Factorion - Factorion
v teorie čísel, a faktor v daném číselná základna je přirozené číslo která se rovná součtu faktoriály jeho číslice.[1][2][3] Autor názvu vytvořil faktor názvu Clifford A. Pickover.[4]
Definice
Nechat být přirozené číslo. Definujeme součet faktoriálu číslic[5][6] z pro základnu být následující:
- .
kde je počet číslic v čísle v základně , je faktoriál z a
je hodnota každé číslice čísla. Přirozené číslo je -faktor pokud je to pevný bod pro , který nastane, pokud .[7] a jsou pevné body pro všechny , a tedy jsou banální faktory pro všechny a všechny ostatní faktory jsou netriviální faktory.
Například číslo 145 v základně je faktor, protože .
Pro , součet faktoriálu číslic je jednoduše počet číslic v reprezentaci základny 2.
Přirozené číslo je společenský faktor pokud je to periodický bod pro , kde pro kladné celé číslo , a tvoří a cyklus období . Faktor je společenský faktor s a přátelský faktor je společenský faktor s .[8][9]
Všechna přirozená čísla jsou preperiodické body pro , bez ohledu na základnu. Je to proto, že všechna přirozená čísla báze s číslice splňují . Kdy však , pak pro , takže jakýkoli uspokojí dokud . Existuje konečný počet přirozených čísel menší než , takže počet zaručeně dosáhne periodického bodu nebo pevného bodu menšího než , což z něj činí preperiodický bod. Pro , počet číslic u libovolného čísla ještě jednou, což z něj činí preperiodický bod. To také znamená, že existuje konečný počet faktorů a cykly pro jakoukoli danou základnu .
Počet iterací potřebné pro dosáhnout pevného bodu je funkce vytrvalost z a undefined, pokud nikdy nedosáhne pevného bodu.
Faktory pro
b = (k - 1)!
Nechat být kladné celé číslo a číselná základna . Pak:
- je faktor pro pro všechny .
Nechte číslice být , a . Pak
Tím pádem je faktor pro pro všechny .
- je faktor pro pro všechny .
Nechte číslice být , a . Pak
Tím pádem je faktor pro pro všechny .
4 | 6 | 41 | 42 |
5 | 24 | 51 | 52 |
6 | 120 | 61 | 62 |
7 | 720 | 71 | 72 |
b = k! - k + 1
Nechat být kladné celé číslo a číselná základna . Pak:
- je faktor pro pro všechny .
Nechte číslice být , a . Pak
Tím pádem je faktor pro pro všechny .
3 | 4 | 13 |
4 | 21 | 14 |
5 | 116 | 15 |
6 | 715 | 16 |
Tabulka faktorů a cyklů
Všechna čísla jsou uvedena v základně .
Základna | Netriviální faktor (, )[10] | Cykly |
---|---|---|
2 | ||
3 | ||
4 | 13 | 3 → 12 → 3 |
5 | 144 | |
6 | 41, 42 | |
7 | 36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36 | |
8 | 3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175 | |
9 | 62558 | |
10 | 145, 40585 | 871 → 45361 → 871[9] 872 → 45362 → 872[8] |
Příklad programování
Následující příklad implementuje součet faktoriálu číslic popsaných ve výše uvedené definici hledat faktory a cykly v Krajta.
def faktoriál(X: int) -> int: celkový = 1 pro i v rozsah(0, X): celkový = celkový * (i + 1) vrátit se celkovýdef sfd(X: int, b: int) -> int: "" "Součet faktoriálu číslic." "" celkový = 0 zatímco X > 0: celkový = celkový + faktoriál(X % b) X = X // b vrátit se celkovýdef sfd_cycle(X: int, b: int) -> Seznam[int]: vidět = [] zatímco X ne v vidět: vidět.připojit(X) X = sfd(X, b) cyklus = [] zatímco X ne v cyklus: cyklus.připojit(X) X = sfd(X, b) vrátit se cyklus
Viz také
- Aritmetická dynamika
- Dudeneyovo číslo
- Šťastné číslo
- Kaprekarova konstanta
- Číslo Kaprekar
- Číslo Meertens
- Narcistické číslo
- Perfektní invariant mezi číslicemi
- Perfektní digitální invariant
- Souhrnné číslo produktu
Reference
- ^ Sloane, Neil, „A014080“, On-line encyklopedie celočíselných sekvencí
- ^ Gardner, Martin (1978), "Faktorové zvláštnosti", Mathematical Magic Show: Další hádanky, hry, odklony, iluze a další matematické hry Sleight-Of-Mind, Vintage Books, str. 61 a 64, ISBN 9780394726236
- ^ Madachy, Joseph S. (1979), Madachy's Mathematical Recreations Publikace Dover, s. 167, ISBN 9780486237626
- ^ Pickover, Clifford A. (1995), „Osamělost faktorů“, Klíče k nekonečnu, John Wiley & Sons, str. 169–171 a 319–320, ISBN 9780471193340 - prostřednictvím Knih Google
- ^ Gupta, Shyam S. (2004), „Souhrn faktoriálů číslic celých čísel“, Matematický věstníkMatematická asociace, 88 (512): 258–261, doi:10.1017 / S0025557200174996, JSTOR 3620841
- ^ Sloane, Neil, „A061602“, On-line encyklopedie celočíselných sekvencí
- ^ Abbott, Steve (2004), „SFD Chains and Factorion Cycles“, Matematický věstníkMatematická asociace, 88 (512): 261–263, doi:10.1017 / S002555720017500X, JSTOR 3620842
- ^ A b Sloane, Neil, „A214285“, On-line encyklopedie celočíselných sekvencí
- ^ A b Sloane, Neil, „A254499“, On-line encyklopedie celočíselných sekvencí
- ^ Sloane, Neil, „A193163“, On-line encyklopedie celočíselných sekvencí