Zlatý obdélník - Golden rectangle

Zlatý obdélník se stranami Ab umístěné v sousedství čtverce se stranami délky A vyrábí a podobný zlatý obdélník.

v geometrie, a zlatý obdélník je obdélník jejichž boční délky jsou v Zlatý řez, ${ displaystyle 1: { tfrac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}$ , který je ${ displaystyle 1: varphi}$ (řecké písmeno phi ), kde ${ displaystyle varphi}$ je přibližně 1 618.

Zlaté obdélníky vykazují zvláštní formu sebepodobnost: Všechny obdélníky vytvořené přidáním nebo odebráním čtverce jsou také zlaté obdélníky.

Metoda konstrukce zlatého obdélníku. Vzhledem k Pythagorova věta,^[A] úhlopříčka rozdělující jednu polovinu čtverce se rovná poloměru kruhu, jehož nejvzdálenější bod je také roh zlatého obdélníku přidaného k čtverci.^[1]

Konstrukce

Zlatý obdélník může být konstruováno pouze s pravítkem a kompasem ve čtyřech jednoduchých krocích:

Nakreslete jednoduchý čtverec.
Nakreslete čáru od středu jedné strany čtverce k opačnému rohu.
Pomocí této čáry jako poloměru nakreslete oblouk, který definuje výšku obdélníku.
Vyplňte zlatý obdélník.

Charakteristickým rysem tohoto tvaru je, že když a náměstí část je přidána - nebo odstraněna - produkt je další zlatý obdélník, který má stejný poměr stran jako první. Přidávání nebo odebírání čtverců lze opakovat nekonečně, v takovém případě tvoří odpovídající rohy čtverců nekonečnou posloupnost bodů na zlatá spirála, unikátní logaritmická spirála s touto vlastností. Diagonální čáry nakreslené mezi prvními dvěma řády vložených zlatých obdélníků budou definovat průsečík úhlopříček všech vložených zlatých obdélníků; Clifford A. Pickover označoval tento bod jako „Boží oko“.^[2]

Dějiny

Proporce zlatého obdélníku byly pozorovány již v Babylonian Tablet Shamash (asi 888–855 př. n. l.),^[3]^[4] ačkoli Mario Livio požaduje jakékoli znalosti o Zlatý řez před Starověcí Řekové "pochybný".^[5]

Podle Livia od zveřejnění Luca Pacioli je Divina proporce v roce 1509 „Zlatý poměr začal být umělcům k dispozici v teoretických pojednáních, která nebyla příliš matematická, aby je mohli skutečně použít.“^[6]

1927 Villa Stein navrhl Le Corbusier, z nichž některé architektura využívá zlatý řez, obsahuje rozměry, které se blíží zlatým obdélníkům.^[7]

Vztah k pravidelným mnohoúhelníkům a mnohostěnům

Euklid dává alternativní konstrukci zlatého obdélníku pomocí tří polygonů vymezený shodnými kruhy: pravidelný desetiúhelník, šestiúhelník, a Pentagon. Příslušné délky A, b, a C stran těchto tří polygonů splňuje rovnici A² + b² = C², takže úsečky s těmito délkami tvoří a pravoúhlý trojuhelník (obráceně Pythagorova věta ). Poměr délky strany šestiúhelníku k dekagonu je zlatý řez, takže tento trojúhelník tvoří polovinu zlatého obdélníku.^[8]

Tři zlaté obdélníky v dvacetistěnu

The konvexní obal dvou protilehlých okrajů pravidelné dvacetistěnu tvoří zlatý obdélník. Dvanáct vrcholů dvacetistěnu lze tímto způsobem rozložit na tři vzájemně kolmé zlaté obdélníky, jejichž hranice jsou spojeny ve vzoru Borromejské prsteny.^[9]

Viz také

Poznámky

^ ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} ^ {2} + 1 ^ {2} = { tfrac {5} {2 ^ {2}}}}$

Reference

^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2011). Slavný zlatý poměr. Knihy Prometheus. p.11. ISBN 9-781-61614-424-1.
^ Livio, Mario (2003) [2002]. Zlatý poměr: Příběh Phi, nejúžasnějšího čísla na světě. New York City: Broadway Books. p.85. ISBN 0-7679-0816-3.
^ Olsen, Scott (2006). The Golden Section: Nature's Greatest Secret. Glastonbury: Dřevěné knihy. p.3. ISBN 978-1-904263-47-0.
^ Van Mersbergen, Audrey M., Rétorické prototypy v architektuře: Měření Akropole s filozofickou polemikou, Komunikace čtvrtletně, Sv. 46, 1998 („„ Zlatý obdélník “má poměr délky svých stran rovný 1: 1,61 1803+. Parthenon má tyto rozměry.))
^ Livio, Mario. „Zlatý poměr v umění: těžce čerpající ze zlatého poměru“ (PDF). p. 6. Citováno 11. září 2019.
^ Livio, Mario (2003) [2002]. Zlatý poměr: Příběh Phi, nejúžasnějšího čísla na světě. New York City: Broadway Books. p.136. ISBN 0-7679-0816-3.
^ Le Corbusier, Modulor, str. 35, citovaný v Padovan, Richard, Podíl: Věda, Filozofie, Architektura (1999), str. 320. Taylor & Francis. ISBN 0-419-22780-6: „Obrazy i architektonické návrhy využívají zlatý řez“.
^ Euklid, Elementy, Kniha XIII, Proposition 10.
^ Burger, Edward B .; Starbird, Michael P. (2005). Srdce matematiky: výzva k efektivnímu myšlení. Springer. p. 382. ISBN 9781931914413 {{nekonzistentní citace}}.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Zlatý obdélník“. MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Zlatý řez". MathWorld.
Zlatý průměr a fyzika estetiky
Demonstrace zlatého obdélníku S interaktivní animací
Od zlatého obdélníku po zlaté čtyřúhelníky Prozkoumává několik různých možných zlatých čtyřúhelníků

[1] ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} ^ {2} + 1 ^ {2} = { tfrac {5} {2 ^ {2}}}}$

[2] Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2011). Slavný zlatý poměr. Knihy Prometheus. p.11. ISBN 9-781-61614-424-1.

[3] Livio, Mario (2003) [2002]. Zlatý poměr: Příběh Phi, nejúžasnějšího čísla na světě. New York City: Broadway Books. p.85. ISBN 0-7679-0816-3.

[4] Olsen, Scott (2006). The Golden Section: Nature's Greatest Secret. Glastonbury: Dřevěné knihy. p.3. ISBN 978-1-904263-47-0.

[5] Van Mersbergen, Audrey M., Rétorické prototypy v architektuře: Měření Akropole s filozofickou polemikou, Komunikace čtvrtletně, Sv. 46, 1998 („„ Zlatý obdélník “má poměr délky svých stran rovný 1: 1,61 1803+. Parthenon má tyto rozměry.))

[6] Livio, Mario. „Zlatý poměr v umění: těžce čerpající ze zlatého poměru“ (PDF). p. 6. Citováno 11. září 2019.

[livio-7] Livio, Mario (2003) [2002]. Zlatý poměr: Příběh Phi, nejúžasnějšího čísla na světě. New York City: Broadway Books. p.136. ISBN 0-7679-0816-3.

[8] Le Corbusier, Modulor, str. 35, citovaný v Padovan, Richard, Podíl: Věda, Filozofie, Architektura (1999), str. 320. Taylor & Francis. ISBN 0-419-22780-6: „Obrazy i architektonické návrhy využívají zlatý řez“.

[9] Euklid, Elementy, Kniha XIII, Proposition 10.

[10] Burger, Edward B .; Starbird, Michael P. (2005). Srdce matematiky: výzva k efektivnímu myšlení. Springer. p. 382. ISBN 9781931914413 {{nekonzistentní citace}}.

[A]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]