedron (zkrácený icosidodecahedron ) „mD“			Scalene V4.6.10	88.992 58.238 32.770	164.888	120	180	62	Jáh
pětiúhelníkový hexekontahedron (urážet dvanáctistěn ) „gD“			Pentagon V3.3.3.3.5	118.137 118.137 118.137 118.137 67.454	153.179	60	150	92	Já

Geometrie

Všechno vzepětí katalánské pevné látky jsou si rovni. Označme jejich hodnotu pomocí ${ displaystyle theta}$ , a označující úhel obličeje ve vrcholech, kde ${ displaystyle p}$ tváře splňují ${ displaystyle alpha _ {p}}$, my máme

${ displaystyle sin ( theta / 2) = cos ( pi / p) / cos ( alpha _ {p} / 2)}$.

To lze použít k výpočtu ${ displaystyle theta}$ a ${ displaystyle alpha _ {p}}$, ${ displaystyle alpha _ {q}}$, ... , z ${ displaystyle p}$, ${ displaystyle q}$ ... pouze.

Trojúhelníkové tváře

Z 13 katalánských pevných látek má 7 trojúhelníkové plochy. Jsou ve tvaru Vp.q.r, kde p, q a r mají své hodnoty mezi 3, 4, 5, 6, 8 a 10. Úhly ${ displaystyle alpha _ {p}}$, ${ displaystyle alpha _ {q}}$ a ${ displaystyle alpha _ {r}}$ lze vypočítat následujícím způsobem. Dát ${ displaystyle a = 4 cos ^ {2} ( pi / p)}$, ${ displaystyle b = 4 cos ^ {2} ( pi / q)}$, ${ displaystyle c = 4 cos ^ {2} ( pi / r)}$ a dal

${ displaystyle S = -a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} + 2ab + 2bc + 2ca}$.

Pak

${ displaystyle cos ( alpha _ {p}) = { frac {S} {2bc}} - 1}$,

${ displaystyle sin ( alpha _ {p} / 2) = { frac {-a + b + c} {2 { sqrt {bc}}}}}$.

Pro ${ displaystyle alpha _ {q}}$ a ${ displaystyle alpha _ {r}}$ výrazy jsou samozřejmě podobné. The vzepětí úhel ${ displaystyle theta}$ lze vypočítat z

${ displaystyle cos ( theta) = 1-2abc / S}$.

To platí například pro disdyakis triacontahedron (${ displaystyle p = 4}$, ${ displaystyle q = 6}$ a ${ displaystyle r = 10}$, proto ${ displaystyle a = 2}$, ${ displaystyle b = 3}$ a ${ displaystyle c = phi +2}$, kde ${ displaystyle phi}$ je Zlatý řez ) dává ${ displaystyle cos ( alpha _ {4}) = { frac {2- phi} {6 (2+ phi)}} = { frac {7-4 phi} {30}}}$ a ${ displaystyle cos ( theta) = { frac {-10-7 phi} {14 + 5 phi}} = { frac {-48 phi -155} {241}}}$.

Čtyřstranné tváře

Z 13 katalánských těles mají 4 čtverhranné plochy. Jedná se o tvar Vp.q.p.r, kde p, q a r mají své hodnoty mezi 3, 4 a 5. Úhel ${ displaystyle alpha _ {p}}$lze vypočítat podle následujícího vzorce:

${ displaystyle cos ( alpha _ {p}) = { frac {2 cos ^ {2} ( pi / p) - cos ^ {2} ( pi / q) - cos ^ {2 } ( pi / r)} {2 cos ^ {2} ( pi / p) +2 cos ( pi / q) cos ( pi / r)}}}$.

Z tohoto, ${ displaystyle alpha _ {q}}$, ${ displaystyle alpha _ {r}}$ a úhel vzepětí lze snadno vypočítat. Případně dát ${ displaystyle a = 4 cos ^ {2} ( pi / p)}$, ${ displaystyle b = 4 cos ^ {2} ( pi / q)}$, ${ displaystyle c = 4 cos ^ {2} ( pi / p) +4 cos ( pi / q) cos ( pi / r)}$. Pak ${ displaystyle alpha _ {p}}$ a ${ displaystyle alpha _ {q}}$ lze nalézt použitím vzorců pro trojúhelníkový případ. Úhel ${ displaystyle alpha _ {r}}$ lze samozřejmě vypočítat podobně. Tváře jsou draci, nebo když ${ displaystyle q = r}$, kosočtverec.To platí například pro deltoidní icositetrahedron (${ displaystyle p = 4}$, ${ displaystyle q = 3}$ a ${ displaystyle r = 4}$), dostaneme ${ displaystyle cos ( alpha _ {4}) = { frac {1} {2}} - { frac {1} {4}} { sqrt {2}}}$.

Pětiúhelníkové tváře

Z 13 katalánských pevných látek mají 2 pětiúhelníkové plochy. Jedná se o tvar Vp.p.p.p.q, kde p = 3 a q = 4 nebo 5. Úhel ${ displaystyle alpha _ {p}}$lze vypočítat řešením rovnice stupně tři:

${ displaystyle 8 cos ^ {2} ( pi / p) cos ^ {3} ( alpha _ {p}) - 8 cos ^ {2} ( pi / p) cos ^ {2} ( alpha _ {p}) + cos ^ {2} ( pi / q) = 0}$.

Metrické vlastnosti

Pro katalánskou pevnou látku ${ displaystyle { bf {C}}}$ nechat ${ displaystyle { bf {A}}}$ být dvojí ve vztahu k midsphere z ${ displaystyle { bf {C}}}$. Pak ${ displaystyle { bf {A}}}$ je Archimédovo těleso se stejnou střední sférou. Označte délku okrajů ${ displaystyle { bf {A}}}$ podle ${ displaystyle l}$. Nechat ${ displaystyle r}$ být inradius tváří ${ displaystyle { bf {C}}}$, ${ displaystyle r_ {m}}$ střední poloměr ${ displaystyle { bf {C}}}$ a ${ displaystyle { bf {A}}}$, ${ displaystyle r_ {i}}$ inradius z ${ displaystyle { bf {C}}}$, a ${ displaystyle r_ {c}}$ poloměr z ${ displaystyle { bf {A}}}$. Pak mohou být tato množství vyjádřena v ${ displaystyle l}$ a úhel vzepětí ${ displaystyle theta}$ jak následuje:

${ displaystyle r ^ {2} = { frac {l ^ {2}} {8}} (1- cos theta)}$,

${ displaystyle r_ {m} ^ {2} = { frac {l ^ {2}} {4}} { frac {1- cos theta} {1+ cos theta}}}$,

${ displaystyle r_ {i} ^ {2} = { frac {l ^ {2}} {8}} { frac {(1- cos theta) ^ {2}} {1+ cos theta }}}$,

${ displaystyle r_ {c} ^ {2} = { frac {l ^ {2}} {2}} { frac {1} {1+ cos theta}}}$.

Tato množství souvisí s ${ displaystyle r_ {m} ^ {2} = r_ {i} ^ {2} + r ^ {2}}$, ${ displaystyle r_ {c} ^ {2} = r_ {m} ^ {2} + l ^ {2} / 4}$ a ${ displaystyle r_ {i} r_ {c} = r_ {m} ^ {2}}$.

Jako příklad, pojďme ${ displaystyle { bf {A}}}$ být cuboctahedron s délkou hrany ${ displaystyle l = 1}$. Pak ${ displaystyle { bf {C}}}$ je kosočtverečný dvanáctistěn. Použití vzorce pro čtyřstranné plochy pomocí ${ displaystyle p = 4}$ a ${ displaystyle q = r = 3}$ dává ${ displaystyle cos theta = -1 / 2}$, proto ${ displaystyle r_ {i} = 3/4}$, ${ displaystyle r_ {m} = { frac {1} {2}} { sqrt {3}}}$, ${ displaystyle r_ {c} = 1}$, ${ displaystyle r = { frac {1} {4}} { sqrt {3}}}$.

Všechny vrcholy ${ displaystyle { bf {C}}}$ typu ${ displaystyle p}$ leží na kouli s poloměrem ${ displaystyle r_ {c, p}}$ dána

${ displaystyle r_ {c, p} ^ {2} = r_ {i} ^ {2} + { frac {2r ^ {2}} {1- cos alpha _ {p}}}}$,

a podobně pro ${ displaystyle q, r, ldots}$.

Duálně existuje koule, která se dotýká všech tváří ${ displaystyle { bf {A}}}$ které jsou pravidelné ${ displaystyle p}$-gons (a podobně pro ${ displaystyle q, r, ldots}$) v jejich středu. Poloměr ${ displaystyle r_ {i, p}}$ této sféry je dáno

${ displaystyle r_ {i, p} ^ {2} = r_ {m} ^ {2} - { frac {l ^ {2}} {4}} cot ^ {2} ( pi / p)}$.

Tyto dva poloměry souvisí s ${ displaystyle r_ {i, p} r_ {c, p} = r_ {m} ^ {2}}$. Pokračování výše uvedeného příkladu: ${ displaystyle cos alpha _ {3} = - 1/3}$ a ${ displaystyle cos alpha _ {4} = 1/3}$, což dává ${ displaystyle r_ {c, 3} = { frac {3} {8}} { sqrt {6}}}$, ${ displaystyle r_ {c, 4} = { frac {3} {4}} { sqrt {2}}}$, ${ displaystyle r_ {i, 3} = { frac {1} {3}} { sqrt {6}}}$ a ${ displaystyle r_ {i, 4} = { frac {1} {2}} { sqrt {2}}}$.

Li ${ displaystyle P}$ je vrchol ${ displaystyle { bf {C}}}$ typu ${ displaystyle p}$, ${ displaystyle e}$ okraj ${ displaystyle { bf {C}}}$ začínající na ${ displaystyle P}$, a ${ displaystyle P ^ { prime}}$ bod, kde je hrana ${ displaystyle e}$ se dotýká prostřední sféry ${ displaystyle { bf {C}}}$, označte vzdálenost ${ displaystyle PP ^ { prime}}$ podle ${ displaystyle l_ {p}}$. Pak okraje ${ displaystyle { bf {C}}}$ spojování vrcholů typu ${ displaystyle p}$ a zadejte ${ displaystyle q}$ mít délku ${ displaystyle l_ {p, q} = l_ {p} + l_ {q}}$. Tato množství lze vypočítat pomocí

${ displaystyle l_ {p} = { frac {l} {2}} { frac { cos ( pi / p)} { sin ( alpha _ {p} / 2)}}}$,

a podobně pro ${ displaystyle q, r, ldots}$. Pokračování výše uvedeného příkladu: ${ displaystyle sin ( alpha _ {3} / 2) = { frac {1} {3}} { sqrt {6}}}$, ${ displaystyle sin ( alpha _ {4} / 2) = { frac {1} {3}} { sqrt {3}}}$, ${ displaystyle l_ {3} = { frac {1} {8}} { sqrt {6}}}$, ${ displaystyle l_ {4} = { frac {1} {4}} { sqrt {6}}}$, takže okraje kosočtverečného dodekaedru mají délku ${ displaystyle l_ {3,4} = { frac {3} {8}} { sqrt {6}}}$.

Vzepětí ${ displaystyle alpha _ {p, q}}$mezi ${ displaystyle p}$-gonal a ${ displaystyle q}$-gonal tváře ${ displaystyle { bf {A}}}$ uspokojit

${ displaystyle cos alpha _ {p, q} = { frac {l ^ {2}} {4}} { frac { cot ( pi / p) cot ( pi / q)} { r_ {m} ^ {2}}} - { frac {r_ {i, p} r_ {i, q}} {r_ {m} ^ {2}}} = { frac {l_ {p} l_ { q} -r_ {m} ^ {2}} {r_ {c, p} r_ {c, q}}}}$.

Dokončení příkladu kosočtverečného dvanáctistěny, úhlu vzepětí ${ displaystyle alpha _ {3,4}}$ cuboctahedron je dán ${ displaystyle cos alpha _ {3,4} = - { frac {1} {3}} { sqrt {3}}}$.

Aplikace na jiné pevné látky

Všechny vzorce v této části platí pro Platonické pevné látky, a bipyramidy a lichoběžník se stejnými úhly vzepětí, protože je lze odvodit pouze z vlastnosti konstantního úhlu vzepětí. Pro pětiúhelníkový lichoběžník například s tvářemi V3.3.5.3 dostaneme ${ displaystyle cos ( alpha _ {3}) = { frac {1} {4}} - { frac {1} {4}} { sqrt {5}}}$nebo ${ displaystyle alpha _ {3} = 108 ^ { circ}}$. To není překvapující: je možné odříznout oba vrcholy tak, aby se získalo a pravidelný dvanáctistěn.

Viz také

• Seznam uniformních obkladů Zobrazuje dvojí uniformní polygonální obklady podobné katalánským tělesům
• Conwayova mnohostěnová notace Notační stavební proces
• Archimédův pevný
• Johnson solidní

Reference

• Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paříž) 41, 1-71, 1865.
• Alan Holden Tvary, prostor a symetrie. New York: Dover, 1991.
• Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-54325-5, PAN  0730208 (Třináct semiregulárních konvexních mnohostěnů a jejich duály)
• Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. (Část 3-9)
• Anthony Pugh (1976). Mnohostěn: Vizuální přístup. Kalifornie: University of California Press Berkeley. ISBN  0-520-03056-7. Kapitola 4: Duály archimédského mnohostěnu, hranolu a antiprismů

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Katalánština Solids". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Isohedron". MathWorld.
• Katalánské pevné látky - ve Visual Polyhedra
• Archimédovy duální - ve virtuální realitě Polyhedra
• Interaktivní katalánština Solid v Javě
• Odkaz ke stažení pro původní katalánskou publikaci z roku 1865 - s krásnými postavami, formát PDF