Dvojité číslo Mersenne - Double Mersenne number
Ne. známých výrazů | 4 |
---|---|
Domnělý Ne. podmínek | 4 |
První termíny | 7, 127, 2147483647 |
Největší známý termín | 170141183460469231731687303715884105727 |
OEIS index |
|
v matematika, a dvojnásobné číslo Mersenne je Mersenne číslo formuláře
kde str je hlavní.
Příklady
První čtyři funkční období sekvence dvojnásobných čísel Mersenne jsou[1] (sekvence A077586 v OEIS ):
Double Mersenne připraví
Dvojité Mersennovo číslo primární se nazývá a dvojitý Mersenne prime. Protože číslo Mersenne Mstr může být hlavní, pouze pokud str je hlavní, (viz Mersenne prime pro důkaz), dvojité Mersennovo číslo může být hlavní, pouze pokud Mstr je sám o sobě Mersenne Prime. Pro první hodnoty str pro který Mstr je hlavní, je známo, že je pro str = 2, 3, 5, 7, zatímco explicitní faktory byly nalezeny pro str = 13, 17, 19 a 31.
faktorizace | |||
---|---|---|---|
2 | 3 | primární | 7 |
3 | 7 | primární | 127 |
5 | 31 | primární | 2147483647 |
7 | 127 | primární | 170141183460469231731687303715884105727 |
11 | není prime | není prime | 47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × ... |
13 | 8191 | není prime | 338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × ... |
17 | 131071 | není prime | 231733529 × 64296354767 × ... |
19 | 524287 | není prime | 62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × ... |
23 | není prime | není prime | 2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × ... |
29 | není prime | není prime | 1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × ... |
31 | 2147483647 | není prime | 295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × ... |
37 | není prime | není prime | |
41 | není prime | není prime | |
43 | není prime | není prime | |
47 | není prime | není prime | |
53 | není prime | není prime | |
59 | není prime | není prime | |
61 | 2305843009213693951 | neznámý |
Nejmenším kandidátem na další dvojnásobek Mersenne prime je tedy nebo 22305843009213693951 - 1. Být přibližně 1 695×10694127911065419641, toto číslo je příliš velké pro všechny aktuálně známé test primality. Nemá žádný primární faktor pod 4 × 1033.[2] Pravděpodobně neexistují žádná jiná dvojitá Mersennova prvočísla než ta čtyři známá.[1][3]
Nejmenší primární faktor (kde str je nth prime) jsou
- 7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... (1033) (sekvence.) A309130 v OEIS )
Domněnka o katalánsko – merersenském čísle
The rekurzivně definovaná sekvence
se nazývá Katalánsko – Mersennova čísla.[4] První členy posloupnosti (posloupnost A007013 v OEIS ) jsou:
Katalánština přišel s touto sekvencí po objevení primality podle Lucas v roce 1876.[1][5] Katalánština se domnívala, že jsou připraveni „do určitého limitu“. Ačkoli prvních pět termínů je prvočíslo, žádné známé metody nemohou dokázat, že jakékoli další termíny jsou prvočísla (v jakémkoli rozumném čase) jednoduše proto, že jsou příliš velké. Pokud však není primární, existuje šance na to, že to zjistíte výpočtem modulo nějaké malé prime (pomocí rekurzivní modulární umocňování ). Pokud je výsledný zbytek nulový, představuje faktor a vyvrátil by tak jeho primitivitu. Od té doby je Mersenne číslo, takový hlavní faktor musí mít formu . Navíc, protože je složený, když je složený, objev složeného výrazu v sekvenci by vyloučil možnost jakýchkoli dalších prvočísel v sekvenci.
V populární kultuře
V Futurama film The Beast with a Billion Backs, dvojnásobné číslo Mersenne je krátce viděn v "elementárním důkazu Goldbachova domněnka Ve filmu je toto číslo známé jako „marťanský prime“.
Viz také
- Kombinatorická hierarchie
- Cunninghamův řetěz
- Dvojitá exponenciální funkce
- Číslo Fermata
- Perfektní číslo
- Wieferich prime
Reference
- ^ A b C Chris Caldwell, Mersenne Primes: Historie, věty a seznamy na Prime Stránky.
- ^ Tony Forbes, Hledání faktoru MM61. Pokrok: 9. října 2008. Toto udává značku vysoké hladiny 204204000000 × (10019 + 1) × (261 - 1), nad 4 × 1033. Citováno 2008-10-22.
- ^ I. J. Dobrý. Dohady týkající se čísel Mersenne. Mathematics of Computation sv. 9 (1955) str. 120-121 [vyvoláno 19. 10. 2012]
- ^ Weisstein, Eric W. „Catalan-Mersenne Number“. MathWorld.
- ^ „Questions proposées“. Nouvelle korespondence mathématique. 2: 94–96. 1876. (pravděpodobně shromážděné editorem). Téměř všechny otázky podepisuje Édouard Lucas, stejně jako číslo 92:
Poznámka pod čarou (označená hvězdičkou), kterou napsal editor Eugène Catalan, je následující:Prouver que 261 - 1 a 2127 - 1 sont des nombres premiér. (É. L.) (*).
(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on dodržujte que 22 − 1, 23 − 1, 27 - 1 sont aussi des nombres premiér, na ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2n − 1 est un nombre premier str, 2str − 1 est un nombre premier str', 2str' − 1 est un nombre premier p "atd. Cetteova tvrzení a quelque analogie avec le théorème suivant, énoncé par Fermat, a dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2n + 1 est un nombre premier. (E. C.)
Další čtení
- Dickson, L. E. (1971) [1919], Dějiny teorie čísel, New York: Nakladatelství Chelsea.