Na druhou trojúhelníkové číslo - Squared triangular number

Čtverec, jehož délka strany je trojúhelníkové číslo, lze rozdělit na čtverce a půlčtverečky, jejichž plochy se přidávají ke kostkám. Z Gulley (2010).

v teorie čísel, součet prvního $n$ kostky je náměstí z $n$ th trojúhelníkové číslo. To znamená

{displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + cdots + n ^ {3} = vlevo (1 + 2 + 3 + cdots + noc) ^ {2}.}

Stejná rovnice může být napsána kompaktněji pomocí matematické notace pro součet:

{displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = {igg (} sum _ {k = 1} ^ {n} k {igg)} ^ {2}.}

Tento identita se někdy nazývá Nicomachova věta, po Nicomachus z Gerasy (c. 60 - c. 120 nl).

Dějiny

Nicomachus, na konci své 20. kapitoly Úvod do aritmetiky, poukázal na to, že pokud někdo napíše seznam lichých čísel, první je krychle 1, součet dalších dvou je krychle 2, součet dalších tří je krychle 3 atd. Nejde dále, ale z toho vyplývá, že součet prvního $n$ kostky se rovná součtu prvních ${displaystyle n (n + 1) / 2}$ lichá čísla, tj. lichá čísla od 1 do ${displaystyle n (n + 1) -1}$ . Průměr těchto čísel je zjevně ${displaystyle n (n + 1) / 2}$ , a jsou ${displaystyle n (n + 1) / 2}$ z nich, takže jejich součet je ${displaystyle [n (n + 1) / 2] ^ {2}.}$

Mnoho časných matematiků studovalo a poskytlo důkazy o Nicomachově teorému. Stroeker (1995) tvrdí, že „každý student teorie čísel jistě musel žasnout nad touto zázračnou skutečností“. Pengelley (2002) najde odkazy na identitu nejen v pracích Nicomachus v tom, co je teď Jordán v prvním století n. l., ale také v Aryabhata v Indie v pátém století av těch z Al-Karaji cca 1000 palců Persie. Bressoud (2004) zmiňuje několik dalších raných matematických prací o tomto vzorci od Al-Qabisi (Arábie desátého století), Gersonides (přibližně 1300 Francie) a Nilakantha Somayaji (přibližně 1 500 Indie); reprodukuje vizuální důkaz Nilakanthy.

Číselné hodnoty; geometrická a pravděpodobnostní interpretace

Posloupnost čtvercových trojúhelníkových čísel je

0, 1, 9, 36, 100, 225,

441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281,

... (sekvence A000537 v OEIS ).

Tato čísla lze zobrazit jako figurativní čísla, čtyřrozměrné hyperpyramidální zobecnění trojúhelníková čísla a čtvercová pyramidová čísla.

Tak jako Stein (1971) uvádí, že tato čísla také počítají počet obdélníků s vodorovnými a svislými stranami vytvořenými v $n \times n$ mřížka. Například body a $4 \times 4$ mřížka (nebo čtverec složený ze tří menších čtverců na straně) může tvořit 36 různých obdélníků. Počet čtverců ve čtvercové mřížce se podobně počítá čtvercovými pyramidovými čísly.

Totožnost také připouští přirozený pravděpodobnostní výklad následovně. Nechat $X, Y, Z, Ž$ být čtyři celá čísla nezávisle a rovnoměrně náhodně vybrána mezi $1$ a $n$ . Potom pravděpodobnost, že $Ž$ být největší ze čtyř čísel se rovná pravděpodobnosti, že obě $Y$ je přinejmenším stejně velký jako $X$ a $Ž$ je přinejmenším stejně velký jako $Z$ , to znamená, $P ({max (X, Y, Z) \leq Ž}) = P ({X \leq Y} \cap {Z \leq Ž})$ . Tyto pravděpodobnosti jsou příslušně levá a pravá strana identity Nichomacus, normalizované tak, aby byly pravděpodobnosti dělením obou stran $n 4$ .

Důkazy

Charles Wheatstone (1854 ) dává obzvláště jednoduchou derivaci rozšířením každé krychle v součtu do sady po sobě jdoucích lichých čísel. Začíná tím, že dává identitu

{displaystyle n ^ {3} = spodní složená závorka {left (n ^ {2} -n + 1ight) + left (n ^ {2} -n + 1 + 2ight) + left (n ^ {2} -n + 1 + 4ight) + cdots + left (n ^ {2} + n-1ight)} _ {n {ext {po sobě jdoucí lichá čísla}}}.}

Tato identita souvisí trojúhelníková čísla ${displaystyle T_ {n}}$ následujícím způsobem:

{displaystyle n ^ {3} = součet _ {k = T_ {n-1} +1} ^ {T_ {n}} (2k-1),}

a tím se tvoří sčítání ${displaystyle n ^ {3}}$ začít hned po těch, které tvoří všechny předchozí hodnoty ${displaystyle 1 ^ {3}}$ až do ${displaystyle (n-1) ^ {3}}$ .Použití této vlastnosti spolu s další dobře známou identitou:

{displaystyle n ^ {2} = součet _ {k = 1} ^ {n} (2k-1),}

získáme následující derivaci:

{displaystyle {egin {aligned} součet _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} & = 1 + 8 + 27 + 64 + cdots + n ^ {3} & = underbrace {1} _ {1 ^ {3}} + spodní výztuha {3 + 5} _ {2 ^ {3}} + spodní výztuha {7 + 9 + 11} _ {3 ^ {3}} + spodní výztuha {13 + 15 + 17 + 19} _ { 4 ^ {3}} + cdots + underbrace {left (n ^ {2} -n + 1ight) + cdots + left (n ^ {2} + n-1ight)} _ {n ^ {3}} & = underbrace {underbrace {underbrace {underbrace {1} _ {1 ^ {2}} + 3} _ {2 ^ {2}} + 5} _ {3 ^ {2}} + cdots + left (n ^ {2} + n-1ight)} _ {left ({frac {n ^ {2} + n} {2}} ight) ^ {2}} & = (1 + 2 + cdots + n) ^ {2} & = {igg (} součet _ {k = 1} ^ {n} k {igg)} ^ {2}. end {zarovnáno}}}

Řádek (1893) získá další důkaz sečtením čísel do čtverce násobilka dvěma různými způsoby. Součet ${displaystyle i}$ Třetí řádek je ${displaystyle i}$ krát trojúhelníkové číslo, ze kterého vyplývá, že součet všech řádků je čtverec trojúhelníkového čísla. Alternativně lze tabulku rozložit na sekvenci vnořených gnómony, z nichž každý sestává z produktů, u nichž je větší z obou výrazů nějaká pevná hodnota. Součet v každém gmononu je krychle, takže součet celé tabulky je součtem kostek.

Vizuální demonstrace, že čtverec trojúhelníkového čísla se rovná součtu kostek.

V novější matematické literatuře Edmonds (1957) poskytuje důkaz použití součet podle částí. Stein (1971) používá interpretaci počítání obdélníků těchto čísel k vytvoření geometrického důkazu totožnosti (viz také Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); podotýká, že to lze také snadno (ale neinformativně) dokázat indukcí, a uvádí to Toeplitz (1963) poskytuje „zajímavý starý arabský důkaz“. Kanim (2004) poskytuje čistě vizuální důkaz, Benjamin & Orrison (2002) - poskytnout dva další důkazy a - Nelsen (1993) dává sedm geometrických důkazů.

Zobecnění

Podobný výsledek jako Nicomachova věta platí pro všechny výkonové částky, jmenovitě, že liché výkonové součty (součty lichých mocnin) jsou polynomem v trojúhelníkových číslech Faulhaberovy polynomy, jehož součet kostek je nejjednodušším a nejelegantnějším příkladem. V žádném jiném případě však není jedna mocnina součet čtverce jiného (Edmonds 1957 ).

Stroeker (1995) studuje obecnější podmínky, za nichž součet po sobě jdoucích posloupností kostek tvoří čtverec. Garrett & Hummel (2004) a Warnaar (2004) studujte polynomiální analogy vzorce čtvercového trojúhelníkového čísla, ve kterém se řada polynomů přidává k čtverci jiného polynomu.

Reference

Benjamin, Arthur T.; Orrison, M. E. (2002), "Dva rychlé kombinatorické důkazy ${displaystyle extstyle součet k ^ {3} = {n + 1 vyberte 2} ^ {2}}$ " (PDF), Vysokoškolský matematický deník, 33 (5): 406–408, doi:10.2307/1559017, JSTOR 1559017.
Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J.; Wurtz, Calyssa (2006), "Sčítání kostek počítáním obdélníků" (PDF), Vysokoškolský matematický deník, 37 (5): 387–389, doi:10.2307/27646391, JSTOR 27646391.
Bressoud, David (2004), Kalkul před Newtonem a Leibnizem, část III (PDF), AP Central.
Edmonds, Sheila M. (1957), „Součty mocnin přirozených čísel“, Matematický věstník, 41: 187–188, doi:10.2307/3609189, JSTOR 3609189, PAN 0096615
Garrett, Kristina C .; Hummel, Kristen (2004), "Kombinatorický důkaz o součtu $q$ - kostky ", Electronic Journal of Combinatorics, 11 (1), Research Paper 9, doi:10.37236/1762, PAN 2034423.
Gulley, Ned (4. března 2010), Shure, Loren (ed.), Nicomachova věta, Matlab Central.
Kanim, Katherine (2004), „Důkazy beze slov: Součet kostek - prodloužení Archimédova součtu čtverců“, Matematický časopis, 77 (4): 298–299, doi:10.2307/3219288, JSTOR 3219288.
Nelsen, Roger B. (1993), Důkazy beze slov, Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7.
Pengelley, David (2002), „Most mezi spojitým a diskrétním prostřednictvím původních zdrojů“, Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference (PDF), Národní středisko pro výuku matematiky, Univ. Göteborgu ve Švédsku.
Row, T. Sundara (1893), Geometrická cvičení ve skládání papíru, Madras: Addison, 47–48.
Stein, Robert G. (1971), „Kombinatorický důkaz toho ${displaystyle extstyle součet k ^ {3} = (součet k) ^ {2}}$ ", Matematický časopis, 44 (3): 161–162, doi:10.2307/2688231, JSTOR 2688231.
Stroeker, R. J. (1995), "Na součtu po sobě jdoucích kostek, které jsou dokonalým čtvercem", Compositio Mathematica, 97 (1–2): 295–307, PAN 1355130.
Toeplitz, Otto (1963), Kalkul, genetický přístup, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9.
Warnaar, S. Ole (2004), "Na $q$ -analog součtu kostek ", Electronic Journal of Combinatorics, 11 (1), poznámka 13, doi:10.37236/1854, PAN 2114194.
Wheatstone, C. (1854), „O formování sil z aritmetických postupů“ (PDF), Sborník královské společnosti v Londýně, 7: 145–151, doi:10.1098 / rspl.1854.0036.