Diophantine aproximace - Diophantine approximation

v teorie čísel, studium Diophantine aproximace se zabývá aproximací reálná čísla podle racionální čísla. Je pojmenován po Diophantus Alexandrijský.

Prvním problémem bylo vědět, jak dobře lze reálné číslo aproximovat racionálními čísly. Pro tento problém racionální číslo A/b je „dobrá“ aproximace reálného čísla α pokud je absolutní hodnota rozdílu mezi A/b a α nemusí klesnout, pokud A/b je nahrazeno jiným racionálním číslem s menším jmenovatelem. Tento problém byl vyřešen v průběhu 18. století pomocí pokračující zlomky.

Znát „nejlepší“ aproximace daného čísla je hlavním problémem pole najít ostré horní a dolní mez výše uvedeného rozdílu vyjádřeného jako funkce jmenovatel.

Ukazuje se, že tyto hranice závisí na povaze reálných čísel, která mají být aproximována: dolní hranice pro aproximaci racionálního čísla jiným racionálním číslem je větší než dolní hranice pro algebraická čísla, což je samo o sobě větší než dolní mez pro všechna reálná čísla. Skutečné číslo, které může být lépe aproximováno než vázané na algebraická čísla, je tedy určitě a transcendentní číslo. To povoleno Liouville v roce 1844 k vytvoření prvního explicitního transcendentálního čísla. Později to dokazuje π a E jsou transcendentální byly získány podobnou metodou.

Diophantine aproximace a teorie transcendentních čísel jsou velmi blízké oblasti, které sdílejí mnoho vět a metod. Diophantine aproximace mají také důležité aplikace při studiu Diophantine rovnice.

Nejlepší diofantické aproximace reálného čísla

Vzhledem k reálnému číslu α, existují dva způsoby, jak definovat nejlepší diofantickou aproximaci α. Pro první definici^[1] racionální číslo p/q je nejlepší diofantická aproximace z α -li

${ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} right | < left | alpha - { frac {p '} {q'}} right |,}$

za každé racionální číslo p '/q ' odlišný od p/q takhle 0 < q′ ≤ q.

Pro druhou definici^[2][3] výše uvedená nerovnost je nahrazena

${ displaystyle left | q alpha -p right | < left | q ^ { prime} alpha -p ^ { prime} right |.}$

Nejlepší aproximace pro druhou definici je také nejlepší aproximací pro první definici, ale obrácení je nepravdivé.^[4]

Teorie pokračující zlomky umožňuje nám vypočítat nejlepší aproximace reálného čísla: pro druhou definici jsou to konvergenty jeho výrazu jako pravidelné pokračující zlomek.^[3][4][5] U první definice je třeba vzít v úvahu také polokonvergenty.^[1]

Například konstanta E = 2,718281828459045235 ... má (normální) pokračující zlomkovou reprezentaci

${ displaystyle [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, ldots ;].}$

Jeho nejlepší aproximace pro druhou definici jsou

${ displaystyle 3, { tfrac {8} {3}}, { tfrac {11} {4}}, { tfrac {19} {7}}, { tfrac {87} {32}}, ldots ,,}$

zatímco pro první definici jsou

${ displaystyle 3, { tfrac {5} {2}}, { tfrac {8} {3}}, { tfrac {11} {4}}, { tfrac {19} {7}}, { tfrac {49} {18}}, { tfrac {68} {25}}, { tfrac {87} {32}}, { tfrac {106} {39}}, ldots ,.}$

Míra přesnosti aproximací

Zjevná míra přesnosti diofantické aproximace reálného čísla α racionálním číslem p/q je ${ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} vpravo |.}$ Toto množství však lze vždy libovolně zmenšit zvýšením absolutních hodnot p a q; přesnost aproximace se tedy obvykle odhaduje porovnáním této veličiny s nějakou funkcí φ jmenovatele q, obvykle jeho negativní moc.

Pro takové srovnání může být žádoucí horní hranice nebo dolní hranice přesnosti. Dolní mez je obvykle popsána větou jako „pro každý prvek α nějaké podmnožiny reálných čísel a každého racionálního čísla p/q, my máme ${ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} doprava |> phi (q)}$ V některých případech může být „každé racionální číslo“ nahrazeno „všemi racionálními čísly kromě jejich konečného počtu“, což se rovná násobení φ nějakou konstantou v závislosti na α.

U horních mezí je třeba vzít v úvahu, že ne všechny „nejlepší“ diofantické aproximace poskytované konvergenty mohou mít požadovanou přesnost. Věty proto mají formu „pro každý prvek α z nějaké podmnožiny reálných čísel existuje nekonečně mnoho racionálních čísel p/q takhle ${ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} doprava | < phi (q)}$ ".

Špatně přibližná čísla

A špatně přibližné číslo je X pro které existuje pozitivní konstanta C takové, že pro všechny racionální p/q my máme

${ displaystyle left | {x - { frac {p} {q}}} doprava |> { frac {c} {q ^ {2}}} .}$

Špatně přibližná čísla jsou přesně ta s ohraničené dílčí kvocienty.^[6]

Ekvivalentně je číslo špatně přibližné kdyby a jen kdyby své Markovova konstanta je omezený.

Dolní hranice pro diofantické aproximace

Aproximace racionálu jinými racionály

Racionální číslo ${ displaystyle alpha = { frac {a} {b}}}$ může být zjevně a dokonale aproximován ${ displaystyle { tfrac {p_ {i}} {q_ {i}}} = { tfrac {i , a} {i , b}}}$ pro každé kladné celé číslo i.

Li ${ displaystyle { tfrac {p} {q}} not = alpha = { tfrac {a} {b}} ,,}$ my máme

${ displaystyle left | { frac {a} {b}} - { frac {p} {q}} right | = left | { frac {aq-bp} {bq}} right | geq { frac {1} {bq}},}$

protože ${ displaystyle | aq-bp |}$ je kladné celé číslo, a proto není menší než 1. Přesnost aproximace je tedy vzhledem k iracionálním číslům špatná (viz následující části).

Je možné poznamenat, že předchozí důkaz používá variantu princip holubí díry: nezáporné celé číslo, které není 0, není menší než 1. Tato zjevně triviální poznámka se používá téměř v každém důkazu dolních mezí pro diofantické aproximace, i těch nejsofistikovanějších.

Stručně řečeno, racionální číslo je dokonale aproximováno samo o sobě, ale je špatně aproximováno jakýmkoli jiným racionálním číslem.

Aproximace algebraických čísel, Liouvilleův výsledek

Ve 40. letech 19. století Joseph Liouville získal první dolní mez pro aproximaci algebraická čísla: Pokud X je iracionální algebraický počet stupňů n nad racionálními čísly pak existuje konstanta C(X) > 0 takhle

${ displaystyle left | x - { frac {p} {q}} doprava |> { frac {c (x)} {q ^ {n}}}}$

platí pro všechna celá čísla p a q kde q > 0.

Tento výsledek mu umožnil vytvořit první osvědčený příklad transcendentálního čísla, Liouvilleova konstanta

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ { infty} 10 ^ {- j!} = 0,110001000000000000000001000 ldots ,,}$

který neuspokojuje Liouvillův teorém, bez ohledu na stupeň n je vybrán.

Tato souvislost mezi diofantickými aproximacemi a teorií transcendentních čísel přetrvává dodnes. Mnoho z důkazních technik je sdíleno mezi těmito dvěma oblastmi.

Aproximace algebraických čísel, věta Thue – Siegel – Roth

V průběhu více než století existovalo mnoho snah o zlepšení Liouvilleovy věty: každé vylepšení vazby nám umožňuje dokázat, že více čísel je transcendentálních. Hlavní vylepšení jsou způsobena Axel Thue  (1909 ), Siegel  (1921 ), Freeman Dyson  (1947 ), a Klaus Roth  (1955 ), vedoucí nakonec k teorému Thue – Siegel – Roth: If X je iracionální algebraické číslo a ε (malé) kladné reálné číslo, pak existuje kladná konstanta C(X, ε) takhle

${ displaystyle left | x - { frac {p} {q}} doprava |> { frac {c (x, varepsilon)} {q ^ {2+ varepsilon}}}}$

platí pro každé celé číslo p a q takhle q > 0.

V jistém smyslu je tento výsledek optimální, protože věta by byla falešná ε= 0. To je okamžitý důsledek horních mezí popsaných níže.

Simultánní aproximace algebraických čísel

Následně Wolfgang M. Schmidt zobecnil to na případ simultánních aproximací a dokázal, že: Pokud X₁, ..., X_n jsou algebraická čísla taková, že 1, X₁, ..., X_n jsou lineárně nezávislé nad racionálními čísly a ε je jakékoli dané kladné reálné číslo, pak existuje jen konečně mnoho racionálních n- n-tice (p₁/q, ..., p_n/q) takhle

${ displaystyle | x_ {i} -p_ {i} / q |$

Tento výsledek je opět optimální v tom smyslu, že jej nelze odstranit ε od exponenta.

Efektivní hranice

Všechny předchozí dolní hranice nejsou efektivní, v tom smyslu, že důkazy neposkytují žádný způsob, jak vypočítat konstantu implikovanou v prohlášeních. To znamená, že nelze použít výsledky nebo jejich důkazy k získání hranice velikosti řešení souvisejících diofantických rovnic. Tyto techniky a výsledky však lze často použít k omezení počtu řešení těchto rovnic.

Nicméně vylepšení Bakerova věta Feldman poskytuje efektivní vazbu: pokud X je algebraický počet stupňů n nad racionálními čísly pak existují efektivně vypočítatelné konstanty C(X)> 0 a 0 <d(X) < n takhle

${ displaystyle left | x - { frac {p} {q}} doprava |> { frac {c (x)} {| q | ^ {d (x)}}}}$

platí pro všechna racionální celá čísla.

Avšak stejně jako u každé účinné verze Bakerovy věty, konstanty d a 1 /C jsou tak velké, že tento efektivní výsledek nelze v praxi použít.

Horní hranice pro diofantické aproximace

Obecná horní hranice

Prvním důležitým výsledkem o horních mezích pro diofantické aproximace je Dirichletova věta o aproximaci, což z toho vyplývá, pro každé iracionální číslo α, existuje nekonečně mnoho zlomků ${ displaystyle { tfrac {p} {q}} ;}$ takhle

${ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} doprava | <{ frac {1} {q ^ {2}}} ,.}$

Z toho okamžitě vyplývá, že člověk nemůže potlačit ε ve vyjádření věty Thue-Siegel-Roth.

V průběhu let byla tato věta vylepšena až do následující věty o Émile Borel (1903).^[7] Za každé iracionální číslo α, existuje nekonečně mnoho zlomků ${ displaystyle { tfrac {p} {q}} ;}$ takhle

${ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} doprava | <{ frac {1} {{ sqrt {5}} q ^ {2}}} ,.}$

Proto, ${ displaystyle { frac {1} {{ sqrt {5}} , q ^ {2}}}}$ je horní mez pro diofantické aproximace jakéhokoli iracionálního čísla. Konstanta v tomto výsledku nemusí být dále vylepšena bez vyloučení některých iracionálních čísel (viz níže).

Ekvivalentní reálná čísla

Definice: Dvě reálná čísla ${ displaystyle x, y}$ jsou nazývány ekvivalent^[8][9] pokud existují celá čísla ${ displaystyle a, b, c, d ;}$ s ${ displaystyle ad-bc = pm 1 ;}$ takové, že:

${ displaystyle y = { frac {sekera + b} {cx + d}} ,.}$

Ekvivalence je tedy definována celým číslem Möbiova transformace na reálných číslech, nebo členem Modulární skupina ${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ^ { pm} ( mathbb {Z})}$, sada invertibilních matic 2 × 2 přes celá čísla. Každé racionální číslo odpovídá 0; racionální čísla jsou tedy třída ekvivalence pro tento vztah.

Ekvivalenci lze číst na pravidelné pokračující zlomkové reprezentaci, jak ukazuje následující věta o Serret:

Teorém: Dvě iracionální čísla X a y jsou ekvivalentní, pokud existují pouze dvě kladná celá čísla h a k takové, že pravidelné pokračující zlomek reprezentace X a y

${ displaystyle x = [u_ {0}; u_ {1}, u_ {2}, ldots] ,,}$

${ displaystyle y = [v_ {0}; v_ {1}, v_ {2}, ldots] ,,}$

ověřit

${ displaystyle u_ {h + i} = v_ {k + i}}$

pro každé nezáporné celé číslo i.^[10]

Tedy, s výjimkou konečné počáteční posloupnosti, mají ekvivalentní čísla stejnou pokračující zlomkovou reprezentaci.

Ekvivalentní čísla jsou přibližně srovnatelná se stejným stupněm Markovova konstanta.

Lagrangeovo spektrum

Jak bylo řečeno výše, konstanta v Borelově větě se nemusí zlepšit, jak ukazuje Adolf Hurwitz v roce 1891.^[11]Nechat ${ displaystyle phi = { tfrac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}$ být Zlatý řez.Pak pro každou skutečnou konstantu C s ${ displaystyle c> { sqrt {5}} ;}$ existuje pouze konečný počet racionálních čísel p/q takhle

${ displaystyle left | phi - { frac {p} {q}} vpravo | <{ frac {1} {c , q ^ {2}}}.}$

Zlepšení lze tedy dosáhnout pouze tehdy, pokud jsou čísla ekvivalentní ${ displaystyle phi}$ jsou vyloučeny. Přesněji:^[12][13]Za každé iracionální číslo ${ displaystyle alpha}$, což není ekvivalent k ${ displaystyle phi}$, existuje nekonečně mnoho zlomků ${ displaystyle { tfrac {p} {q}} ;}$ takhle

${ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} doprava | <{ frac {1} {{ sqrt {8}} q ^ {2}}}.}$

Postupnými vyloučeními - další musí vyloučit čísla odpovídající ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ - z více a více tříd ekvivalence lze dolní mez dále zvětšit. Hodnoty, které lze generovat tímto způsobem, jsou Lagrangeova čísla, které jsou součástí Lagrangeovo spektrum. Konvergují k číslu 3 a souvisejí s Markovova čísla.^[14][15]

Khinchinova věta a rozšíření

Nechat ${ displaystyle psi}$ být nerostoucí funkcí od kladných celých čísel po kladná reálná čísla. Skutečné číslo X (ne nutně algebraický) se nazývá ${ displaystyle psi}$-přibližný pokud existuje nekonečně mnoho racionálních čísel p/q takhle

${ displaystyle left | x - { frac {p} {q}} doprava | <{ frac { psi (q)} {| q |}}.}$

Aleksandr Khinchin v roce 1926 se ukázalo, že pokud série ${ displaystyle sum _ {q} psi (q)}$ se rozchází, pak téměř každé skutečné číslo (ve smyslu Lebesgueovo opatření ) je ${ displaystyle psi}$-přibližný, a pokud řada konverguje, pak téměř každé reálné číslo není ${ displaystyle psi}$- přibližný.

Duffin & Schaeffer (1941) se ukázal jako obecnější věta, která implikuje Khinchinův výsledek, a vytvořil domněnku, nyní známou pod jejich jménem jako Duffin – Schaefferova domněnka. Beresnevich & Velani (2006) dokázal, že a Hausdorffovo opatření analogie Duffin – Schaefferova domněnky je ekvivalentní původní domněnce Duffin – Schaeffer, která je a priori slabší. V červenci 2019 Dimitris Koukoulopoulos a James Maynard oznámil důkaz domněnky.^[16][17]

Hausdorffův rozměr výjimečných sad

Důležitý příklad funkce ${ displaystyle psi}$ na kterou lze použít Khinchinovu větu, je funkce ${ displaystyle psi _ {c} (q) = q ^ {- c}}$, kde C > 1 je skutečné číslo. Pro tuto funkci konverguje příslušná řada, a tak nám Khinchinova věta říká, že téměř každý bod není ${ displaystyle psi _ {c}}$- přibližný. Tedy množina čísel, která jsou ${ displaystyle psi _ {c}}$-proximable tvoří podmnožinu skutečné linie Lebesgueovy míry nula. Jarníkova-Besicovitchova věta, kvůli V. Jarník a A. S. Besicovitch, uvádí, že Hausdorffova dimenze této sady se rovná ${ displaystyle 1 / c}$.^[18] Zejména množina čísel, která jsou ${ displaystyle psi _ {c}}$-pro některé přístupné ${ displaystyle c> 1}$ (známý jako soubor velmi dobře přibližná čísla) má Hausdorffovu dimenzi jedna, zatímco množinu čísel, která jsou ${ displaystyle psi _ {c}}$-přibližně pro všechny ${ displaystyle c> 1}$ (známý jako soubor Liouvilleova čísla ) má Hausdorffovu dimenzi nula.

Dalším důležitým příkladem je funkce ${ displaystyle psi _ { epsilon} (q) = epsilon q ^ {- 1}}$, kde ${ displaystyle epsilon> 0}$ je skutečné číslo. Pro tuto funkci se příslušná řada rozchází, a tak nám Khinchinova věta říká, že téměř každé číslo je ${ displaystyle psi _ { epsilon}}$- přibližný. To je stejné jako říkat, že každé takové číslo je dobře přibližně, kde se číslo nazývá dobře přibližné, pokud není špatně přibližné. Vhodný analog Jarníkovy-Besicovitchovy věty by se tedy měl týkat Hausdorffovy dimenze množiny špatně aproximovatelných čísel. V. Jarník skutečně dokázal, že Hausdorffův rozměr této množiny se rovná jedné. Tento výsledek byl vylepšen o W. M. Schmidt, který ukázal, že množina špatně přibližných čísel je nestlačitelný, což znamená, že pokud ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, ldots}$ je posloupnost bi-Lipschitz mapy, pak sada čísel X pro který ${ displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), ldots}$ jsou špatně přibližné, má Hausdorff dimenzi jedna. Schmidt také zobecnil Jarníkovu větu na vyšší dimenze, což je významný úspěch, protože Jarníkova argumentace je v podstatě jednorozměrná, v závislosti na aparátu pokračujících zlomků.

Rovnoměrné rozdělení

Dalším tématem, které prošlo důkladným vývojem, je teorie jednotný režim distribuce 1. Udělejte sekvenci A₁, A₂, ... reálných čísel a zvažte jejich dílčí části. To znamená, abstraktněji, podívat se na sekvenci v R / Z, což je kruh. Pro jakýkoli interval Já na kruhu se podíváme na podíl prvků sekvence, které v něm leží, až po celé číslo Na porovnejte jej s podílem obvodu, který zaujímá Já. Rovnoměrné rozdělení znamená, že v limitu, as N roste, podíl zásahů na intervalu má sklon k „očekávané“ hodnotě. Hermann Weyl prokázal základní výsledek což ukazuje, že to bylo ekvivalentní mezím exponenciálních součtů vytvořených ze sekvence. To ukázalo, že výsledky diofantické aproximace úzce souvisely s obecným problémem zrušení v exponenciálních součtech, ke kterému dochází v průběhu analytická teorie čísel v ohraničení chybových podmínek.

Souvisí s jednotnou distribucí je téma nesrovnalosti v distribuci, který je z kombinační Příroda.

Nevyřešené problémy

V diofantické aproximaci stále zůstávají jednoduše uvedené nevyřešené problémy, například Littlewood domněnka a Osamělá domněnka Není také známo, zda existují algebraická čísla s neomezenými koeficienty v jejich pokračující expanzi zlomků.

Nedávný vývoj

Na svém plenárním projevu v Mezinárodní matematický kongres v Kjótu (1990), Grigory Margulis nastínil široký program zakořeněný v ergodická teorie který umožňuje prokázat teoreticko-numerické výsledky pomocí dynamických a ergodických vlastností akcí podskupin napůl jednoduché Lie skupiny. Práce D. Kleinbocka, G. Margulise a jejich spolupracovníků prokázala sílu tohoto nového přístupu ke klasickým problémům v diofantické aproximaci. Mezi jeho pozoruhodné úspěchy patří důkaz o desetiletích Oppenheimova domněnka Margulis, s pozdějšími rozšířeními Dani a Margulis a Eskin – Margulis – Mozes, a důkaz Bakerových a Sprindzhukových domněnek v Diophantinových aproximacích na varietách Kleinbocka a Margulise. Různé zobecnění výše uvedených výsledků Aleksandr Khinchin v metrické diofantické aproximaci byly také získány v tomto rámci.

Viz také

• Davenport – Schmidtova věta
• Duffin – Schaefferova domněnka
• Sada Heilbronn
• Sekvence s nízkou odchylkou

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Diophantine Aproximace: historický průzkum. Z Úvod do diofantických metod samozřejmě Michel Waldschmidt.
• „Diophantine Aproximations“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]