Semiperfektní číslo - Semiperfect number

Demonstrace, s Pruty Cuisenaire, o dokonalosti čísla 6

v teorie čísel, a semiperfektní číslo nebo pseudoperfektní číslo je přirozené číslo n to se rovná součtu všech nebo některých z nich řádní dělitelé. Semiperfektní číslo, které se rovná součtu všech jeho správných dělitelů, je a perfektní číslo.

Prvních pár semiperfektních čísel je

6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, ... (sekvence A005835 v OEIS )

Vlastnosti

  • Každý násobek semiperfektního čísla je semiperfect.[1] Semiperfektní číslo, které není dělitelné žádným menším semiperfektním číslem, je primitivní.
  • Každé číslo formuláře 2mp pro přirozené číslo m a zvláštní prvočíslo p takhle p < 2m + 1 je také semiperfect.
    • Zejména každé číslo formuláře 2m(2m + 1 - 1) je semiperfect, a opravdu perfektní, pokud 2m + 1 - 1 je a Mersenne prime.
  • Nejmenší liché semiperfektní číslo je 945 (viz např. Friedman 1993).
  • Semiperfektní číslo je nutně buď dokonalé, nebo hojný. Hojné číslo, které není semiperfect, se nazývá a divné číslo.
  • S výjimkou 2, Všechno primární pseudoperfektní čísla jsou semiperfect.
  • Každý praktické číslo to není síla dvou je semiperfect.
  • The přirozená hustota množiny semiperfektních čísel existuje.[2]

Primitivní semiperfektní čísla

A primitivní semiperfektní číslo (také nazývaný a primitivní pseudoperfektní číslo, neredukovatelné semiperfektní číslo nebo neredukovatelné pseudoperfektní číslo) je semiperfektní číslo, které nemá žádného semiperfektního správného dělitele.[2]

Prvních pár primitivních semiperfektních čísel je 6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, ... (sekvence A006036 v OEIS )

Takových čísel je nekonečně mnoho. Všechna čísla formuláře 2mp, s p prvočíslo mezi 2m a 2m+1, jsou primitivní semiperfect, ale toto není jediná forma: například 770.[1][2] Existuje nekonečně mnoho lichých primitivních semiperfektních čísel, nejmenší je 945, což je výsledek Paula Erdőse:[2] existuje také nekonečně mnoho primitivních semiperfektních čísel, která nejsou čísla harmonického dělitele.[1]

Každé semiperfektní číslo je násobkem primitivního semiperfektního čísla.

Viz také

Poznámky

  1. ^ A b C Zachariou + Zachariou (1972)
  2. ^ A b C d Guy (2004), str. 75

Reference

  • Friedman, Charles N. (1993). „Součty dělitelů a egyptské zlomky“. Žurnál teorie čísel. 44 (3): 328–339. doi:10.1006 / jnth.1993.1057. PAN  1233293. Zbl  0781.11015. Archivovány od originál dne 10.02.2012.
  • Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel. Springer-Verlag. ISBN  0-387-20860-7. OCLC  54611248. Zbl  1058.11001. Oddíl B2.
  • Sierpiński, Wacław (1965). "Sur les nombres pseudoparfaits". Rohož. Vesn., N. Ser. 2 (francouzsky). 17: 212–213. PAN  0199147. Zbl  0161.04402.
  • Zachariou, Andreas; Zachariou, Eleni (1972). "Perfektní, semiperfektní a rudná čísla". Býk. Soc. Matematika. Grèce, n. Ser. 13: 12–22. PAN  0360455. Zbl  0266.10012.

externí odkazy