Rozruch – katalánské číslo - Fuss–Catalan number
v kombinatorická matematika a statistiky Rozruch – katalánština čísla jsou čísla formuláře
Jsou pojmenovány po N. I. Fuss a Eugène Charles Catalan.
V některých publikacích je tato rovnice někdy označována jako Dva parametry Fuss – katalánská čísla nebo Raneyova čísla. Důsledkem je jednoparametrická Fuss-katalánská čísla jsou kdy r= 1 a p=2.
Použití
Fuss-Catalan představuje počet legálních obměny nebo povolené způsoby uspořádání řady článků, které jsou nějakým způsobem omezeny. To znamená, že souvisí s Binomický koeficient. Klíčovým rozdílem mezi Fuss-Kataláncem a Binomickým koeficientem je to, že v Binomickém koeficientu neexistují žádné „nelegální“ permutace uspořádání, ale existují uvnitř Fuss-Katalánce. Příklad legální a nelegální permutace lze lépe demonstrovat konkrétním problémem, jako jsou vyvážené závorky (viz Dyck jazyk ).
Obecným problémem je spočítat počet vyvážených závorek (nebo zákonných permutací), které řetězec obsahuje m otevřené a m formuláře v uzavřených závorkách (celkem 2 m závorky). Na základě zákonného uspořádání platí následující pravidla:
- U sekvence jako celku se počet otevřených závorek musí rovnat počtu uzavřených závorek
- Při práci v pořadí musí být počet otevřených závorek větší než počet uzavřených závorek
Jako číselný příklad, kolik kombinací lze legálně uspořádat 3 páry závorek? Z binomické interpretace existují nebo číselně = 20 způsobů uspořádání 3 otevřených a 3 uzavřených závorek. Je jich však méně právní kombinace těchto kombinací, pokud platí všechna výše uvedená omezení. Při jejich ručním hodnocení existuje 5 právních kombinací, a to: () () (); (()) (); () (()); (() ()); ((())). To odpovídá Fuss-katalánskému vzorci, když p = 2, r = 1 který je Katalánské číslo vzorec nebo = 5. Jednoduchým odečtením existují nebo = 15 nelegálních kombinací. Abychom dále ilustrovali jemnost problému, pokud bychom měli přetrvávat při řešení problému pouze pomocí binomického vzorce, bylo by si uvědomeno, že 2 pravidla naznačují, že posloupnost musí začínat otevřenou závorkou a končit uzavřenou závorkou. To znamená, že existují nebo = 6 kombinací. To je v rozporu s výše uvedenou odpovědí 5 a chybějící kombinace je: ()) ((), což je nezákonné a dokončilo by binomickou interpretaci.
Zatímco výše uvedené je konkrétním příkladem katalánských čísel, podobné problémy lze vyhodnotit pomocí Fuss-katalánského vzorce:
- Zásobník počítače: způsoby uspořádání a dokončení počítačového souboru instrukcí, pokaždé, když je zpracována instrukce kroku 1 a náhodně dorazí p nových instrukcí. Jsou-li na začátku sekvence nevyřízené r instrukce.
- Sázení: způsoby ztráty všech peněz při sázení. Hráč má celkovou sázkovou sázku, která mu umožňuje uzavírat sázky, a hraje hazardní hru, která platí p násobek sázkové sázky.
- Zkouší: Výpočet počtu objednávek m zkouší dál n uzly.[1]
Speciální případy
Níže je uvedeno několik vzorců spolu s několika významnými zvláštními případy
Obecný formulář | Speciální případ |
---|---|
Li , vymáháme Binomické koeficienty
- ;
- ;
- ;
- .
Li , Pascalův trojúhelník zobrazí se, přečtěte si úhlopříčky
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Příklady
Pro subindex čísla jsou:
Příklady s :
Příklady s :
Příklady s :
Algebra
Opakování
- rovnice (1)
To znamená zejména to od
- rovnice (2)
a
- rovnice (3)
lze vygenerovat všechna ostatní Fuss – katalánská čísla, pokud p je celé číslo.
Riordan (viz odkazy) získá konvoluční typ opakování:
- rovnice (4)
Funkce generování
Parafrázující Hustoty Raneyova rozdělení [2] papír, ať obyčejný generující funkce s ohledem na index m být definován takto:
- rovnice (5).
Při pohledu na rovnice (1) a (2), když r= 1 z toho vyplývá
- rovnice (6).
Všimněte si také, že tento výsledek lze odvodit podobnými substitucemi do jiných reprezentací vzorců, jako je například reprezentace poměru gama v horní části tohoto článku. Použitím (6) a dosazením do (5) lze ekvivalentní vyjádření vyjádřené jako generující funkce formulovat jako
- .
Nakonec rozšíření tohoto výsledku pomocí Lambertovy ekvivalence
- .
Následující výsledek lze odvodit pro běžnou generující funkci pro všechny Fuss-Catalan sekvence.
- .
Reprezentace rekurze
Rekurze formy tohoto jsou následující: Nejviditelnější formou je:
Méně zřejmá forma je také
Alternativní zastoupení
U některých problémů je snazší použít různé konfigurace nebo varianty vzorců. Níže uvádíme dva příklady využívající pouze binomickou funkci:
Tyto varianty lze převést na produkt, gama nebo faktoriální reprezentaci.
Viz také
- Kombinatorika
- Statistika
- Binomický koeficient
- Binomická distribuce
- Katalánské číslo
- Dyck jazyk
- Pascalův trojúhelník
Reference
- ^ Clark, David (1996). "Kompaktní pokusy". Kompaktní pat stromy (Teze). str. 34.
- ^ Mlotkowski, Wojciech; Penson, Karol A .; Zyczkowski, Karol (2013). "Hustoty Raneyova rozdělení". Documenta Mathematica. 18: 1593–1596. arXiv:1211.7259. Bibcode:2012arXiv1211.7259M.
- Fuss, N. I. (1791). „Solutio quaestionis, quot modis polygonum n laterum in polygona m laterum, per diagonales resolvi queat“. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 9: 243–251.
- Riordan, J. (1968). Kombinatorické identity. Wiley. ISBN 978-0471722755.
- Bisch, Dietmar; Jones, Vaughan (1997). Msgstr "Algebry spojené s mezilehlými subfaktory". Inventiones Mathematicae. 128 (1): 89–157. Bibcode:1997InMat.128 ... 89J. doi:10.1007 / s002220050137. S2CID 119372640.
- Przytycki, Jozef H .; Sikora, Adam S. (2000). „Polygonové disekce a Euler, Fuss, Kirkman a Cayley Numbers“. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 92: 68–76. arXiv:matematika / 9811086. doi:10.1006 / jcta.1999.3042.
- Aval, Jean-Christophe (2008). "Mnohorozměrná fuss-katalánská čísla". Diskrétní matematika. 20 (308): 4660–4669. arXiv:0711.0906. doi:10.1016 / j.disc.2007.08.100.
- Alexeev, N .; Götze, F; Tikhomirov, A. (2010). Msgstr "Asymptotické rozdělení singulárních hodnot mocnin náhodných matic". Litevský matematický deník. 50 (2): 121–132. arXiv:1012.2743. doi:10.1007 / s10986-010-9074-4.
- Mlotkowski, Wojciech (2010). „Fuss-Catalan Numbers in noncommutative pravdepodobnost“. Documenta Mathematica. 15: 939–955.
- Penson, Karol A .; Zyczkowski, Karol (2011). „Produkt matic Ginibre: distribuce Fuss-Catalan a Raney“. Fyzický přehled E. 83 (6): 061118. arXiv:1103.3453. Bibcode:2011PhRvE..83f1118P. doi:10.1103 / PhysRevE.83.061118. PMID 21797313.
- Gordon, Ian G .; Griffeth, Stephen (2012). "Katalánská čísla pro komplexní reflexní skupiny". American Journal of Mathematics. 134 (6): 1491–1502. arXiv:0912.1578. doi:10.1353 / ajm.2012.0047.
- Mlotkowski, W .; Penson, K. A. (2015). "Rodina pozitivních definitních sekvencí typu Fuss". arXiv:1507.07312 [math.PR ].
- On, Tian-Xiao; Shapiro, Louis W. (2017). "Fuss-katalánské matice, jejich vážené součty a stabilizační podskupiny skupiny Riordan". Lineární algebra a její aplikace. 532: 25–42. doi:10.1016 / j.laa.2017.06.025.