Pell číslo - Pell number

Strany čtverců použitých ke konstrukci stříbrné spirály jsou čísla Pell

v matematika, Pell čísla jsou nekoneční sekvence z celá čísla, známé od starověku, které tvoří jmenovatelé z nejbližší racionální aproximace do druhá odmocnina ze 2. Tato posloupnost aproximací začíná 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, a 41/29, takže posloupnost čísel Pell začíná 1, 2, 5, 12 a 29. Čitateli stejné posloupnosti aproximací jsou polovina doprovodná čísla Pell nebo Čísla Pell – Lucas; tato čísla tvoří druhou nekonečnou sekvenci, která začíná 2, 6, 14, 34 a 82.

Jak čísla Pell, tak doprovodná čísla Pell lze vypočítat pomocí a relace opakování podobný tomu pro Fibonacciho čísla a obě posloupnosti čísel rostou exponenciálně, úměrně k pravomocím poměr stříbra 1 + √2. Kromě použití k přiblížení druhé odmocniny dvou lze k nalezení použít čísla Pell čtvercová trojúhelníková čísla, k vytvoření celočíselných aproximací k pravý rovnoramenný trojúhelník, a vyřešit jisté kombinatorický výčet problémy.^[1]

Stejně jako u Pellova rovnice, název čísel Pell pochází Leonhard Euler chybné přiřazení rovnice a čísel z ní odvozených do John Pell. Čísla Pell – Lucas jsou také pojmenována Édouard Lucas, kteří studovali sekvence definované opakováním tohoto typu; čísla Pell a doprovodných Pell jsou Lucasovy sekvence.

Pell čísla

Čísla Pell jsou definována pomocí relace opakování:

{ displaystyle P_ {n} = { begin {cases} 0 & { mbox {if}} n = 0; 1 & { mbox {if}} n = 1; 2P_ {n-1} + P_ {n-2} & { mbox {jinak.}} end {cases}}}

Slovem, posloupnost čísel Pell začíná na 0 a 1, a pak každé číslo Pell je součet dvojnásobku předchozího čísla Pell a čísla Pell před tím. Prvních několik termínů sekvence je

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860,… (sekvence A000129 v OEIS ).

Čísla Pell lze také vyjádřit vzorcem uzavřeného formuláře

{ displaystyle P_ {n} = { frac { vlevo (1 + { sqrt {2}} vpravo) ^ {n} - vlevo (1 - { sqrt {2}} vpravo) ^ {n }} {2 { sqrt {2}}}}.}

Pro velké hodnoty n, (1 + √2)ⁿ výraz dominuje tomuto výrazu, takže čísla Pell jsou přibližně úměrná mocninám poměr stříbra 1 + √2, analogický s tempem růstu Fibonacciho čísel jako mocností Zlatý řez.

Třetí definice je možná z matice vzorec

{ displaystyle { begin {pmatrix} P_ {n + 1} & P_ {n} P_ {n} & P_ {n-1} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 2 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} ^ {n}.}

Z těchto definic lze odvodit nebo dokázat mnoho identit; například identita analogická k Cassiniho identita pro Fibonacciho čísla,

{ displaystyle P_ {n + 1} P_ {n-1} -P_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n},}

je okamžitým důsledkem maticového vzorce (zjištěno zvážením determinanty matic na levé a pravé straně maticového vzorce).^[2]

Aproximace druhé odmocniny dvou

Racionální aproximace na normální osmiúhelníky, se souřadnicemi odvozenými z čísel Pell.

Čísla Pell vznikají historicky a zejména v EU racionální aproximace na √2. Pokud dvě velká celá čísla X a y vytvořit řešení Pellova rovnice

{ displaystyle x ^ {2} -2r ^ {2} = pm 1,}

pak jejich poměr X/y poskytuje blízké přiblížení k √2. Posloupnost aproximací tohoto tvaru je

{ displaystyle { frac {1} {1}}, { frac {3} {2}}, { frac {7} {5}}, { frac {17} {12}}, { frac {41} {29}}, { frac {99} {70}}, dots}

kde jmenovatelem každé frakce je číslo Pell a čitatel je součet čísla Pell a jeho předchůdce v pořadí. To znamená, že řešení mají formu

{ displaystyle { frac {P_ {n-1} + P_ {n}} {P_ {n}}}.}

Aproximace

{ displaystyle { sqrt {2}} přibližně { frac {577} {408}}}

tohoto typu poznali indičtí matematici ve třetím nebo čtvrtém století př. n. l.^[3] Řeckí matematici v pátém století př. N. L. také věděl o této posloupnosti aproximací:^[4] Platón označuje čitatele jako racionální průměry.^[5] Ve 2. století n. L Theon of Smyrna používal termín čísla stran a průměrů popsat jmenovatele a čitatele této posloupnosti.^[6]

Tyto aproximace lze odvodit z pokračující zlomek expanze ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {2}}}$ :

{ displaystyle { sqrt {2}} = 1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2+ { cfrac {1} {2+ ddots ,}}}}}}}}}}}

Zkrácení této expanze na libovolný počet výrazů vytvoří v této sekvenci jednu z aproximací založených na Pell-čísle; například,

{ displaystyle { frac {577} {408}} = 1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} { 2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2}}}}}}}}}}}}}}

Jak popisuje Knuth (1994), skutečnost, že čísla Pell se přibližují √2 umožňuje, aby byly použity k přesnému racionálnímu přiblížení k pravidelnému osmiúhelník se souřadnicemi vrcholů (±P_i, ±P_i+1) a (±P_i+1, ±P_i). Všechny vrcholy jsou stejně vzdálené od počátku a tvoří téměř rovnoměrné úhly kolem počátku. Alternativně body ${ displaystyle ( pm (P_ {i} + P_ {i-1}), 0)}$ , ${ displaystyle (0, pm (P_ {i} + P_ {i-1}))}$ , a ${ displaystyle ( pm P_ {i}, pm P_ {i})}$ tvoří přibližné osmiúhelníky, ve kterých jsou vrcholy téměř stejně vzdálené od počátku a tvoří jednotné úhly.

Prvočísla a čtverce

A Pell prime je číslo Pell, které je primární. Prvních pár Pell prvočísel je

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (sekvence A086383 v OEIS ).

Indexy těchto prvočísel v posloupnosti všech čísel Pell jsou

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, .. (sekvence A096650 v OEIS )

Tyto indexy jsou samy o sobě prvočíslem. Stejně jako u čísel Fibonacci, číslo Pell P_n může být hlavní, pouze pokud n sama o sobě je hlavní, protože pokud d je dělitel n pak P_d je dělitel P_n.

Jediná čísla Pell, která jsou čtverce, kostky nebo jakákoli vyšší síla celého čísla, jsou 0, 1 a 169 = 13².^[7]

Navzdory tomu, že má tak málo čtverců nebo jiné síly, mají čísla Pell úzké spojení s čtvercová trojúhelníková čísla.^[8] Konkrétně tato čísla vyplývají z následující identity čísel Pell:

{ displaystyle { bigl (} vlevo (P_ {k-1} + P_ {k} vpravo) cdot P_ {k} { bigr)} ^ {2} = { frac { vlevo (P_ { k-1} + P_ {k} vpravo) ^ {2} cdot vlevo ( vlevo (P_ {k-1} + P_ {k} vpravo) ^ {2} - (- 1) ^ {k } vpravo)} {2}}.}

Levá strana této identity popisuje a číslo umocněné na druhou, zatímco pravá strana popisuje a trojúhelníkové číslo, takže výsledkem je čtvercové trojúhelníkové číslo.

Santana a Diaz-Barrero (2006) prokázali další identitu vztahující se k číslům Pell na čtverce a ukazující, že součet čísel Pell až P_4n+1 je vždy čtverec:

{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {4n + 1} P_ {i} = left ( sum _ {r = 0} ^ {n} 2 ^ {r} {2n + 1 vyberte 2r} right) ^ {2} = left (P_ {2n} + P_ {2n + 1} right) ^ {2}.}

Například součet čísel Pell až P₅, 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49, je čtverec P₂ + P₃ = 2 + 5 = 7. Čísla P_2n + P_2n+1 tvoří druhé odmocniny těchto součtů,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321,… (sekvence A002315 v OEIS ),

jsou známé jako Newman – Shanks – Williams (NSW).

Pytagorejské trojnásobky

Celé pravé trojúhelníky s téměř stejnými nohami, odvozené z čísel Pell.

Pokud pravoúhlý trojuhelník má celočíselné délky na straně A, b, C (nutně uspokojující Pythagorova věta A² + b² = C²), pak (A,b,C) je znám jako a Pytagorejský trojnásobek. Jak popisuje Martin (1875), čísla Pell lze použít k vytvoření Pythagorových trojic, ve kterých A a b jsou jedna jednotka od sebe, což odpovídá pravoúhlým trojúhelníkům, které jsou téměř rovnoramenné. Každá taková trojice má formu

{ displaystyle left (2P_ {n} P_ {n + 1}, P_ {n + 1} ^ {2} -P_ {n} ^ {2}, P_ {n + 1} ^ {2} + P_ { n} ^ {2} = P_ {2n + 1} vpravo).}

Sekvence takto vytvořených Pytagorových trojic je

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985),…

Čísla Pell – Lucas

The doprovodná čísla Pell nebo Čísla Pell – Lucas jsou definovány relace opakování

{ displaystyle Q_ {n} = { begin {cases} 2 & { mbox {if}} n = 0; 2 & { mbox {if}} n = 1; 2Q_ {n-1} + Q_ {n-2} & { mbox {jinak.}} end {cases}}}

Slovy: první dvě čísla v sekvenci jsou obě 2 a každé následující číslo je tvořeno přidáním dvojnásobku předchozího čísla Pell – Lucas k číslu Pell – Lucas před tím, nebo ekvivalentně přidáním dalšího čísla Pell k předchozímu Číslo Pell: 82 je tedy společníkem 29 a 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Prvních několik výrazů posloupnosti je (posloupnost A002203 v OEIS ): 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478,…

Jako vztah mezi Fibonacciho čísla a Lucasova čísla,

{ displaystyle Q_ {n} = { frac {P_ {2n}} {P_ {n}}}}

pro všechna přirozená čísla n.

Doprovodná čísla Pell lze vyjádřit vzorcem uzavřeného formuláře

{ displaystyle Q_ {n} = left (1 + { sqrt {2}} right) ^ {n} + left (1 - { sqrt {2}} right) ^ {n}.}

Všechna čísla jsou sudá; každé takové číslo je dvakrát čitatelem v jedné z racionálních aproximací na ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {2}}}$ diskutováno výše.

Stejně jako Lucasova sekvence, pokud je to číslo Pell – Lucas 1/2Q_n je prvočíslo, je nutné, aby n bylo buď prvočíslo, nebo síla 2. Pell – Lucasova prvočísla jsou

3, 7, 17, 41, 239, 577,… (sekvence A086395 v OEIS ).

Pro tyto n jsou

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421,… (sekvence A099088 v OEIS ).

Výpočty a připojení

Následující tabulka uvádí prvních několik pravomocí poměr stříbra δ = δ_S = 1 + √2 a jeho konjugát δ = 1 − √2.

n	(1 + √2)ⁿ	(1 − √2)ⁿ
0	1 + 0√2 = 1	1 − 0√2 = 1
1	1 + 1√2 = 2.41421…	1 − 1√2 = −0.41421…
2	3 + 2√2 = 5.82842…	3 − 2√2 = 0.17157…
3	7 + 5√2 = 14.07106…	7 − 5√2 = −0.07106…
4	17 + 12√2 = 33.97056…	17 − 12√2 = 0.02943…
5	41 + 29√2 = 82.01219…	41 − 29√2 = −0.01219…
6	99 + 70√2 = 197.9949…	99 − 70√2 = 0.0050…
7	239 + 169√2 = 478.00209…	239 − 169√2 = −0.00209…
8	577 + 408√2 = 1153.99913…	577 − 408√2 = 0.00086…
9	1393 + 985√2 = 2786.00035…	1393 − 985√2 = −0.00035…
10	3363 + 2378√2 = 6725.99985…	3363 − 2378√2 = 0.00014…
11	8119 + 5741√2 = 16238.00006…	8119 − 5741√2 = −0.00006…
12	19601 + 13860√2 = 39201.99997…	19601 − 13860√2 = 0.00002…

Koeficienty jsou čísla Pell s polovičním doprovodem H_n a čísla Pell P_n což jsou (nezáporná) řešení H² − 2P² = ±1.A čtvercové trojúhelníkové číslo je číslo

{ displaystyle N = { frac {t (t + 1)} {2}} = s ^ {2},}

což je jak tth trojúhelníkové číslo a sčíslo čtverce. A téměř rovnoramenný pythagorovský trojnásobek je celočíselné řešení A² + b² = C² kde A + 1 = b.

Následující tabulka ukazuje, že rozdělení lichého čísla H_n na téměř stejné poloviny dává čtvercové trojúhelníkové číslo, když n je sudý a blízký rovnoramenný Pythagorův trojnásobek, když n je liché. Všechna řešení vznikají tímto způsobem.

n	H_n	P_n	t	t + 1	s	A	b	C
0	1	0	0	1	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Definice

Poloviční společník Pell čísla H_n a čísla Pell P_n lze odvodit mnoha snadno ekvivalentními způsoby.

Zvyšování moci

{ displaystyle left (1 + { sqrt {2}} right) ^ {n} = H_ {n} + P_ {n} { sqrt {2}}}

{ displaystyle left (1 - { sqrt {2}} right) ^ {n} = H_ {n} -P_ {n} { sqrt {2}}.}

Z toho vyplývá, že existují uzavřené formy:

{ displaystyle H_ {n} = { frac { vlevo (1 + { sqrt {2}} vpravo) ^ {n} + vlevo (1 - { sqrt {2}} vpravo) ^ {n }} {2}}.}

a

{ displaystyle P_ {n} { sqrt {2}} = { frac { vlevo (1 + { sqrt {2}} vpravo) ^ {n} - vlevo (1 - { sqrt {2} } right) ^ {n}} {2}}.}

Spárované opakování

{ displaystyle H_ {n} = { begin {cases} 1 & { mbox {if}} n = 0; H_ {n-1} + 2P_ {n-1} & { mbox {jinak.}} end {případy}}}

{ displaystyle P_ {n} = { begin {cases} 0 & { mbox {if}} n = 0; H_ {n-1} + P_ {n-1} & { mbox {jinak.}} end {případy}}}

Maticové formulace

{ displaystyle { begin {pmatrix} H_ {n} P_ {n} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 2 1 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} H_ { n-1} P_ {n-1} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 2 1 & 1 end {pmatrix}} ^ {n} { begin {pmatrix} 1 0 konec {pmatrix}}.}

Tak

{ displaystyle { begin {pmatrix} H_ {n} & 2P_ {n} P_ {n} & H_ {n} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 2 1 & 1 end {pmatrix}} ^ {n}.}

Aproximace

Rozdíl mezi H_n a P_n√2 je

{ displaystyle left (1 - { sqrt {2}} right) ^ {n} přibližně (-0,41421) ^ {n},}

který jde rychle na nulu. Tak

{ displaystyle left (1 + { sqrt {2}} right) ^ {n} = H_ {n} + P_ {n} { sqrt {2}} ,}

je extrémně blízko 2H_n.

Z tohoto posledního pozorování vyplývá, že celočíselné poměry H_n/P_n rychle se přiblížit √2; a H_n/H_n−1 a P_n/P_n−1 rychle se přiblížit 1 +√2.

H² − 2P² = ±1

Od té doby √2 je iracionální, to nemůžeme mít H/P = √2, tj.,

{ displaystyle { frac {H ^ {2}} {P ^ {2}}} = { frac {2P ^ {2}} {P ^ {2}}}.}

To nejlepší, čeho můžeme dosáhnout, je buď

{ displaystyle { frac {H ^ {2}} {P ^ {2}}} = { frac {2P ^ {2} -1} {P ^ {2}}} quad { mbox {nebo} } quad { frac {H ^ {2}} {P ^ {2}}} = { frac {2P ^ {2} +1} {P ^ {2}}}.}

(Nezáporná) řešení H² − 2P² = 1 jsou přesně páry (H_n, P_n) s n dokonce a řešení H² − 2P² = −1 jsou přesně páry (H_n, P_n) s n zvláštní. Nejprve si to všimněte

{ displaystyle H_ {n + 1} ^ {2} -2P_ {n + 1} ^ {2} = left (H_ {n} + 2P_ {n} right) ^ {2} -2 left (H_ {n} + P_ {n} right) ^ {2} = - left (H_ {n} ^ {2} -2P_ {n} ^ {2} right),}

takže tyto rozdíly, počínaje H²
₀ − 2P²
₀ = 1, jsou střídavě 1 a -1. Pak si všimněte, že každé pozitivní řešení pochází tímto způsobem z řešení s menšími celými čísly od té doby

{ displaystyle (2P-H) ^ {2} -2 (H-P) ^ {2} = - vlevo (H ^ {2} -2P ^ {2} vpravo).}

Menší řešení má také kladná celá čísla, s jedinou výjimkou: H = P = 1 ze kterého pochází H₀ = 1 a P₀ = 0.

Čtvercová trojúhelníková čísla

Požadovaná rovnice

{ displaystyle { frac {t (t + 1)} {2}} = s ^ {2} ,}

odpovídá: ${ displaystyle 4t ^ {2} + 4t + 1 = 8s ^ {2} +1,}$ který se stává H² = 2P² + 1 se substitucemi H = 2t + 1 a P = 2s. Proto ntoto řešení je

{ displaystyle t_ {n} = { frac {H_ {2n} -1} {2}} quad { mbox {and}} quad s_ {n} = { frac {P_ {2n}} {2 }}.}

Dodržujte to t a t +1 jsou relativně nejlepší, takže t(t + 1)/2 = s² stane se přesně, když jsou sousední celá čísla, jedno na čtverec H² a druhá dvakrát čtvereční 2P². Jelikož známe všechna řešení této rovnice, máme také

{ displaystyle t_ {n} = { begin {cases} 2P_ {n} ^ {2} & { mbox {if}} n { mbox {is even}}; H_ {n} ^ {2} & { mbox {if}} n { mbox {je zvláštní.}} end {cases}}}

a ${ displaystyle s_ {n} = H_ {n} P_ {n}.}$

Tento alternativní výraz je uveden v následující tabulce.

n	H_n	P_n	t	t + 1	s	A	b	C
0	1	0
1	1	1	1	2	1	3	4	5
2	3	2	8	9	6	20	21	29
3	7	5	49	50	35	119	120	169
4	17	12	288	289	204	696	697	985
5	41	29	1681	1682	1189	4059	4060	5741
6	99	70	9800	9801	6930	23660	23661	33461

Pytagorejské trojnásobky

Rovnost C² = A² + (A + 1)² = 2A² + 2A + 1 nastane přesně kdy 2C² = 4A² + 4A + 2 který se stává 2P² = H² + 1 se substitucemi H = 2A + 1 a P = C. Proto ntoto řešení je A_n = H_2n+1 − 1/2 a C_n = P_2n+1.

Tabulka výše ukazuje, že v jednom či druhém pořadí A_n a b_n = A_n + 1 jsou H_nH_n+1 a 2P_nP_n+1 zatímco C_n = H_n+1P_n + P_n+1H_n.

Poznámky

^ Například Sellers (2002) dokazuje, že počet perfektní párování v kartézský součin a graf cesty a graf K.₄ − E lze vypočítat jako součin čísla Pell s odpovídajícím Fibonacciho číslem.
^ Maticový vzorec a jeho důsledky viz Ercolano (1979) a Kilic a Tasci (2005). Další identity pro čísla Pell uvádí Horadam (1971) a Bicknell (1975).
^ Jak je zaznamenáno v Shulba Sutras; viz např. Dutka (1986), který pro tuto informaci uvádí Thibauta (1875).
^ K datu pátého století, které se shoduje, viz Knorr (1976) Proclus "tvrdí, že čísla stran a průměrů objevila Pytagorejci. Pro podrobnější zkoumání pozdějších řeckých znalostí o těchto číslech viz Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) a Filep (1999).
^ Například, jak uvádí několik odkazů z předchozí poznámky, v Platónova republika existuje odkaz na "racionální průměr 5", kterým Platón znamená 7, čitatel aproximace 7/5 z toho 5 je jmenovatel.
^ Heath, pane Thomase Little (1921), Dějiny řecké matematiky: Od Thalese po Euklida Publikace Courier Dover, s. 112, ISBN 9780486240732.
^ Pethő (1992); Cohn (1996). Ačkoliv Fibonacciho čísla jsou definovány velmi podobným opakováním jako čísla Pell, Cohn píše, že analogický výsledek pro čísla Fibonacci se zdá být mnohem obtížnější prokázat. (To však v roce 2006 prokázali Bugeaud et al.)
^ Sesskin (1962). Viz čtvercové trojúhelníkové číslo článek pro podrobnější odvození.

Reference

Bicknell, Marjorie (1975). "Primer na Pell sekvenci a souvisejících sekvencích". Fibonacci čtvrtletně. 13 (4): 345–349. PAN 0387173.
Cohn, J. H. E. (1996). "Perfect Pell pravomoci". Glasgow Mathematical Journal. 38 (1): 19–20. doi:10.1017 / S0017089500031207. PAN 1373953.
Dutka, Jacques (1986). "O odmocninách a jejich reprezentacích". Archiv pro historii přesných věd. 36 (1): 21–39. doi:10.1007 / BF00357439. PAN 0863340.
Ercolano, Joseph (1979). "Maticové generátory Pellových sekvencí". Fibonacci čtvrtletně. 17 (1): 71–77. PAN 0525602.
Filep, László (1999). "Pythagorova strana a diagonální čísla" (PDF). Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis. 15: 1–7.
Horadam, A. F. (1971). "Pell identity". Fibonacci čtvrtletně. 9 (3): 245–252, 263. PAN 0308029.
Kilic, Emrah; Tasci, Dursun (2005). Msgstr "Lineární algebra Pellovy matice". Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Tercera Serie. 11 (2): 163–174. PAN 2207722.
Knorr, Wilbur (1976). "Archimedes a měření kruhu: nová interpretace". Archiv pro historii přesných věd. 15 (2): 115–140. doi:10.1007 / BF00348496. PAN 0497462.
Knorr, Wilbur (1998). ""Racionální průměry „a objev nesouměřitelnosti“. Americký matematický měsíčník. 105 (5): 421–429. doi:10.2307/3109803. JSTOR 3109803.
Knuth, Donald E. (1994). "Leaper grafy". Matematický věstník. 78 (483): 274–297. arXiv:math.CO/9411240. doi:10.2307/3620202. JSTOR 3620202.
Martin, Artemas (1875). "Racionální pravoúhlé trojúhelníky téměř rovnoramenné". Analytik. 3 (2): 47–50. doi:10.2307/2635906. JSTOR 2635906.
Pethő, A. (1992). "Pellova sekvence obsahuje pouze triviální dokonalé síly". Soupravy, grafy a čísla (Budapest, 1991). Colloq. Matematika. Soc. János Bolyai, 60 let, Severní Holandsko. 561–568. PAN 1218218.
Ridenhour, J. R. (1986). "Aproximace iracionálních čísel žebříku" Matematický časopis. 59 (2): 95–105. doi:10.2307/2690427. JSTOR 2690427.
Santana, S. F .; Diaz-Barrero, J. L. (2006). "Některé vlastnosti součtů zahrnujících čísla Pell" (PDF). Missouri Journal of Mathematical Sciences. 18 (1). Archivovány od originál (PDF) dne 08.05.2007.
Sellers, James A. (2002). „Domino obklady a výrobky z Fibonacciho a Pellova čísla“ (PDF). Journal of Integer Sequences. 5. PAN 1919941.
Sesskin, Sam (1962). „Konverzace“ k Fermatově poslední větě? “. Matematický časopis. 35 (4): 215–217. doi:10.2307/2688551. JSTOR 2688551.
Thibaut, Georgi (1875). "Na Súlvasútras". Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal. 44: 227–275.
Thompson, D'Arcy Wentworth (1929). „III. — Přebytek a vada: nebo trochu víc a trochu méně“. Mysl. Nová řada. 38 (149): 43–55. JSTOR 2249223.
Vedova, G. C. (1951). „Poznámky k Theonovi ze Smyrny“. Americký matematický měsíčník. 58 (10): 675–683. doi:10.2307/2307978. JSTOR 2307978.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Pell Number“. MathWorld.
OEIS posloupnost A001333 (čitatele konvergentů pokračujících zlomků na sqrt (2)) —Čitatelé stejné posloupnosti aproximací

[1] Například Sellers (2002) dokazuje, že počet perfektní párování v kartézský součin a graf cesty a graf K.₄ − E lze vypočítat jako součin čísla Pell s odpovídajícím Fibonacciho číslem.

[2] Maticový vzorec a jeho důsledky viz Ercolano (1979) a Kilic a Tasci (2005). Další identity pro čísla Pell uvádí Horadam (1971) a Bicknell (1975).

[3] Jak je zaznamenáno v Shulba Sutras; viz např. Dutka (1986), který pro tuto informaci uvádí Thibauta (1875).

[4] K datu pátého století, které se shoduje, viz Knorr (1976) Proclus "tvrdí, že čísla stran a průměrů objevila Pytagorejci. Pro podrobnější zkoumání pozdějších řeckých znalostí o těchto číslech viz Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) a Filep (1999).

[5] Například, jak uvádí několik odkazů z předchozí poznámky, v Platónova republika existuje odkaz na "racionální průměr 5", kterým Platón znamená 7, čitatel aproximace 7/5 z toho 5 je jmenovatel.

[6] Heath, pane Thomase Little (1921), Dějiny řecké matematiky: Od Thalese po Euklida Publikace Courier Dover, s. 112, ISBN 9780486240732.

[7] Pethő (1992); Cohn (1996). Ačkoliv Fibonacciho čísla jsou definovány velmi podobným opakováním jako čísla Pell, Cohn píše, že analogický výsledek pro čísla Fibonacci se zdá být mnohem obtížnější prokázat. (To však v roce 2006 prokázali Bugeaud et al.)

[8] Sesskin (1962). Viz čtvercové trojúhelníkové číslo článek pro podrobnější odvození.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

prvočíslo třídy
Podle vzorce	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 str - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 str -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 str + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Faktoriál ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $str n # \pm 1$ ) Euklid ( $str n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $X 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Kubánský ( $X 3 - y 3)/(X - y$ ) Koleda $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $X y + y X$ ) Zvyk ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mlýny ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Podle celočíselné sekvence	Fibonacci Lucas Pell Newman – Shanks – Williams Perrin Příčky Zvonek Motzkin
Podle majetku	Wieferich (pár ) Zeď – Slunce – Slunce Wolstenholme Wilson Šťastný Štěstí Ramanujan Pillai Pravidelný Silný Záď Supersingulární (eliptická křivka) Supersingulární (teorie měsíčního svitu) Dobrý Super Higgs Vysoce kototentní
Základna -závislý	Palindromický Emirp Smířit $(10 n - 1)/9$ Permutable Oběžník Zkrátit Minimální Slabě Prvotní Plný reptend Unikátní Šťastný Já Smarandache – Wellin Strobogramatické Vzepětí Tetradic
Vzory	Twin ( $str, str + 2$ ) Dvojitý řetěz ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Triplet ( $str, str + 2 nebo str + 4, str + 6$ ) Čtyřlůžkový pokoj ( $str, str + 2, str + 6, str + 8$ ) k−Tuple Bratranec ( $str, str + 4$ ) Sexy ( $str, str + 6$ ) Chen Sophie Germain / Safe ( $str, 2 str + 1$ ) Cunningham ( $str, 2 str \pm 1, 4 str \pm 3, 8 str \pm 7, ...$ ) Aritmetický postup ( $str + a \cdot n, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Vyvážený ( $po sobě str - n, str, str + n$ )
Podle velikosti	Titánský (1 000+ číslic) Gigantický (10 000+ číslic) Mega (1 000 000+ číslic) Největší známý
Složitá čísla	Eisenstein prime Gaussian prime
Složená čísla	Pseudoprime Katalánština Eliptický Euler Euler – Jacobi Fermat Frobenius Lucas Somer – Lucas Silný Carmichael číslo Téměř prime Semiprime Interprime Zhoubný
související témata	Pravděpodobný prime Průmyslový prime Nelegální prime Vzorec pro prvočísla Prime gap
Prvních 60 prvočísel	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Seznam prvočísel

Pell číslo - Pell number

Pell čísla

Aproximace druhé odmocniny dvou

Prvočísla a čtverce

Pytagorejské trojnásobky

Čísla Pell – Lucas

Výpočty a připojení

Definice

Zvyšování moci

Spárované opakování

Maticové formulace

Aproximace

H2 − 2P2 = ±1

Čtvercová trojúhelníková čísla

Pytagorejské trojnásobky

Poznámky

Reference

externí odkazy

H² − 2P² = ±1