Wolstenholme prime - Wolstenholme prime

Wolstenholme prime
Pojmenoval podle	Joseph Wolstenholme
Rok vydání	1995
Autor publikace	McIntosh, R. J.
Ne. známých výrazů	2
Domnělý Ne. podmínek	Nekonečný
Subsekvence z	Nepravidelná prvočísla
První termíny	16843, 2124679
Největší známý termín	2124679
OEIS index	A088164; Wolstenholme prvočísla: prvočísla p taková, že binomická (2p-1, p-1) == 1 (mod p ^ 4);

v teorie čísel, a Wolstenholme prime je speciální typ prvočíslo uspokojení silnější verze Wolstenholmeova věta. Wolstenholmeova věta je a kongruenční vztah uspokojena všemi prvočísly vyššími než 3. Wolstenholmova prvočísla jsou pojmenována podle matematika Joseph Wolstenholme, který tuto větu poprvé popsal v 19. století.

Zájem o tyto prvočísla nejprve vznikl kvůli jejich spojení s Fermatova poslední věta. Wolstenholmova prvočísla souvisejí také s jinými speciálními třídami čísel, studovanými v naději, že dokážou zobecnit důkaz pravdivosti věty na všechna kladná celá čísla větší než dvě.

Jediné dvě známé Wolstenholmovy prvočísla jsou 16843 a 2124679 (sekvence A088164 v OEIS ). Neexistují žádné další Wolstenholme připraví méně než 10⁹.^[2]

Definice

Nevyřešený problém v matematice:

Existují nějaké Wolstenholmovy prvočísla kromě 16843 a 2124679?

(více nevyřešených úloh z matematiky)

Wolstenholme prime lze definovat mnoha ekvivalentními způsoby.

Definice pomocí binomických koeficientů

Wolstenholme prime je prvočíslo str > 7, které uspokojí shoda

{ displaystyle {2p-1 vyberte p-1} ekviv 1 { pmod {p ^ {4}}},}

kde je výraz v levá strana označuje a binomický koeficient.^[3]V porovnání Wolstenholmeova věta uvádí, že pro každý prime str > 3 platí následující shoda:

{ displaystyle {2p-1 vyberte p-1} equiv 1 { pmod {p ^ {3}}}.}

Definice pomocí Bernoulliho čísel

Wolstenholme prime je prime str který rozděluje čitatele Bernoulliho číslo B_str−3.^[4]^[5]^[6] Wolstenholmovy prvočísla proto tvoří podmnožinu nepravidelná prvočísla.

Definice pomocí nepravidelných párů

Wolstenholme prime je prime str takový, že (str, str–3) je nepravidelný pár.^[7]^[8]

Definice pomocí harmonických čísel

Wolstenholme prime je prime str takhle^[9]

{ displaystyle H_ {p-1} equiv 0 { pmod {p ^ {3}}} ,,}

tj. čitatel harmonické číslo ${ displaystyle H_ {p-1}}$ vyjádřeno v nejnižších číslech je dělitelné str³.

Hledat a aktuální stav

Hledání Wolstenholmových prvočísel začalo v 60. letech a pokračovalo v následujících desetiletích, přičemž poslední výsledky byly publikovány v roce 2007. První Wolstenholme prime 16843 byl nalezen v roce 1964, ačkoli v té době nebyl výslovně uveden.^[10] Objev z roku 1964 byl později nezávisle potvrzen v 70. letech. Toto zůstalo jediným známým příkladem takového prvočísla téměř 20 let, dokud nebylo v roce 1993 oznámeno objevení druhého prvočísla Wolstenholme 2124679.^[11] Až 1,2×10⁷, nebyly nalezeny žádné další Wolstenholme prvočísla.^[12] Toto bylo později rozšířeno na 2×10⁸ McIntosh v roce 1995 ^[5] a Trevisan & Weber byli schopni dosáhnout 2,5×10⁸.^[13] Posledním výsledkem od roku 2007 je, že existují pouze tyto dvě Wolstenholme prvočísla do 10⁹.^[14]

Očekávaný počet Wolstenholmových prvočísel

Předpokládá se, že existuje nekonečně mnoho Wolstenholmových prvočísel. Předpokládá se, že počet Wolstenholmových prvočísel ≤X je o ln ln x, kde ln označuje přirozený logaritmus. Pro každý prime str ≥ 5, Wolstenholmeův kvocient je definován jako

{ displaystyle W_ {p} {=} { frac {{2p-1 vyberte p-1} -1} {p ^ {3}}}.}

Jasně, str je Wolstenholme prime tehdy a jen tehdy Ž_str ≡ 0 (modstr). Empiricky lze předpokládat, že zbytky Ž_str modulo str jsou rovnoměrně rozloženo v sadě {0, 1, ..., str–1}. Z tohoto důvodu je pravděpodobnost, že zbytek nabere určitou hodnotu (např. 0), asi 1 /str.^[5]

Viz také

Poznámky

^ Wolstenholme prvočísla poprvé popsal McIntosh v roce McIntosh 1995, str. 385
^ Weisstein, Eric W. „Wolstenholme prime“. MathWorld.
^ Cook, J. D. „Binomické koeficienty“. Citováno 21. prosince 2010.
^ Clarke & Jones 2004, str. 553.
^ ^A ^b ^C McIntosh 1995, str. 387.
^ Zhao 2008, str. 25.
^ Johnson 1975, str. 114.
^ Buhler a kol. 1993, str. 152.
^ Zhao 2007, str. 18.
^ Selfridge a Pollack vydali první Wolstenholme prime in Selfridge & Pollack 1964, str. 97 (viz McIntosh & Roettger 2007, str. 2092).
^ Ribenboim 2004, str. 23.
^ Zhao 2007, str. 25.
^ Trevisan & Weber 2001, str. 283–284.
^ McIntosh & Roettger 2007, str. 2092.

Reference

Selfridge, J. L .; Pollack, B. W. (1964), „Fermatova poslední věta platí pro všechny exponenty do 25 000“, Oznámení Americké matematické společnosti, 11: 97
Johnson, W. (1975), „Nepravidelná prvočísla a cyklomatomické invarianty“ (PDF), Matematika výpočtu, 29 (129): 113–120, doi:10.2307/2005468, JSTOR 2005468 Archivováno 2010-12-20 v WebCite
Buhler, J .; Crandall, R .; Ernvall, R .; Metsänkylä, T. (1993), „Nepravidelná prvočísla a cyklomatomické invarianty ke čtyřem milionům“ (PDF), Matematika výpočtu, 61 (203): 151–153, Bibcode:1993MaCom..61..151B, doi:10.2307/2152942, JSTOR 2152942 Archivováno 12. 11. 2010 v WebCite
McIntosh, R. J. (1995), „V obrácení Wolstenholmovy věty“ (PDF), Acta Arithmetica, 71 (4): 381–389, doi:10,4064 / aa-71-4-381-389 Archivováno 08.11.2010 v WebCite
Trevisan, V .; Weber, K. E. (2001), „Testování konverze Wolstenholmovy věty“ (PDF), Matemática Contemporânea, 21: 275–286 Archivováno 10. 12. 2010 v WebCite
Ribenboim, P. (2004), „Kapitola 2. Jak rozpoznat, zda je přirozené číslo prvočíslo“, Malá kniha větších prvočísel, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 978-0-387-20169-6 Archivováno 2010-11-24 v WebCite
Clarke, F .; Jones, C. (2004), „Shoda pro faktoriály“ (PDF), Bulletin of London Mathematical Society, 36 (4): 553–558, doi:10.1112 / S0024609304003194 Archivováno 2011-01-02 v WebCite
McIntosh, R. J .; Roettger, E. L. (2007), „Hledání Fibonacci-Wieferich a Wolstenholme připraví“ (PDF), Matematika výpočtu, 76 (260): 2087–2094, Bibcode:2007MaCom..76.2087M, doi:10.1090 / S0025-5718-07-01955-2 Archivováno 10. 12. 2010 v WebCite
Zhao, J. (2007), „Bernoulliho čísla, Wolstenholmeova věta a str⁵ variace Lucasovy věty " (PDF), Žurnál teorie čísel, 123: 18–26, doi:10.1016 / j.jnt.2006.05.005, S2CID 937685Archivováno 12. 11. 2010 v WebCite
Zhao, J. (2008), „Věta typu Wolstenholme pro více harmonických součtů“ (PDF), International Journal of Number Theory, 4 (1): 73–106, doi:10,1142 / s1793042108001146 Archivováno 27. 11. 2010 v WebCite

Další čtení

Babbage, C. (1819), „Demonstrace věty o prvočíslech“, Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46–49
Krattenthaler, C .; Rivoal, T. (2009), „O integritě Taylorových koeficientů zrcadlových map, II“, Komunikace v teorii čísel a fyzice, 3 (3): 555–591, arXiv:0907.2578, Bibcode:2009arXiv0907,2578K, doi:10.4310 / CNTP.2009.v3.n3.a5
Wolstenholme, J. (1862), „O určitých vlastnostech prvočísel“, Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky, 5: 35–39

externí odkazy

Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime z Prime Glossary
McIntosh, R. J. Stav vyhledávání Wolstenholme k březnu 2004 poslat e-mail na adresu Paul Zimmermann
Bruck, R. Wolstenholmeova věta, Stirlingova čísla a binomické koeficienty
Conrad, K. The str-adický růst harmonických součtů zajímavé pozorování zahrnující dvě Wolstenholmovy prvočísla

[1] Wolstenholme prvočísla poprvé popsal McIntosh v roce McIntosh 1995, str. 385

[2] Weisstein, Eric W. „Wolstenholme prime“. MathWorld.

[3] Cook, J. D. „Binomické koeficienty“. Citováno 21. prosince 2010.

[FOOTNOTEClarkeJones2004553-4] Clarke & Jones 2004, str. 553.

[FOOTNOTEMcIntosh1995387-5] A ^b ^C McIntosh 1995, str. 387.

[FOOTNOTEZhao200825-6] Zhao 2008, str. 25.

[FOOTNOTEJohnson1975114-7] Johnson 1975, str. 114.

[FOOTNOTEBuhlerCrandallErnvallMetsänkylä1993152-8] Buhler a kol. 1993, str. 152.

[FOOTNOTEZhao200718-9] Zhao 2007, str. 18.

[10] Selfridge a Pollack vydali první Wolstenholme prime in Selfridge & Pollack 1964, str. 97 (viz McIntosh & Roettger 2007, str. 2092).

[FOOTNOTERibenboim200423-11] Ribenboim 2004, str. 23.

[FOOTNOTEZhao200725-12] Zhao 2007, str. 25.

[FOOTNOTETrevisanWeber2001283–284-13] Trevisan & Weber 2001, str. 283–284.

[FOOTNOTEMcIntoshRoettger20072092-14] McIntosh & Roettger 2007, str. 2092.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

prvočíslo třídy
Podle vzorce	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 str - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 str -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 str + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Faktoriál ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $str n # \pm 1$ ) Euklid ( $str n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $X 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Kubánský ( $X 3 - y 3)/(X - y$ ) Koleda $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $X y + y X$ ) Zvyk ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mlýny ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Podle celočíselné sekvence	Fibonacci Lucas Pell Newman – Shanks – Williams Perrin Příčky Zvonek Motzkin
Podle majetku	Wieferich (pár ) Zeď – Slunce – Slunce Wolstenholme Wilson Šťastný Štěstí Ramanujan Pillai Pravidelný Silný Záď Supersingulární (eliptická křivka) Supersingulární (teorie měsíčního svitu) Dobrý Super Higgs Vysoce kototentní
Základna -závislý	Palindromický Emirp Smířit $(10 n - 1)/9$ Permutable Oběžník Zkrátit Minimální Slabě Prvotní Plný reptend Unikátní Šťastný Já Smarandache – Wellin Strobogramatické Vzepětí Tetradic
Vzory	Twin ( $str, str + 2$ ) Dvojitý řetěz ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Triplet ( $str, str + 2 nebo str + 4, str + 6$ ) Čtyřlůžkový pokoj ( $str, str + 2, str + 6, str + 8$ ) k−Tuple Bratranec ( $str, str + 4$ ) Sexy ( $str, str + 6$ ) Chen Sophie Germain / Safe ( $str, 2 str + 1$ ) Cunningham ( $str, 2 str \pm 1, 4 str \pm 3, 8 str \pm 7, ...$ ) Aritmetický postup ( $str + a \cdot n, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Vyvážený ( $po sobě str - n, str, str + n$ )
Podle velikosti	Titánský (1 000+ číslic) Gigantický (10 000+ číslic) Mega (1 000 000+ číslic) Největší známý
Složitá čísla	Eisenstein prime Gaussian prime
Složená čísla	Pseudoprime Katalánština Eliptický Euler Euler – Jacobi Fermat Frobenius Lucas Somer – Lucas Silný Carmichael číslo Téměř prime Semiprime Interprime Zhoubný
související témata	Pravděpodobný prime Průmyslový prime Nelegální prime Vzorec pro prvočísla Prime gap
Prvních 60 prvočísel	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Seznam prvočísel