Factorion - Factorion

v teorie čísel, a faktor v daném číselná základna ${ displaystyle b}$ je přirozené číslo která se rovná součtu faktoriály jeho číslice.^[1][2][3] Autor názvu vytvořil faktor názvu Clifford A. Pickover.^[4]

Definice

Nechat ${ displaystyle n}$ být přirozené číslo. Definujeme součet faktoriálu číslic^[5][6] z ${ displaystyle n}$ pro základnu ${ displaystyle b> 1}$ ${ displaystyle SFD_ {b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ být následující:

${ displaystyle SFD_ {b} (n) = součet _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}!}$.

kde ${ displaystyle k = lfloor log _ {b} {n} rfloor +1}$ je počet číslic v čísle v základně ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle n!}$ je faktoriál z ${ displaystyle n}$ a

${ displaystyle d_ {i} = { frac {n { bmod {b ^ {i + 1}}} - n { bmod {b ^ {i}}}} {b ^ {i}}}}$

je hodnota každé číslice čísla. Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je ${ displaystyle b}$-faktor pokud je to pevný bod pro ${ displaystyle SFD_ {b}}$, který nastane, pokud ${ displaystyle SFD_ {b} (n) = n}$.^[7] ${ displaystyle 1}$ a ${ displaystyle 2}$ jsou pevné body pro všechny ${ displaystyle b}$, a tedy jsou banální faktory pro všechny ${ displaystyle b}$a všechny ostatní faktory jsou netriviální faktory.

Například číslo 145 v základně ${ displaystyle b = 10}$ je faktor, protože ${ displaystyle 145 = 1! +4! +5!}$.

Pro ${ displaystyle b = 2}$, součet faktoriálu číslic je jednoduše počet číslic ${ displaystyle k}$ v reprezentaci základny 2.

Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je společenský faktor pokud je to periodický bod pro ${ displaystyle SFD_ {b}}$, kde ${ displaystyle SFD_ {b} ^ {k} (n) = n}$ pro kladné celé číslo ${ displaystyle k}$, a tvoří a cyklus období ${ displaystyle k}$. Faktor je společenský faktor s ${ displaystyle k = 1}$a přátelský faktor je společenský faktor s ${ displaystyle k = 2}$.^[8][9]

Všechna přirozená čísla ${ displaystyle n}$ jsou preperiodické body pro ${ displaystyle SFD_ {b}}$, bez ohledu na základnu. Je to proto, že všechna přirozená čísla báze ${ displaystyle b}$ s ${ displaystyle k}$ číslice splňují ${ Displaystyle b ^ {k-1} leq n leq (b-1)! (k)}$. Kdy však ${ displaystyle k geq b}$, pak ${ displaystyle b ^ {k-1}> (b-1)! (k)}$ pro ${ displaystyle b> 2}$, takže jakýkoli ${ displaystyle n}$ uspokojí ${ displaystyle n> SFD_ {b} (n)}$ dokud ${ displaystyle n$. Existuje konečný počet přirozených čísel menší než ${ displaystyle b ^ {b}}$, takže počet zaručeně dosáhne periodického bodu nebo pevného bodu menšího než ${ displaystyle b ^ {b}}$, což z něj činí preperiodický bod. Pro ${ displaystyle b = 2}$, počet číslic ${ displaystyle k leq n}$ u libovolného čísla ještě jednou, což z něj činí preperiodický bod. To také znamená, že existuje konečný počet faktorů a cykly pro jakoukoli danou základnu ${ displaystyle b}$.

Počet iterací ${ displaystyle i}$ potřebné pro ${ displaystyle SFD_ {b} ^ {i} (n)}$ dosáhnout pevného bodu je ${ displaystyle SFD_ {b}}$ funkce vytrvalost z ${ displaystyle n}$a undefined, pokud nikdy nedosáhne pevného bodu.

Faktory pro ${ displaystyle SFD_ {b}}$

b = (k - 1)!

Nechat ${ displaystyle k}$ být kladné celé číslo a číselná základna ${ displaystyle b = (k-1)!}$. Pak:

• ${ displaystyle n_ {1} = kb + 1}$ je faktor pro ${ displaystyle SFD_ {b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$.

• ${ displaystyle n_ {2} = kb + 2}$ je faktor pro ${ displaystyle SFD_ {b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$.

Faktory

${ displaystyle k}$	${ displaystyle b}$	${ displaystyle n_ {1}}$	${ displaystyle n_ {2}}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k! - k + 1

Nechat ${ displaystyle k}$ být kladné celé číslo a číselná základna ${ displaystyle b = k! -k + 1}$. Pak:

• ${ displaystyle n_ {1} = b + k}$ je faktor pro ${ displaystyle SFD_ {b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$.

Faktory

${ displaystyle k}$	${ displaystyle b}$	${ displaystyle n_ {1}}$
3	4	13
4	21	14
5	116	15
6	715	16

Tabulka faktorů a cyklů ${ displaystyle SFD_ {b}}$

Všechna čísla jsou uvedena v základně ${ displaystyle b}$.

Základna ${ displaystyle b}$	Netriviální faktor (${ displaystyle n neq 1}$, ${ displaystyle n neq 2}$)[10]	Cykly
2	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
3	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${ displaystyle varnothing}$
6	41, 42	${ displaystyle varnothing}$
7	${ displaystyle varnothing}$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${ displaystyle varnothing}$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871[9] 872 → 45362 → 872[8]

Příklad programování

Následující příklad implementuje součet faktoriálu číslic popsaných ve výše uvedené definici hledat faktory a cykly v Krajta.

def faktoriál(X: int) -> int:    celkový = 1    pro i v rozsah(0, X):        celkový = celkový * (i + 1)    vrátit se celkovýdef sfd(X: int, b: int) -> int:    "" "Součet faktoriálu číslic." ""    celkový = 0    zatímco X > 0:        celkový = celkový + faktoriál(X % b)        X = X // b    vrátit se celkovýdef sfd_cycle(X: int, b: int) -> Seznam[int]:    vidět = []    zatímco X ne v vidět:        vidět.připojit(X)        X = sfd(X, b)    cyklus = []    zatímco X ne v cyklus:        cyklus.připojit(X)        X = sfd(X, b)    vrátit se cyklus

Viz také

• Aritmetická dynamika
• Dudeneyovo číslo
• Šťastné číslo
• Kaprekarova konstanta
• Číslo Kaprekar
• Číslo Meertens
• Narcistické číslo
• Perfektní invariant mezi číslicemi
• Perfektní digitální invariant
• Souhrnné číslo produktu

Reference

externí odkazy

• Factorion ve společnosti Wolfram MathWorld