Perzistence čísla - Persistence of a number

v matematika, perzistence čísla je počet, kolikrát člověk musí použít danou operaci na celé číslo, než dosáhne a pevný bod kdy operace již číslo nezmění.

Obvykle to zahrnuje aditivní nebo multiplikativní vytrvalost celého čísla, což je, jak často je třeba nahradit číslo součtem nebo součinem jeho číslic, dokud nedosáhnete jedné číslice. Protože jsou čísla rozdělena na jejich číslice, aditivní nebo multiplikativní stálost závisí na základ. Ve zbývající části tohoto článku se předpokládá základní deset.

Jednociferný konečný stav dosažený v procesu výpočtu celočíselné aditivní perzistence je jeho digitální root. Jinými slovy, aditivní vytrvalost čísla počítá, kolikrát musíme sčítat jeho číslice aby se dostal ke svému digitálnímu kořenu.

Příklady

Aditivní perzistence 2718 je 2: nejprve zjistíme, že 2 + 7 + 1 + 8 = 18, a poté 1 + 8 = 9. Multiplikativní perzistence 39 je 3, protože redukce 39 na jeden trvá třemi kroky číslice: 39 → 27 → 14 → 4. Rovněž 39 je nejmenší počet multiplikativní perzistence 3.

Nejmenší počty dané multiplikativní perzistence

Pro základ z 10 se předpokládá, že neexistuje žádné číslo s multiplikativní perzistencí> 11: je známo, že to platí pro čísla do 10²⁰⁰⁰⁰.^[1]^[2] Nejmenší čísla s perzistencí 0, 1, ... jsou:

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. (sekvence A003001 v OEIS )

Hledání těchto čísel lze zrychlit pomocí dalších vlastností desetinných číslic těchto čísel, která porušují rekord. Tyto číslice musí být tříděny a kromě prvních dvou číslic musí být všechny číslice 7, 8 nebo 9. Na první dvě číslice platí také další omezení. Na základě těchto omezení počet kandidátů na n-místná čísla s vytrvalostí v záznamu jsou pouze úměrná druhé mocnině n, malý zlomek všech možných n-místná čísla. Jakékoli číslo, které chybí ve výše uvedené posloupnosti, by však mělo multiplikativní vytrvalost> 11; věří se, že taková čísla neexistují, a pokud by existovala, musela by mít více než 20 000 číslic.^[1]

Nejmenší počet perzistence dané aditivní látky

Aditivní stálost čísla se však může libovolně zvětšit (důkaz: Pro dané číslo ${ displaystyle n}$ , přetrvávání počtu skládajícího se z ${ displaystyle n}$ opakování číslice 1 je o 1 vyšší než opakování číslice 1 ${ displaystyle n}$ ). Nejmenší počty aditivních persistencí 0, 1, ... jsou:

0, 10, 19, 199, 19999999999999999999999, ... (sekvence A006050 v OEIS )

Další číslo v pořadí (nejmenší počet perzistence aditiv 5) je 2 × 10^{2×(10²² − 1)/9} - 1 (tj. 1 následovaný 92222222222222222222222). U jakékoli pevné základny je součet číslic čísla úměrný jeho logaritmus; proto je aditivní perzistence úměrná iterovaný logaritmus. Více o aditivní perzistenci čísla lze nalézt tady.

Funkce s omezenou vytrvalostí

Některé funkce umožňují vytrvalost pouze do určité míry.

Například funkce, která bere Minimální číslici, umožňuje pouze perzistenci 0 nebo 1, když začínáte nebo přecházíte na jednociferné číslo.

Reference

^ ^A ^b Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A003001“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
^ Eric W. Weisstein. „Multiplikativní perzistence“. mathworld.wolfram.com.

Literatura

Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. 398–399. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
Meimaris, Antonios (2015). O aditivní perzistenci čísla v základním str. Předtisk.

externí odkazy

Co je zvláštního na 277777788888899? - Numberphile na Youtube (21. března 2019)

[OEIS_3001-1] A ^b Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A003001“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.

[2] Eric W. Weisstein. „Multiplikativní perzistence“. mathworld.wolfram.com.

[1]

[2]