Pravidelné prime - Regular prime
![]() | Nevyřešený problém v matematice: Existuje nekonečně mnoho pravidelných prvočísel, a pokud ano, je jejich relativní hustota ? (více nevyřešených úloh z matematiky) |
v teorie čísel, a pravidelné prime je zvláštní druh prvočíslo, definován Ernst Kummer v roce 1850 k prokázání určitých případů Fermatova poslední věta. Pravidelné prvočísla lze definovat prostřednictvím dělitelnost buď čísla tříd nebo Bernoulliho čísla.
Prvních několik pravidelných lichých prvočísel je:
- 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... (sekvence A007703 v OEIS ).
Historie a motivace
V roce 1850 to Kummer dokázal Fermatova poslední věta platí pro hlavního exponenta p -li p je pravidelný. To zaměřilo pozornost na nepravidelná prvočísla.[1] V roce 1852 byl Genocchi schopen dokázat, že první případ Fermatovy poslední věty platí pro exponent p, pokud (p, p − 3) není nepravidelný pár. Kummer to dále vylepšil v roce 1857 tím, že ukázal, že pro „první případ“ Fermatovy poslední věty (viz Věta Sophie Germainové ) postačuje to prokázat (p, p − 3) nebo (p, p − 5) selže jako nepravidelný pár.
Kummer zjistil, že nepravidelná prvočísla jsou méně než 165. V roce 1963 Lehmer oznámil výsledky až 10 000 a Selfridge a Pollack v roce 1964 oznámili, že dokončili tabulku nepravidelných prvočísel až 25 000. I když se tyto dvě tabulky neobjevily v tisku, Johnson zjistil že (p, p − 3) je ve skutečnosti nepravidelný pár pro p = 16843 a že se jedná o první a jediný případ, kdy k tomu dojde p < 30000.[2] V roce 1993 bylo zjištěno, že příště se to stane p = 2124679; vidět Wolstenholme prime.[3]
Definice
Kritérium počtu tříd
Zvláštní liché číslo p je definován jako pravidelný, pokud nerozděluje číslo třídy z p-th cyklotomické pole Q(ζp), kde ζp je primitivní p-tý kořen jednoty, je uveden na OEIS: A000927. Primární číslo 2 je také často považováno za pravidelné.
The číslo třídy cyklotomicfield je počet ideály z kruh celých číselZ(ζp) až do rovnocennosti. Dva ideály Já, J. jsou považovány za rovnocenné, pokud existuje nenulovou hodnotu u v Q(ζp) aby I = uJ.
Kummerovo kritérium
Ernst Kummer (Kummer 1850 ) ukázal, že rovnocenným kritériem pro pravidelnost je to p nerozděluje čitatele žádného z Bernoulliho čísla Bk pro k = 2, 4, 6, …, p − 3.
Kummerův důkaz, že toto odpovídá definici čísla třídy, je posílen Věta Herbrand – Ribet, který uvádí určité důsledky p vydělením jednoho z těchto Bernoulliho čísel.
Siegelova domněnka
Bylo to domnělý že existují nekonečně mnoho pravidelných prvočísel. Přesněji Carl Ludwig Siegel (1964 ) se domníval, že E−1/2, nebo přibližně 60,65% ze všech prvočísel jsou běžná čísla v asymptotické smysl přirozená hustota. Ani domněnka nebyla doposud prokázána.
Nepravidelná prvočísla
Zvláštní liché, které není pravidelné, je nepravidelný prime (nebo Bernoulli nepravidelný nebo B-nepravidelný, aby se odlišil od jiných typů nebo nepravidelností popsaných níže). Prvních několik nepravidelných prvočísel je:
- 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... (sekvence A000928 v OEIS )
Nekonečnost
K. L. Jensen (jinak neznámý student Nielsen[4]) dokázal v roce 1915, že existuje nekonečně mnoho nepravidelných prvočísel formy 4n + 3.[5]V roce 1954 Carlitz poskytl jednoduchý důkaz slabšího výsledku, že nepravidelných prvočísel je obecně nekonečně mnoho.[6]
Metsänkylä to dokázal pro jakékoli celé číslo T > 6, existuje nekonečně mnoho nepravidelných prvočísel, která nemají formu mT + 1 nebo mT − 1,[7] a později to zobecnil.[8]
Nepravidelné páry
Li p je nepravidelný prime a p rozdělí čitatele Bernoulliho čísla B2k pro 0 < 2k < p − 1, pak (p, 2k) se nazývá nepravidelný pár. Jinými slovy, nepravidelný pár je zařízení pro vedení účetnictví, které se zaznamenává pro nepravidelné prime p, konkrétní indexy Bernoulliho čísel, u kterých pravidelnost selhává. Prvních několik nepravidelných párů (na objednávku k) jsou:
- (691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797 , 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... (sekvence A189683 v OEIS ).
Nejmenší dokonce k takhle nth nepravidelné prime rozděluje Bk jsou
- 32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, 126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... (sekvence A035112 v OEIS )
Pro dané prvočíslo p, počet takových párů se nazývá index nesrovnalosti z p.[9] Prime je tedy pravidelný právě tehdy, pokud je jeho index nepravidelnosti nulový. Podobně je prvočíslo nepravidelné právě tehdy, pokud je jeho index nepravidelnosti kladný.
Bylo zjištěno, že (p, p − 3) je ve skutečnosti nepravidelný pár pro p = 16843, stejně jako pro p = 2124679. Neexistují žádné další výskyty pro p < 109.
Nepravidelný index
Zvláštní prime p má nepravidelný index n kdyby a jen kdyby existují n hodnoty k pro který p rozděluje B2k a tyto ks jsou menší než (p - 1) / 2. První nepravidelný prime s nepravidelným indexem větším než 1 je 157, který rozděluje B62 a B110, takže má nepravidelný index 2. Je zřejmé, že nepravidelný index pravidelného prime je 0.
Nepravidelný index nth prime je
- 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Začněte s n = 2 nebo prime = 3) (sekvence A091888 v OEIS )
Nepravidelný index nth nepravidelný prime je
- 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... (sekvence A091887 v OEIS )
Prvočísla s nepravidelným indexem 1 jsou
- 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... (sekvence A073276 v OEIS )
Prvočísla s nepravidelným indexem 2 jsou
- 157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... (sekvence A073277 v OEIS )
Prvočísla s nepravidelným indexem 3 jsou
- 491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... (sekvence A060975 v OEIS )
Nejméně prvočísel s nepravidelným indexem n jsou
- 2, 3, 37, 157, 491, 12613, 78233, 527377, 3238481, ... (sekvence A061576 v OEIS ) (Tato sekvence definuje „nepravidelný index 2“ jako -1 a také začíná na n = −1.)
Zobecnění
Eulerova nepravidelná prvočísla
Podobně můžeme definovat Euler nepravidelný prime (nebo E-nepravidelný) jako prime p který rozděluje alespoň jednu Eulerovo číslo E2n s 0 <2n ≤ p - 3. Prvních několik Eulerových nepravidelných prvočísel je
- 19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... (sekvence A120337 v OEIS )
Eulerovy nepravidelné páry jsou
- (61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437, 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...
Vandiver to dokázal Fermatova poslední věta (Xp + yp = zp) nemá řešení pro celá čísla X, y, z s gcd (xyz, p) = 1 pokud p je pravidelný Euler. Gut to dokázal X2p + y2p = z2p nemá řešení, pokud p má index E-nepravidelnosti menší než 5.[10][11]
Bylo prokázáno, že existuje nekonečno E-nepravidelných prvočísel. Bylo dosaženo silnějšího výsledku: E-nepravidelných prvočísel je nekonečno shodný na 1 modulo 8. Stejně jako v případě Kummerových B-regulárních prvočísel zatím neexistuje žádný důkaz, že existuje nekonečně mnoho E-regulárních prvočísel, i když se to zdá být pravděpodobné.
Silné nepravidelné prvočísla
Prime p je nazýván silný nepravidelný pokud je to jak B-nepravidelné, tak E-nepravidelné (indexy Bernoulliho a Eulerových čísel, které jsou dělitelné p mohou být stejné nebo různé). Prvních několik silných nepravidelných prvočísel je
- 67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... (sekvence A128197 v OEIS )
Dokázat Fermatova poslední věta pro silné nepravidelné prime p je obtížnější (od Kummer dokázal první případ Fermatovy poslední věty pro B-regulární prvočísla, Vandiver prokázal první případ Fermatovy poslední věty pro E-regulární prvočísla), nejtěžší je to p není jen silný nepravidelný prime, ale 2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1 a 16p +1 jsou také všechny kompozitní (Legendre prokázal první případ Fermatovy poslední věty pro prvočísla p tak, že alespoň jeden z 2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1 a 16p + 1 je prime), prvních pár takových p jsou
- 263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...
Slabé nepravidelné prvočísla
Prime p je slabý nepravidelný pokud je to buď B-nepravidelné, nebo E-nepravidelné (nebo obojí). Prvních pár slabých nepravidelných prvočísel je
- 19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593, ... (sekvence A250216 v OEIS )
Stejně jako Bernoulliho nepravidelnost souvisí i slabá pravidelnost s dělitelností čísel tříd cyklotomická pole. Ve skutečnosti nejlepší p je slabý nepravidelný právě tehdy p rozdělí číslo třídy 4p-té cyklotomické pole Q(ζ4p).
Slabé nepravidelné páry
V této části, "An"znamená čitatel nčíslo Bernoulli, pokud n je sudé, “An„znamená (n - 1) číslo Euler, pokud n je liché (sekvence A246006 v OEIS ).
Protože za každé liché prvočíslo p, p rozděluje Ap kdyby a jen kdyby p je shodný s 1 modem 4 a od té doby p rozděluje jmenovatele (p - 1) Bernoulliho číslo za každé liché prvočíslo p, takže pro jakékoli liché prime p, p nelze rozdělit Ap - 1. Kromě toho, jen a jen v případě lichého prime p rozděluje An (a 2p nedělí n), pak p také rozděluje An + k(p - 1) (pokud 2p rozděluje n, pak by věta měla být změněna na „p také rozděluje An + 2kp". Ve skutečnosti, pokud 2p rozděluje n a p(p - 1) nedělí n, pak p rozděluje An.) pro každé celé číslo k (podmínka je n + k(p - 1) musí být> 1). Například od 19 dělí A11 a 2 × 19 = 38 nerozdělí 11, takže 19 rozdělí A18k + 11 pro všechny k. Definice nepravidelného páru tedy (p, n), n by mělo být maximálně p - 2.
Následující tabulka ukazuje všechny nepravidelné páry s lichým prvočíslem p ≤ 661:
p | celá čísla 0 ≤ n ≤ p - 2 takhle p rozděluje An | p | celá čísla 0 ≤ n ≤ p - 2 takhle p rozděluje An | p | celá čísla 0 ≤ n ≤ p - 2 takhle p rozděluje An | p | celá čísla 0 ≤ n ≤ p - 2 takhle p rozděluje An | p | celá čísla 0 ≤ n ≤ p - 2 takhle p rozděluje An | p | celá čísla 0 ≤ n ≤ p - 2 takhle p rozděluje An |
3 | 79 | 19 | 181 | 293 | 156 | 421 | 240 | 557 | 222 | ||
5 | 83 | 191 | 307 | 88, 91, 137 | 431 | 563 | 175, 261 | ||||
7 | 89 | 193 | 75 | 311 | 87, 193, 292 | 433 | 215, 366 | 569 | |||
11 | 97 | 197 | 313 | 439 | 571 | 389 | |||||
13 | 101 | 63, 68 | 199 | 317 | 443 | 577 | 52, 209, 427 | ||||
17 | 103 | 24 | 211 | 331 | 449 | 587 | 45, 90, 92 | ||||
19 | 11 | 107 | 223 | 133 | 337 | 457 | 593 | 22 | |||
23 | 109 | 227 | 347 | 280 | 461 | 196, 427 | 599 | ||||
29 | 113 | 229 | 349 | 19, 257 | 463 | 130, 229 | 601 | ||||
31 | 23 | 127 | 233 | 84 | 353 | 71, 186, 300 | 467 | 94, 194 | 607 | 592 | |
37 | 32 | 131 | 22 | 239 | 359 | 125 | 479 | 613 | 522 | ||
41 | 137 | 43 | 241 | 211, 239 | 367 | 487 | 617 | 20, 174, 338 | |||
43 | 13 | 139 | 129 | 251 | 127 | 373 | 163 | 491 | 292, 336, 338, 429 | 619 | 371, 428, 543 |
47 | 15 | 149 | 130, 147 | 257 | 164 | 379 | 100, 174, 317 | 499 | 631 | 80, 226 | |
53 | 151 | 263 | 100, 213 | 383 | 503 | 641 | |||||
59 | 44 | 157 | 62, 110 | 269 | 389 | 200 | 509 | 141 | 643 | ||
61 | 7 | 163 | 271 | 84 | 397 | 521 | 647 | 236, 242, 554 | |||
67 | 27, 58 | 167 | 277 | 9 | 401 | 382 | 523 | 400 | 653 | 48 | |
71 | 29 | 173 | 281 | 409 | 126 | 541 | 86, 465 | 659 | 224 | ||
73 | 179 | 283 | 20 | 419 | 159 | 547 | 270, 486 | 661 |
Jediné prvočísla pod 1000 se slabým nepravidelným indexem 3 jsou 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751 a 929. Kromě toho je 491 jediným prvočíslem pod 1000 se slabým nepravidelným indexem 4 a všechna ostatní lichá prvočísla pod 1000 se slabým nepravidelným indexem 0, 1 nebo 2. (slabý nepravidelný index je definován jako „počet celých čísel 0 ≤ n ≤ p - 2 takové p rozděluje An)
V následující tabulce jsou uvedeny všechny nepravidelné páry s n ≤ 63: (Chcete-li získat tyto nepravidelné páry, musíme pouze faktorizovat An. Například, A34 = 17 × 151628697551, ale 17 <34 + 2, takže jediný nepravidelný pár s n = 34 je (151628697551, 34)) (pro více informací (sudé ns až 300 a zvláštní ns až 201), viz [12])
n | připraví p ≥ n + 2 takové p rozděluje An | n | připraví p ≥ n + 2 takové p rozděluje An |
0 | 32 | 37, 683, 305065927 | |
1 | 33 | 930157, 42737921, 52536026741617 | |
2 | 34 | 151628697551 | |
3 | 35 | 4153, 8429689, 2305820097576334676593 | |
4 | 36 | 26315271553053477373 | |
5 | 37 | 9257, 73026287, 25355088490684770871 | |
6 | 38 | 154210205991661 | |
7 | 61 | 39 | 23489580527043108252017828576198947741 |
8 | 40 | 137616929, 1897170067619 | |
9 | 277 | 41 | 763601, 52778129, 359513962188687126618793 |
10 | 42 | 1520097643918070802691 | |
11 | 19, 2659 | 43 | 137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971 |
12 | 691 | 44 | 59, 8089, 2947939, 1798482437 |
13 | 43, 967 | 45 | 587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111 |
14 | 46 | 383799511, 67568238839737 | |
15 | 47, 4241723 | 47 | 285528427091, 1229030085617829967076190070873124909 |
16 | 3617 | 48 | 653, 56039, 153289748932447906241 |
17 | 228135437 | 49 | 5516994249383296071214195242422482492286460673697 |
18 | 43867 | 50 | 417202699, 47464429777438199 |
19 | 79, 349, 87224971 | 51 | 5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721 |
20 | 283, 617 | 52 | 577, 58741, 401029177, 4534045619429 |
21 | 41737, 354957173 | 53 | 1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619 |
22 | 131, 593 | 54 | 39409, 660183281, 1120412849144121779 |
23 | 31, 1567103, 1427513357 | 55 | 2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079 |
24 | 103, 2294797 | 56 | 113161, 163979, 19088082706840550550313 |
25 | 2137, 111691689741601 | 57 | 5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167 |
26 | 657931 | 58 | 67, 186707, 6235242049, 37349583369104129 |
27 | 67, 61001082228255580483 | 59 | 1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577 |
28 | 9349, 362903 | 60 | 2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911 |
29 | 71, 30211, 2717447, 77980901 | 61 | 6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247 |
30 | 1721, 1001259881 | 62 | 157, 266689, 329447317, 28765594733083851481 |
31 | 15669721, 28178159218598921101 | 63 | 101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393 |
Následující tabulka ukazuje nepravidelné páry (p, p - n) (n ≥ 2), je to domněnka, že existuje nekonečně mnoho nepravidelných párů (p, p - n) pro každé přirozené číslo n ≥ 2, ale u opravených bylo nalezeno jen několik n. Pro některé hodnoty n, i když není znám žádný takový prime p.
n | připraví p takhle p rozděluje Ap - n (tyto p jsou kontrolovány do 20 000) | OEIS sekvence |
2 | 149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ... | A198245 |
3 | 16843, 2124679, ... | A088164 |
4 | ... | |
5 | 37, ... | |
6 | ... | |
7 | ... | |
8 | 19, 31, 3701, ... | |
9 | 67, 877, ... | A212557 |
10 | 139, ... | |
11 | 9311, ... | |
12 | ... | |
13 | ... | |
14 | ... | |
15 | 59, 607, ... | |
16 | 1427, 6473, ... | |
17 | 2591, ... | |
18 | ... | |
19 | 149, 311, 401, 10133, ... | |
20 | 9643, ... | |
21 | 8369, ... | |
22 | ... | |
23 | ... | |
24 | 17011, ... | |
25 | ... | |
26 | ... | |
27 | ... | |
28 | ... | |
29 | 4219, 9133, ... | |
30 | 43, 241, ... | |
31 | 3323, ... | |
32 | 47, ... | |
33 | 101, 2267, ... | |
34 | 461, ... | |
35 | ... | |
36 | 1663, ... | |
37 | ... | |
38 | 101, 5147, ... | |
39 | 3181, 3529, ... | |
40 | 67, 751, 16007, ... | |
41 | 773, ... |
Viz také
Reference
- ^ Gardiner, A. (1988), „Čtyři problémy s dělitelností primární energie“, Americký matematický měsíčník, 95 (10): 926–931, doi:10.2307/2322386, JSTOR 2322386
- ^ Johnson, W. (1975), „Nepravidelná prvočísla a cyklomatomické invarianty“, Matematika výpočtu, 29 (129): 113–120, doi:10.2307/2005468, JSTOR 2005468
- ^ Buhler, J .; Crandall, R .; Ernvall, R .; Metsänkylä, T. (1993). „Nepravidelné prvočísla a cyklomatomické invarianty na čtyři miliony“. Matematika. Comp. 61: 151–153. doi:10.1090 / s0025-5718-1993-1197511-5.
- ^ Leo Corry: Number Crunching vs. Number Theory: Computers and FLT, from Kummer to SWAC (1850-1960), and beyond
- ^ Jensen, K.L. (1915). „Om talteoretiske Egenskaber ved de Bernoulliske Tal“. Nyt Tidsskr. Rohož. B 26: 73–83. JSTOR 24532219.
- ^ Carlitz, L. (1954). „Poznámka k nepravidelným prvočíslům“ (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. AMS. 5 (2): 329–331. doi:10.1090 / S0002-9939-1954-0061124-6. ISSN 1088-6826. PAN 0061124.
- ^ Tauno Metsänkylä (1971). Msgstr "Poznámka k rozdělení nepravidelných prvočísel". Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A já. 492. PAN 0274403.
- ^ Tauno Metsänkylä (1976). "Rozdělení nepravidelných prvočísel". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1976 (282). doi:10,1515 / crll.1976.282.126.
- ^ Narkiewicz, Władysław (1990), Základní a analytická teorie algebraických čísel (2., podstatně přepracované a rozšířené vydání), Springer-Verlag; PWN - polští vědečtí vydavatelé, str.475, ISBN 3-540-51250-0, Zbl 0717.11045
- ^ [1]
- ^ [2]
- ^ Faktorizace Bernoulliho a Eulerova čísla
Další čtení
- Kummer, E. E. (1850), „Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung xλ + yλ = zλ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3) / 2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen ", J. Reine Angew. Matematika., 40: 131–138
- Siegel, Carl Ludwig (1964), „Zu zwei Bemerkungen Kummers“, Nachrichten der Akademie der Wissenschaften v Göttingenu, 1964: 51–57, PAN 0163899
- Iwasawa, K .; Sims, C. C. (1966), "Výpočet invariants v teorii cyklotomických polí", Journal of the Mathematical Society of Japan, 18 (1): 86–96, doi:10,2969 / jmsj / 01810086
- Wagstaff, Jr., S. S. (1978), „Nepravidelné prvočísla na 125 000“, Matematika výpočtu, 32 (142): 583–591, doi:10.2307/2006167, JSTOR 2006167
- Granville, A .; Monagan, M. B. (1988), „První případ Fermatovy poslední věty platí pro všechny Prime Exponenty až do 714 591 416 091 389“, Transakce Americké matematické společnosti, 306 (1): 329–359, doi:10.1090 / S0002-9947-1988-0927694-5, PAN 0927694
- Gardiner, A. (1988), „Čtyři problémy s dělitelností primární energie“, Americký matematický měsíčník, 95 (10): 926–931, doi:10.2307/2322386, JSTOR 2322386
- Ernvall, R .; Metsänkylä, T. (1991), „Cyclotomic Invariants pro prvočísla mezi 125 000 a 1 500 000“, Matematika výpočtu, 56 (194): 851–858, doi:10.2307/2008413
- Ernvall, R .; Metsänkylä, T. (1992), „Cyclotomic Invariants pro prvočísla na jeden milion“ (PDF), Matematika výpočtu, 59 (199): 249–250, doi:10.2307/2152994
- Buhler, J. P .; Crandall, R.E .; Sompolski, R. W. (1992), „Nepravidelné připravení na jeden milion“, Matematika výpočtu, 59 (200): 717–722, doi:10.2307/2153086
- Boyd, D. W. (1994), "A p-adická studie dílčích součtů harmonické řady ", Experimentální matematika, 3 (4): 287–302, doi:10.1080/10586458.1994.10504298, Zbl 0838.11015
- Shokrollahi, M. A. (1996), Výpočet nepravidelných prvočísel až do výše 8 milionů (předběžná zpráva), Technická zpráva ICSI, TR-96-002
- Buhler, J .; Crandall, R .; Ernvall, R .; Metsänkylä, T .; Shokrollahi, M.A. (2001), „Nepravidelná prvočísla a cyklomatomické invarianty k 12 milionům“, Journal of Symbolic Computation, 31 (1–2): 89–96, doi:10.1006 / jsco.1999.1011
- Richard K. Guy (2004), „Sekce D2. Fermatův problém“, Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.), Springer Verlag, ISBN 0-387-20860-7
- Villegas, F. R. (2007), Experimentální teorie čísel, New York: Oxford University Press, s. 166–167, ISBN 978-0-19-852822-7
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Nepravidelný prime“. MathWorld.
- Chris Caldwell, Hlavní glosář: pravidelné prime na Prime Stránky.
- Keith Conrad, Fermatova poslední věta o regulárních prvočíslech.
- Bernoulli nepravidelný prime
- Euler nepravidelný prime
- Bernoulli a Euler nepravidelná prvočísla.
- Faktorizace Bernoulliho a Eulerova čísla
- Faktorizace Bernoulliho a Eulerova čísla