Euklidovo číslo - Euclid number

v matematika, Euklidova čísla jsou celá čísla formuláře En = pn# + 1, kde pn# je nth primitivní, tj. produkt prvního n prvočísla. Jsou pojmenovány po starořečtina matematik Euklid, ve spojení s Euklidova věta že existuje nekonečně mnoho prvočísel.

Příklady

Například první tři prvočísla jsou 2, 3, 5; jejich produkt je 30 a odpovídající číslo Euclid je 31.

Prvních několik čísel Euclid je 3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, ... (sekvence A006862 v OEIS ).

Dějiny

To se někdy mylně uvádí Euklidův slavný důkaz nekonečnosti prvočísla spoléhal na tato čísla.[1] Euklid nezačal s předpokladem, že množina všech prvočísel je konečná. Spíše řekl: zvažte jakoukoli konečnou sadu prvočísel (nepředpokládal, že obsahuje pouze první n prvočísla, např. mohlo to být {3, 41, 53}) a odůvodněno odtud k závěru, že existuje alespoň jedno prvočíslo, které v dané množině není.[2]Nicméně Euclidův argument, aplikovaný na množinu prvního n připravuje, ukazuje, že nEuklidovo číslo má hlavní faktor, který v této sadě není.

Vlastnosti

Ne všechna čísla Euclid jsou prvočísla.E6 = 13 # + 1 = 30031 = 59 × 509 je první složené číslo Euclid.

Každé Euklidovo číslo je shodné se 3 mody 4, protože prvotní část, z níž se skládá, je dvojnásobkem součinu pouze lichých prvočísel, a tedy odpovídá 2 modulo 4. Tato vlastnost naznačuje, že žádné Euklidovo číslo nemůže být náměstí.

Pro všechny n ≥ 3 poslední číslice En je 1, protože En − 1 je dělitelné 2 a 5. Jinými slovy, protože všechna počáteční čísla větší než E2 mají 2 a 5 jako hlavní faktory, jsou dělitelné 10, tedy všemi En ≥ 3+1 má poslední číslici 1.

Nevyřešené problémy

Question, Web Fundamentals.svgNevyřešený problém v matematice:
Existuje nekonečné množství prvočísel Euclidových čísel?
(více nevyřešených úloh z matematiky)

Není známo, zda existuje nekonečný počet prvočíselných čísel Euclid (primitivní prvočísla ).[3]Rovněž není známo, zda každé číslo Euclid je a číslo bez čtverce.[4]

Question, Web Fundamentals.svgNevyřešený problém v matematice:
Je každé číslo Euclid čtvereční?
(více nevyřešených úloh z matematiky)

Zobecnění

A Euklidovo číslo druhého druhu (také zvaný Kummerovo číslo) je celé číslo formuláře En = pn# - 1, kde pn# je n-tý primát. Prvních několik takových čísel je:

1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129, ... (sekvence A057588 v OEIS )

Stejně jako u Euklidových čísel není známo, zda existuje nekonečně mnoho hlavních čísel Kummer. První z těchto čísel, který má být složený, je 209.[5]

Viz také

Reference

  1. ^ Michael Hardy a Catherine Woodgold, „Prime Simplicity“, Matematický zpravodaj, svazek 31, číslo 4, podzim 2009, strany 44–52.
  2. ^ „Návrh 20“.
  3. ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A006862 (Euclid numbers)“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
  4. ^ Vardi, Ilan (1991). Výpočetní rekreace v Mathematice. Addison-Wesley. 82–89. ISBN  9780201529890.
  5. ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A125549 (Composite Kummer numbers)“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.