Přátelská čísla - Amicable numbers

Demonstrace přátelství dvojice čísel s pruty (220 284)

Přátelská čísla jsou dva různé čísla související takovým způsobem, že součet z řádní dělitelé každé z nich se rovná druhému číslu.

Nejmenší pár přátelských čísel je (220, 284 ). Jsou přátelští, protože vlastní dělitele 220 jsou 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 a 110, z čehož je součet 284; a vlastní dělitele 284 jsou 1, 2, 4, 71 a 142, z toho je součet 220. (Správný dělitel čísla je kladným faktorem tohoto čísla kromě samotného čísla. Například vlastní dělitele ze 6 jsou 1, 2 a 3.)

Dvojice přátelských čísel představuje alikvotní sekvence z doba 2. Není známo, zda existuje nekonečně mnoho párů přátelských čísel.

Příbuzný koncept je koncept a perfektní číslo, což je číslo, které se rovná součtu jeho vlastní řádné dělitele, jinými slovy číslo, které tvoří alikvotní sekvenci období 1. Čísla, která jsou členy alikvotní sekvence s periodou větší než 2, jsou známa jako společenská čísla.

Prvních deset přátelských párů je: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), ( 17296, 18416), (63020, 76084) a (66928, 66992). (sekvence A259180 v OEIS ). (Viz také OEIS: A002025 a OEIS: A002046)

Dějiny

Přátelská čísla byla známa Pytagorejci, který jim připsal mnoho mystických vlastností. Obecný vzorec, podle kterého lze některá z těchto čísel odvodit, vynalezl přibližně 850 irácký matematik Thābit ibn Qurra (826–901). jiný Arab matematici, kteří studovali přátelská čísla, jsou al-Majriti (zemřel 1007), al-Baghdadi (980–1037) a al-Fārisī (1260–1320). The íránský matematik Muhammad Baqir Yazdi (16. století) objevil pár (9363584, 9437056), i když tomu bylo často připisováno Descartes.^[1] Hodně z práce Východní matematici v této oblasti bylo zapomenuto.

Vzorec Thābita ibn Qurry znovu objevil Fermat (1601–1665) a Descartes (1596–1650), kterému je někdy připisována a rozšířena o Euler (1707–1783). Bylo dále rozšířeno o Borho v roce 1972. Fermat a Descartes také znovuobjevili dvojice přátelských čísel známých arabským matematikům. Euler také objevil desítky nových párů.^[2] Druhý nejmenší pár (1184, 1210) objevil v roce 1866 tehdejší dospívající B. Nicolò I. Paganini (nezaměňovat se skladatelem a houslistou), který dřívější matematici přehlédli.^[3]

Do roku 1946 bylo známo 390 párů, ale nástup počítačů umožnil objev mnoha tisíců od té doby. Byly provedeny důkladné hledání, aby se zjistilo, že všechny páry jsou menší než daná hranice, tato vazba je prodloužena z 10⁸ v roce 1970 na 10¹⁰ v roce 1986, 10¹¹ v roce 1993, 10¹⁷ v roce 2015 a do 10¹⁸ v roce 2016.

Od ledna 2020^{[Aktualizace]}, existuje více než 1225 063 681 známých přátelských párů.^[4]

Pravidla pro generování

I když tato pravidla generují pár přátelských čísel, je známo mnoho dalších párů, takže tato pravidla nejsou v žádném případě vyčerpávající.

Zejména dvě níže uvedená pravidla produkují pouze dokonce přátelské páry, takže je nezajímá otevřený problém hledání přátelských párů coprime na 210 = 2,3 · 5,7, zatímco více než 1000 párů coprime na 30 = 2,3 · 5 známých [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].

Věta Thābit ibn Qurra

The Věta Thābit ibn Qurra je metoda pro objevování přátelských čísel vynalezených v devátém století Arab matematik Thābit ibn Qurra.^[5]

Uvádí se v něm, že pokud

p = 3×2^{n − 1} − 1,

q = 3×2ⁿ − 1,

r = 9×2^{2n − 1} − 1,

kde n > 1 je celé číslo a p, q, a r jsou prvočísla, pak 2ⁿ×p×q a 2ⁿ×r jsou dvojice přátelských čísel. Tento vzorec dává dvojicím (220, 284) pro n = 2, (17296, 18416) pro n = 4, a (9363584, 9437056) pro n = 7, ale žádné další takové páry nejsou známy. Čísla formuláře 3×2ⁿ − 1 jsou známé jako Zvyklá čísla. Aby vzorec Ibn Qurry vytvořil přátelský pár, musí být prvočísla dvě po sobě jdoucí čísla Thabit; to vážně omezuje možné hodnoty n.

Pro stanovení věty se Thâbit ibn Qurra ukázal jako devět lemmat rozdělena do dvou skupin. První tři lemata se zabývají určováním alikvotních částí přirozeného celého čísla. Druhá skupina lemmat se konkrétněji zabývá tvorbou dokonalých, hojných a nedostatečných čísel.^[6]

Eulerovo pravidlo

Eulerovo pravidlo je zobecněním věty Thâbit ibn Qurra. Uvádí se v něm, že pokud

p = (2^{n − m} + 1)×2^m − 1,

q = (2^{n − m} + 1)×2ⁿ − 1,

r = (2^{n − m} + 1)²×2^{m + n} − 1,

kde n > m > 0 jsou celá čísla a p, q, a r jsou prvočísla, pak 2ⁿ×p×q a 2ⁿ×r jsou dvojice přátelských čísel. Věta Thābita ibn Qurry odpovídá případu m = n − 1. Eulerovo pravidlo vytváří další přátelské páry (m,n) = (1,8), (29,40) aniž by byli známy další. Euler (1747 a 1750) celkově našel 58 nových párů, aby se všechny existující páry staly 61.^[2][7]

Pravidelné páry

Nechť (m, n) být dvojice přátelských čísel s m < n, a piš m = gM a n = gN kde G je největší společný dělitel z m a n. Li M a N jsou oba coprime na G a čtverec zdarma pak dvojice (m, n) se říká, že je pravidelný (sekvence A215491 v OEIS ), jinak se nazývá nepravidelný nebo exotický. Pokud (m, n) je pravidelný a M a N mít i a j tedy hlavní faktory (m, n) se říká, že je z typ (i, j).

Například s (m, n) = (220, 284), největší společný dělitel je 4 a tak M = 55 a N = 71. Proto, (220, 284) je pravidelného typu (2, 1).

Dvojice přátelských párů

Přátelský pár (m, n) je dvojče, pokud mezi nimi nejsou žádná celá čísla m a n náležející jakémukoli jinému přátelskému páru (sekvence A273259 v OEIS )

Další výsledky

V každém známém případě jsou čísla dvojice buď obě dokonce nebo obojí liché. Není známo, zda sudý-lichý pár přátelských čísel existuje, ale pokud ano, sudé číslo musí být buď čtvercové číslo nebo dvakrát jedno a liché číslo musí být čtvercové číslo. Přátelská čísla, kde oba členové mají různé nejmenší primární faktory, však existují: je známo sedm takových párů.^[8] Také každý známý pár sdílí alespoň jedno společné prvočíslo faktor. Není známo, zda dvojice coprime přátelská čísla existují, i když ano, produkt ze dvou musí být větší než 10⁶⁷.^{[Citace je zapotřebí ]} Pár přátelských čísel coprime také nelze vygenerovat Thabitovým vzorcem (výše) ani žádným podobným vzorcem.

V roce 1955 Paul Erdős ukázaly, že hustota přátelských čísel ve srovnání s kladnými celými čísly byla 0.^[9]

V roce 1968 Martin Gardner poznamenal, že většina dokonce přátelských párů známých v jeho době má částky dělitelné 9,^[10] a pravidlo pro charakterizaci výjimek (sekvence A291550 v OEIS ) bylo získáno.^[11]

Podle domněnky součtu přátelských párů se počet přátelských párů blíží nekonečnu, procento součtu přátelských párů dělitelné deseti se blíží 100% (sekvence A291422 v OEIS ).

Odkazy v populární kultuře

• V románu jsou uvedena přátelská čísla Hospodyně a profesor podle Yoko Ogawa a v Japonský film na základě toho.
• Paul Auster Sbírka povídek s názvem Pravdivé příběhy amerického života obsahuje příběh („Mathematical Afrodiziakum“ od Alexe Galta), ve kterém hraje důležitou roli přátelské množství.
• Přátelská čísla jsou krátce uvedena v románu Cizí dům podle Reginald Hill.
• Přátelská čísla jsou zmíněna ve francouzském románu Papouškova věta podle Denis Guedj.
• Přátelská čísla jsou uvedena v JRPG Persona 4 Golden.
• Přátelská čísla jsou uvedena ve vizuálním románu Přepsat.
• Na přátelská čísla (220, 284) se odkazuje v epizodě 13 korejského dramatu z roku 2017 Andante.
• Přátelská čísla jsou uvedena v řeckém filmu The Other Me (2016 film) - The Other Me (2016 film).
• Přátelská čísla jsou diskutována v Brian Cleggs rezervovat Jsou čísla skutečná?

Zobecnění

Přátelské n-tice

Přátelská čísla ${displaystyle (m, n)}$ uspokojit ${displaystyle sigma (m) -m = n}$ a ${displaystyle sigma (n) -n = m}$ které lze psát společně jako ${displaystyle sigma (m) = sigma (n) = m + n}$. To lze zobecnit na větší n-tice ${displaystyle (n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {k})}$, kde požadujeme

${displaystyle sigma (n_ {1}) = sigma (n_ {2}) = tečky = sigma (n_ {k}) = n_ {1} + n_ {2} + tečky + n_ {k}}$

Například (1980, 2016, 2556) je přátelský trojnásobek (sekvence A125490 v OEIS ) a (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) je přátelský čtyřnásobek (sekvence A036471 v OEIS ).

Přátelský multisety jsou definovány analogicky a zobecňuje to o něco dále (sekvence A259307 v OEIS ).

Společenská čísla

Společenská čísla jsou čísla v cyklických seznamech čísel (s délkou větší než 2), kde každé číslo je součtem správných dělitelů předchozího čísla. Například, ${displaystyle 1264460mapsto 1547860mapsto 1727636mapsto 1305184mapsto 1264460mapsto teček}$ jsou společenská čísla objednávky 4.

Hledání společenských čísel

The alikvotní sekvence lze reprezentovat jako a řízený graf, ${displaystyle G_ {n, s}}$, pro dané celé číslo ${displaystyle n}$, kde ${displaystyle s (k)}$ označuje součet správných dělitelů ${displaystyle k}$.^[12]Cykly v ${displaystyle G_ {n, s}}$ zastupovat společenská čísla v intervalu ${displaystyle [1, n]}$. Dva speciální případy jsou smyčky, které představují perfektní čísla a cykly délky dva, které představují přátelské páry.

Viz také

• Zasnoubená čísla (kvazi přátelská čísla)

Poznámky

Reference

• Tento článek včlení text z publikace nyní v veřejná doména: Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Přátelská čísla ". Encyklopedie Britannica (11. vydání). Cambridge University Press.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Příručka teorie čísel II. Dordrecht: Kluwer Academic. s. 32–36. ISBN  978-1-4020-2546-4. Zbl  1079.11001.
• Wells, D. (1987). Slovník tučňáků zvědavých a zajímavých čísel. Londýn: Penguin Group. str. 145–147.
• Weisstein, Eric W. „Přátelský pár“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Thâbit ibn Kurrah Rule“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Eulerovo pravidlo“. MathWorld.

externí odkazy

• M. García; J.M. Pedersen; H.J.J. te Riele (2003-07-31). „Přátelské páry, průzkum“ (PDF). Zpráva MAS-R0307.
• Špína, James. „220 a 284 (přátelská čísla)“. Numberphile. Brady Haran. Archivovány od originál dne 16.7.2017. Citováno 2013-04-02.
• Špína, James. „MegaFavNumbers - domněnka sudých přátelských čísel“. Youtube. Citováno 2020-06-09.