Dudeneyovo číslo - Dudeney number

v teorie čísel, a Dudeneyovo číslo v daném číselná základna ${ displaystyle b}$ je přirozené číslo rovná se perfektní kostka jiného přirozené číslo takové, že součet číslic prvního přirozeného čísla se rovná druhému. Název je odvozen od Henry Dudeney, který v jedné ze svých hádanek zaznamenal existenci těchto čísel, Kořenová extrakce, kde profesor v důchodu na Colney Hatch postuluje to jako obecnou metodu pro extrakci kořenů.

Matematická definice

Nechat ${ displaystyle n}$ být přirozené číslo. Definujeme Dudeneyova funkce pro základnu ${ displaystyle b> 1}$ a Napájení ${ displaystyle p> 0}$ ${ displaystyle F_ {p, b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ být následující:

{ displaystyle F_ {p, b} (n) = součet _ {i = 0} ^ {k-1} { frac {n ^ {p} { bmod {b ^ {i + 1}}} - n ^ {p} { bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

kde ${ displaystyle k = lfloor log _ {b} {n} rfloor +1}$ je počet číslic v čísle v základně ${ displaystyle b}$ .

Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je Dudeneyův kořen pokud je to pevný bod pro ${ displaystyle F_ {p, b}}$ , který nastane, pokud ${ displaystyle F_ {p, b} (n) = n}$ . Přirozené číslo ${ displaystyle m = n ^ {p}}$ je zobecněné Dudeneyovo číslo,^[1] a pro ${ displaystyle p = 3}$ , čísla jsou známá jako Dudeneyova čísla. ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle 1}$ jsou triviální Dudeneyova čísla pro všechny ${ displaystyle b}$ a ${ displaystyle p}$ , všechna ostatní triviální čísla Dudeney jsou netriviální triviální Dudeneyova čísla.

Pro ${ displaystyle p = 3}$ a ${ displaystyle b = 10}$ , existuje přesně šest takových celých čísel (sekvence A061209 v OEIS ): ${ Displaystyle 1,512,4913,5832,17576,19683}$

Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je společenský kořen Dudeney pokud je to periodický bod pro ${ displaystyle F_ {p, b}}$ , kde ${ displaystyle F_ {p, b} ^ {k} (n) = n}$ pro kladné celé číslo ${ displaystyle k}$ , a tvoří a cyklus období ${ displaystyle k}$ . Kořen Dudeney je společenský kořen Dudeney s ${ displaystyle k = 1}$ a přátelský kořen Dudeney je společenský kořen Dudeney s ${ displaystyle k = 2}$ . Společenská Dudeneyova čísla a přátelská Dudeneyova čísla jsou pravomoci jejich příslušných kořenů.

Počet iterací ${ displaystyle i}$ potřebné pro ${ displaystyle F_ {p, b} ^ {i} (n)}$ dosáhnout pevného bodu je funkce Dudeney vytrvalost z ${ displaystyle n}$ , a nedefinováno, pokud nikdy nedosáhne pevného bodu.

Je možné ukázat, že vzhledem k číselné základně ${ displaystyle b}$ a moc ${ displaystyle p}$ , maximální kořen Dudeney musí splňovat tuto vazbu:

{ displaystyle n leq (b-1) (1 + p + log _ {b} {n ^ {p}}) = (b-1) (1 + p + p log _ {b} {n} ))}

z čehož vyplývá konečný počet Dudeneyových kořenů a Dudeneyových čísel pro každou objednávku ${ displaystyle p}$ a základna ${ displaystyle b}$ .^[2]

${ displaystyle F_ {1, b}}$ je součet číslic. Jediná Dudeneyova čísla jsou jednociferná čísla v základu ${ displaystyle b}$ a neexistují žádné periodické body s hlavní dobou větší než 1.

Dudeneyova čísla, kořeny a cykly F_p,b pro konkrétní p a b

Všechna čísla jsou uvedena v základně ${ displaystyle b}$ .

${ displaystyle p}$	${ displaystyle b}$	Netriviální kořeny Dudeney ${ displaystyle n}$	Netriviální Dudeneyova čísla ${ displaystyle m = n ^ {p}}$	Cykly ${ displaystyle F_ {p, b} (n)}$	Přátelská / společenská Dudeneyova čísla
2	2	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
2	3	2	11	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
2	4	3	21	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
2	5	4	31	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
2	6	5	41	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
2	7	3, 4, 6	12, 22, 51	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
2	8	7	61	2 → 4 → 2	4 → 20 → 4
2	9	8	71	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
2	10	9	81	13 → 16 → 13	169 → 256 → 169
2	11	5, 6, A	23, 33, 91	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
2	12	B	A1	9 → 13 → 14 → 12	69 → 169 → 194 → 144
2	13	4, 9, C, 13	13, 63, B1, 169	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
2	14	D	C1	9 → 12 → 9	5B → 144 → 5B
2	15	7, 8, E.	34, 44, D1	2 → 4 → 2 9 → B → 9	4 → 11 → 4 56 → 81 → 56
2	16	6, A, F	24, 64, E1	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
3	2	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
3	3	11, 22	2101, 200222	12 → 21 → 12	11122 → 110201 → 11122
3	4	2, 12, 13, 21, 22	20, 3120, 11113, 23121, 33220	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
3	5	3, 13, 14, 22, 23	102, 4022, 10404, 23403, 32242	12 → 21 → 12	2333 → 20311 → 2333
3	6	13, 15, 23, 24	3213, 10055, 23343, 30544	11 → 12 → 11	1331 → 2212 → 1331
3	7	2, 4, 11, 12, 14, 15, 21, 22	11, 121, 1331, 2061, 3611, 5016, 12561, 14641	25 → 34 → 25	25666 → 63361 → 25666
3	8	6, 15, 16	330, 4225, 5270	17 → 26 → 17	6457 → 24630 → 6457
3	9	3, 7, 16, 17, 25	30, 421, 4560, 5551, 17618	5 → 14 → 5 12 → 21 → 12 18 → 27 → 18	148 → 3011 → 148 1738 → 6859 → 1738 6658 → 15625 → 6658
3	10	8, 17, 18, 26, 27	512, 4913, 5832, 17576, 19683	19 → 28 → 19	6859 → 21952 → 6859
3	11	5, 9, 13, 15, 18, 22, 25	104, 603, 2075, 3094, 5176, A428, 13874	8 → 11 → 8 A → 19 → A 14 → 23 → 14 16 → 21 → 16	426 → 1331 → 426 82A → 6013 → 82A 2599 → 10815 → 2599 3767 → 12167 → 3767
3	12	19, 1A, 1B, 28, 29, 2A	5439, 61B4, 705B, 16B68, 18969, 1A8B4	8 → 15 → 16 → 11 → 8 13 → 18 → 21 → 14 → 13	368 → 2A15 → 3460 → 1331 → 368 1B53 → 4768 → 9061 → 2454 → 1B53
4	2	11, 101	1010001, 1001110001	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
4	3	11	100111	22 → 101 → 22	12121201 → 111201101 → 12121201
4	4	3, 13, 21, 31	1101, 211201, 1212201, 12332101	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
4	5	4, 14, 22, 23, 31	2011, 202221, 1130421, 1403221, 4044121	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
4	6	24, 32, 42	1223224, 3232424, 13443344	14 → 23 → 14	114144 → 1030213 → 114144
5	2	110, 111, 1001	1111001100000, 100000110100111, 1110011010101001	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
5	3	101	12002011201	22 → 121 → 112 → 110 → 22	1122221122 → 1222021101011 → 1000022202102 → 110122100000 → 1122221122
5	4	2, 22	200, 120122200	21 → 33 → 102 → 30 → 21	32122221 → 2321121033 → 13031110200 → 330300000 → 32122221
6	2	110	1011011001000000	111 → 1001 → 1010 → 111	11100101110010001 → 10000001101111110001 → 11110100001001000000 → 11100101110010001
6	3	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$	101 → 112 → 121 → 101	1212210202001 → 112011112120201 → 1011120101000101 → 1212210202001

Rozšíření na záporná celá čísla

Dudeneyova čísla lze rozšířit na záporná celá čísla pomocí a podepsané číslice reprezentovat každé celé číslo.

Příklad programování

Následující příklad implementuje funkci Dudeney popsanou ve výše uvedené definici hledat kořeny, čísla a cykly Dudeney v Krajta.

def dudeneyf(X: int, p: int, b: int) -> int:    "" "Funkce Dudeney." ""    y = prášek(X, p)    celkový = 0    zatímco y > 0:        celkový = celkový + y % b        y = y // b    vrátit se celkovýdef dudeneyf_cycle(X: int, p: int, b: int) -> Seznam:    vidět = []    zatímco X ne v vidět:        vidět.připojit(X)        X = dudeneyf(X, p, b)    cyklus = []    zatímco X ne v cyklus:        cyklus.připojit(X)        X = dudeneyf(X, p, b)    vrátit se cyklus

Viz také

Reference

H. E. Dudeney, 536 hádanek a kuriózní problémySouvenir Press, Londýn, 1968, s. 36, č. 120.

externí odkazy

[1] ttp://www.jakob.at/steffen/dudeney.html

[2] ttp://blog.hostilefork.com/six-dudeney-numbers-proof/

[1]

[2]