Keplerův trojúhelník - Kepler triangle

A Keplerův trojúhelník je pravoúhlý trojuhelník s délkami hran v a geometrický průběh. Poměr progrese je √φ, kde φ je Zlatý řez,[A] a lze psát: , nebo přibližně 1 : 1.272 : 1.618.[1] Čtverce okrajů tohoto trojúhelníku jsou také v geometrickém postupu podle samotného zlatého řezu.
Trojúhelníky s takovými poměry jsou pojmenovány po němčině matematik a astronom Johannes Kepler (1571–1630), který nejprve prokázal, že tento trojúhelník je charakterizován poměrem mezi jeho krátkou stranou a přepona se rovná zlatému řezu.[2] Keplerovy trojúhelníky kombinují dva klíčové matematické pojmy - Pythagorova věta a zlatý řez - to Keplera hluboce fascinovalo, když vyjádřil:
Geometrie má dva velké poklady: jedním je Pythagorova věta, druhým rozdělení čáry na extrémní a střední poměr. První můžeme přirovnat k hromadě zlata, druhou můžeme nazvat drahokamem.[3]
Některé zdroje tvrdí, že trojúhelník s rozměry těsně se blížící keplerovskému trojúhelníku lze rozpoznat v Velká pyramida v Gíze,[4][5] dělat to zlatá pyramida.
Derivace
Skutečnost, že trojúhelník s okraji , a , tvoří pravý trojúhelník vyplývá přímo z přepsání určujícího kvadratického polynomu pro zlatý řez :
do podoby Pythagorova věta:
Vztah k aritmetickému, geometrickému a harmonickému průměru
Pro kladná reálná čísla A a b, jejich aritmetický průměr, geometrický průměr, a harmonický průměr jsou délky stran pravoúhlého trojúhelníku právě tehdy, pokud je trojúhelníkem Keplerův trojúhelník.[6]
Sestavení Keplerova trojúhelníku

Keplerův trojúhelník může být konstruováno pouze s pravítkem a kompasem vytvořením a zlatý obdélník:
- Postavte jednotkový čtverec
- Nakreslete čáru od středu jedné strany čtverce k opačnému rohu
- Pomocí této čáry jako poloměru nakreslete oblouk, který definuje výšku obdélníku
- Vyplňte zlatý obdélník
- Pomocí delší strany zlatého obdélníku nakreslete oblouk, který protíná protilehlou stranu obdélníku a definuje přepona Keplerova trojúhelníku
Kepler to zkonstruoval jinak. V dopise svému bývalému profesorovi Michael Mästlin, napsal: „Pokud na přímce, která je rozdělena v extrémním a středním poměru, zkonstruujeme pravoúhlý trojúhelník, takže pravý úhel je na kolmém místě v bodě řezu, pak se menší noha bude rovnat většímu segmentu rozdělená čára. “[2]
Matematická náhoda

V Keplerově trojúhelníku se stranami zvážit:
- kruh, který ji vymezuje, a
- čtverec se stranou rovnou střední hraně trojúhelníku.
Pak obvody náměstí () a kruh () se shodují až do chyby menší než 0,1%.
To je matematická náhoda . Čtverec a kruh nemohou mít přesně stejný obvod, protože v takovém případě by byl schopen vyřešit klasický (nemožný) problém kvadratura kruhu. Jinými slovy, protože je transcendentní číslo.
Podle některých zdrojů se Keplerovy trojúhelníky objevují v designu egyptských pyramid. Úhlopříčka podlahy King's Chamber plus šířka komory vydělená délkou komory je velmi blízká zlatému řezu.[5][7] Podle různých vědců, kteří tento vztah zkoumali, však starí Egypťané pravděpodobně neznali matematickou shodu zahrnující počet a zlatý řez .[8]
Viz také
Reference
Poznámky pod čarou
Citace
- ^ Roger Herz-Fischler (2000). Tvar Velké pyramidy. Wilfrid Laurier University Press. p. 81. ISBN 0-88920-324-5.
- ^ A b Livio, Mario (2002). Zlatý poměr: Příběh Phi, nejúžasnějšího čísla na světě. New York: Broadway Books. p.149. ISBN 0-7679-0815-5.
- ^ Karl Fink; Wooster Woodruff Beman; David Eugene Smith (1903). Stručná historie matematiky: Autorizovaný překlad Geschichte der Elementar-Mathematik Dr. Karla Finka (2. vyd.). Chicago: Open Court Publishing Co. str.223.
- ^ To nejlepší z Astraea: 17 článků o vědě, historii a filozofii. Astrea Web Radio. 2006. s. 93. ISBN 1-4259-7040-0.
- ^ A b Srovnání kruhu, Paul Calter
- ^ Di Domenico, Angelo, „Zlatý řez - pravý trojúhelník - a aritmetické, geometrické a harmonické prostředky,“ Matematický věstník 89, 2005.
- ^ Velká pyramida, velký objev a velká náhoda, Mark Herkommer, 24. června 2008 (webový archiv)
- ^ Markowsky, George (leden 1992). „Mylné představy o zlatém poměru“ (PDF). College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 23 (1): 2–19. doi:10.2307/2686193. JSTOR 2686193.
Nezdá se, že by Egypťané o existenci φ věděli, natož aby ji začlenili do svých budov