Vysoce složené číslo - Highly composite number

Demonstrace, s Pruty Cuisenaire, z prvních čtyř: 1, 2, 4, 6

A vysoce složené číslo je pozitivní celé číslo s více dělitele než jakékoli menší kladné celé číslo. Termín vytvořil Ramanujan (1915). Nicméně, Jean-Pierre Kahane navrhl, že tento koncept mohl být znám Platón, který stanovil 5040 protože ideální počet občanů ve městě má 5040 více dělitelů než jakýkoli jiný počet.^[1]

Související pojem převážně složené číslo označuje kladné celé číslo, které má alespoň tolik dělitelů jako jakékoli menší kladné celé číslo.

Název může být poněkud zavádějící, protože dvě vysoce složená čísla (1 a 2) ve skutečnosti nejsou složená čísla.

Příklady

Počáteční nebo nejmenší 38 vysoce složených čísel je uvedeno v následující tabulce (sekvence A002182 v OEIS ). Počet dělitelů je uveden ve sloupci označeném d(n). Hvězdičky označují vynikající vysoce složená čísla.

Objednat	HCN n	primární faktorizace	primární exponenty	číslo prime faktory	d(n)	primitivní faktorizace
1	1			0	1
2*	2	${ displaystyle 2}$	1	1	2	${ displaystyle 2}$
3	4	${ displaystyle 2 ^ {2}}$	2	2	3	${ displaystyle 2 ^ {2}}$
4*	6	${ displaystyle 2 cdot 3}$	1,1	2	4	${ displaystyle 6}$
5*	12	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 3}$	2,1	3	6	${ displaystyle 2 cdot 6}$
6	24	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 3}$	3,1	4	8	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 6}$
7	36	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 3 ^ {2}}$	2,2	4	9	${ displaystyle 6 ^ {2}}$
8	48	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3}$	4,1	5	10	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 6}$
9*	60	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 3 cdot 5}$	2,1,1	4	12	${ displaystyle 2 cdot 30}$
10*	120	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 3 cdot 5}$	3,1,1	5	16	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 30}$
11	180	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 3 ^ {2} cdot 5}$	2,2,1	5	18	${ displaystyle 6 cdot 30}$
12	240	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 cdot 5}$	4,1,1	6	20	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 30}$
13*	360	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 3 ^ {2} cdot 5}$	3,2,1	6	24	${ displaystyle 2 cdot 6 cdot 30}$
14	720	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 ^ {2} cdot 5}$	4,2,1	7	30	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 6 cdot 30}$
15	840	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 3 cdot 5 cdot 7}$	3,1,1,1	6	32	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 210}$
16	1260	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 3 ^ {2} cdot 5 cdot 7}$	2,2,1,1	6	36	${ displaystyle 6 cdot 210}$
17	1680	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 cdot 5 cdot 7}$	4,1,1,1	7	40	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 210}$
18*	2520	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 3 ^ {2} cdot 5 cdot 7}$	3,2,1,1	7	48	${ displaystyle 2 cdot 6 cdot 210}$
19*	5040	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 ^ {2} cdot 5 cdot 7}$	4,2,1,1	8	60	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 6 cdot 210}$
20	7560	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 3 ^ {3} cdot 5 cdot 7}$	3,3,1,1	8	64	${ displaystyle 6 ^ {2} cdot 210}$
21	10080	${ displaystyle 2 ^ {5} cdot 3 ^ {2} cdot 5 cdot 7}$	5,2,1,1	9	72	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 6 cdot 210}$
22	15120	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 ^ {3} cdot 5 cdot 7}$	4,3,1,1	9	80	${ displaystyle 2 cdot 6 ^ {2} cdot 210}$
23	20160	${ displaystyle 2 ^ {6} cdot 3 ^ {2} cdot 5 cdot 7}$	6,2,1,1	10	84	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 6 cdot 210}$
24	25200	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 ^ {2} cdot 5 ^ {2} cdot 7}$	4,2,2,1	9	90	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 30 cdot 210}$
25	27720	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 3 ^ {2} cdot 5 cdot 7 cdot 11}$	3,2,1,1,1	8	96	${ displaystyle 2 cdot 6 cdot 2310}$
26	45360	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 ^ {4} cdot 5 cdot 7}$	4,4,1,1	10	100	${ displaystyle 6 ^ {3} cdot 210}$
27	50400	${ displaystyle 2 ^ {5} cdot 3 ^ {2} cdot 5 ^ {2} cdot 7}$	5,2,2,1	10	108	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 30 cdot 210}$
28*	55440	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 ^ {2} cdot 5 cdot 7 cdot 11}$	4,2,1,1,1	9	120	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 6 cdot 2310}$
29	83160	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 3 ^ {3} cdot 5 cdot 7 cdot 11}$	3,3,1,1,1	9	128	${ displaystyle 6 ^ {2} cdot 2310}$
30	110880	${ displaystyle 2 ^ {5} cdot 3 ^ {2} cdot 5 cdot 7 cdot 11}$	5,2,1,1,1	10	144	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 6 cdot 2310}$
31	166320	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 ^ {3} cdot 5 cdot 7 cdot 11}$	4,3,1,1,1	10	160	${ displaystyle 2 cdot 6 ^ {2} cdot 2310}$
32	221760	${ displaystyle 2 ^ {6} cdot 3 ^ {2} cdot 5 cdot 7 cdot 11}$	6,2,1,1,1	11	168	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 6 cdot 2310}$
33	277200	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 ^ {2} cdot 5 ^ {2} cdot 7 cdot 11}$	4,2,2,1,1	10	180	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 30 cdot 2310}$
34	332640	${ displaystyle 2 ^ {5} cdot 3 ^ {3} cdot 5 cdot 7 cdot 11}$	5,3,1,1,1	11	192	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 6 ^ {2} cdot 2310}$
35	498960	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 ^ {4} cdot 5 cdot 7 cdot 11}$	4,4,1,1,1	11	200	${ displaystyle 6 ^ {3} cdot 2310}$
36	554400	${ displaystyle 2 ^ {5} cdot 3 ^ {2} cdot 5 ^ {2} cdot 7 cdot 11}$	5,2,2,1,1	11	216	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 30 cdot 2310}$
37	665280	${ displaystyle 2 ^ {6} cdot 3 ^ {3} cdot 5 cdot 7 cdot 11}$	6,3,1,1,1	12	224	${ displaystyle 2 ^ {3} cdot 6 ^ {2} cdot 2310}$
38*	720720	${ displaystyle 2 ^ {4} cdot 3 ^ {2} cdot 5 cdot 7 cdot 11 cdot 13}$	4,2,1,1,1,1	10	240	${ displaystyle 2 ^ {2} cdot 6 cdot 30030}$

Dělitele prvních 15 vysoce složených čísel jsou uvedeny níže.

Níže uvedená tabulka ukazuje všech 72 dělitelů čísla 10080 tak, že je píše jako součin dvou čísel 36 různými způsoby.

15 000. vysoce složené číslo lze najít na webových stránkách Achima Flammenkampa. Je to produkt 230 prvočísel:

${ displaystyle a_ {0} ^ {14} a_ {1} ^ {9} a_ {2} ^ {6} a_ {3} ^ {4} a_ {4} ^ {4} a_ {5} ^ {3 } a_ {6} ^ {3} a_ {7} ^ {3} a_ {8} ^ {2} a_ {9} ^ {2} a_ {10} ^ {2} a_ {11} ^ {2} a_ {12} ^ {2} a_ {13} ^ {2} a_ {14} ^ {2} a_ {15} ^ {2} a_ {16} ^ {2} a_ {17} ^ {2} a_ {18 } ^ {2} a_ {19} a_ {20} a_ {21} cdots a_ {229},}$

kde ${ displaystyle a_ {n}}$ je posloupnost postupných prvočísel a všech vynechaných výrazů (A₂₂ na A₂₂₈) jsou faktory s exponentem rovným jedné (tj. číslo je ${ displaystyle 2 ^ {14} krát 3 ^ {9} krát 5 ^ {6} krát cdots krát 1451}$). Stručněji řečeno, je to produkt sedmi odlišných prvenství:

${ displaystyle b_ {0} ^ {5} b_ {1} ^ {3} b_ {2} ^ {2} b_ {4} b_ {7} b_ {18} b_ {229},}$

kde ${ displaystyle b_ {n}}$ je primitivní ${ displaystyle a_ {0} a_ {1} cdots a_ {n}}$.^[2]

Graf počtu dělitelů celých čísel od 1 do 1000. Vysoce složená čísla jsou označena tučně a vynikající vysoce složená čísla jsou označena hvězdičkou. v soubor SVG, umístěním kurzoru nad lištu zobrazíte její statistiky.

Prvočíselný rozklad

Zhruba řečeno, aby číslo bylo vysoce složené, musí mít hlavní faktory co nejmenší, ale ne příliš mnoho stejných. Podle základní teorém aritmetiky, každé kladné celé číslo n má jedinečnou primární faktorizaci:

${ displaystyle n = p_ {1} ^ {c_ {1}} krát p_ {2} ^ {c_ {2}} krát cdots krát p_ {k} ^ {c_ {k}} qquad (1 )}$

kde ${ displaystyle p_ {1}$ jsou prvočísla a exponenty ${ displaystyle c_ {i}}$ jsou kladná celá čísla.

Jakýkoli faktor n musí mít stejnou nebo menší multiplicitu v každém prvočísle:

${ displaystyle p_ {1} ^ {d_ {1}} krát p_ {2} ^ {d_ {2}} krát cdots krát p_ {k} ^ {d_ {k}}, 0 leq d_ { i} leq c_ {i}, 0$

Takže počet dělitelů n je:

${ displaystyle d (n) = (c_ {1} +1) krát (c_ {2} +1) krát cdots krát (c_ {k} +1). qquad (2)}$

Proto pro vysoce složené číslo n,

• the k dané prvočísla p_i musí být přesně první k prvočísla (2, 3, 5, ...); pokud ne, mohli bychom nahradit jedno z daných prvočísel menším prvočíslem a získat tak menší číslo než n se stejným počtem dělitelů (například 10 = 2 × 5 může být nahrazeno 6 = 2 × 3; oba mají čtyři dělitele);
• sekvence exponentů musí být nerostoucí, to znamená ${ displaystyle c_ {1} geq c_ {2} geq cdots geq c_ {k}}$; jinak bychom záměnou dvou exponentů dostali opět menší číslo než n se stejným počtem dělitelů (například 18 = 2¹ × 3² lze nahradit 12 = 2² × 3¹; oba mají šest dělitelů).

Také, kromě dvou zvláštních případů n = 4 a n = 36, poslední exponent C_k musí se rovnat 1. To znamená, že 1, 4 a 36 jsou jediná čtvercová vysoce složená čísla. Říci, že posloupnost exponentů se nezvyšuje, je ekvivalentní s tvrzením, že vysoce složené číslo je produktem úvodníky.

Všimněte si, že ačkoliv jsou výše popsané podmínky nezbytné, nestačí k tomu, aby bylo číslo vysoce složené. Například 96 = 2⁵ × 3 splňuje výše uvedené podmínky a má 12 dělitelů, ale není vysoce složený, protože existuje menší počet 60, který má stejný počet dělitelů.

Asymptotický růst a hustota

Li Q(X) označuje počet vysoce složených čísel menší nebo rovný X, pak existují dvě konstanty A a b, oba větší než 1, takže

${ displaystyle ( log x) ^ {a} leq Q (x) leq ( log x) ^ {b} ,.}$

První část nerovnosti byla prokázána Paul Erdős v roce 1944 a druhá část do Jean-Louis Nicolas v roce 1988. Máme^[3]

${ displaystyle 1.13862 < liminf { frac { log Q (x)} { log log x}} leq 1,44 }$

a

${ displaystyle limsup { frac { log Q (x)} { log log x}} leq 1,71 .}$

Související sekvence

Eulerův diagram z hojný, primitivní hojný, velmi hojný, nadbytečný, kolosálně hojný, vysoce kompozitní, vynikající vysoce kompozitní, podivný a perfektní čísla pod 100 ve vztahu k nedostatečný a složená čísla

Vysoce složená čísla vyšší než 6 jsou také hojná čísla. Abychom tuto skutečnost zjistili, stačí se podívat na tři největší správné dělitele konkrétního vysoce složeného čísla. Je nepravdivé, že všechna vysoce složená čísla jsou také Harshadova čísla v základně 10. První HCN, který není Harshadovým číslem, je 245 044 800, který má číselný součet 27, ale 27 se nerozdělí rovnoměrně na 245 044 800.

10 z prvních 38 vysoce složených čísel je vynikající vysoce složená čísla Posloupnost vysoce složených čísel (posloupnost A002182 v OEIS ) je podmnožinou posloupnosti nejmenších čísel k přesně n dělitele (sekvence A005179 v OEIS ).

Vysoce složená čísla, jejichž počet dělitelů je také vysoce složený, jsou pro n = 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800 , 195643523275200 (sekvence A189394 v OEIS ). Je velmi pravděpodobné, že tato sekvence je úplná.

Kladné celé číslo n je převážně složené číslo -li d(n) ≥ d(m) pro všechny m ≤ n. Funkce počítání Q_L(X) z velké části složených čísel vyhovuje

${ displaystyle ( log x) ^ {c} leq log Q_ {L} (x) leq ( log x) ^ {d} }$

pro pozitivní C,d s ${ Displaystyle 0,2 leq c leq d leq 0,5}$.^[4][5]

Protože primární faktorizace vysoce složeného čísla využívá všechny první k prvočísla, každé vysoce složené číslo musí být a praktické číslo.^[6] Mnoho z těchto čísel se používá v tradiční systémy měření, a mají tendenci být použity v inženýrských návrzích, kvůli jejich snadnému použití při výpočtech zahrnujících zlomky.

Viz také

• Vynikající vysoce složené číslo
• Vysoce totient číslo
• Tabulka dělitelů
• Eulerova totientová funkce
• Kulaté číslo
• Hladké číslo

Poznámky

Reference

• Ramanujan, S. (1915). „Vysoce složená čísla“ (PDF). Proc. London Math. Soc. Řada 2. 14: 347–409. doi:10.1112 / plms / s2_14.1.347. JFM  45.1248.01. (online )
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, vyd. (2006). Příručka teorie čísel I. Dordrecht: Springer-Verlag. str. 45–46. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.
• Erdös, P. (1944). „Na vysoce složených číslech“ (PDF). Journal of the London Mathematical Society. Druhá série. 19 (75_Part_3): 130–133. doi:10.1112 / jlms / 19.75_part_3.130. PAN  0013381.
• Alaoglu, L.; Erdös, P. (1944). „Na vysoce složených a podobných číslech“ (PDF). Transakce Americké matematické společnosti. 56 (3): 448–469. doi:10.2307/1990319. JSTOR  1990319. PAN  0011087.
• Ramanujan, Srinivasa (1997). „Vysoce složená čísla“ (PDF). Ramanujan Journal. 1 (2): 119–153. doi:10.1023 / A: 1009764017495. PAN  1606180. Anotováno as předmluvou Jean-Louis Nicolas a Guy Robin.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Vysoce složené číslo“. MathWorld.
• Algoritmus pro výpočet vysoce složených čísel
• Prvních 10 000 vysoce složených čísel jako faktorů
• Achim Flammenkamp, ​​první 779674 HCN se sigma, tau, faktory
• Online vysoce složená kalkulačka čísel