Kovový průměr - Metallic mean - Wikipedia

Zlatý řez v pentagramu a stříbrný řez v osmiúhelníku.

The kovové prostředky (taky poměry nebo konstanty) po sobě jdoucích přirozená čísla jsou pokračující zlomky:

${ displaystyle n + { cfrac {1} {n + { cfrac {1} {n + { cfrac {1} {n + { cfrac {1} {n + ddots ,}}}}}}}}} = [ n; n, n, n, n, dots] = { frac {n + { sqrt {n ^ {2} +4}}} {2}}.}$

The Zlatý řez (1,618 ...) je kovový průměr mezi 1 a 2, zatímco poměr stříbra (2.414 ...) je kovový průměr mezi 2 a 3. Pojem „poměr bronzu“ (3.303 ...) nebo termíny používající jiné názvy kovů (jako měď nebo nikl) se občas používají k pojmenování následujících kovů prostředek.^[1][2] Hodnoty prvních deseti kovových prostředků jsou zobrazeny vpravo.^[3][4] Všimněte si, že každý kovový průměr je kořenem jednoduché kvadratické rovnice:${ displaystyle x ^ {2} -nx = 1}$, kde ${ displaystyle n}$ je jakékoli kladné přirozené číslo.

Protože je zlatý řez spojen s Pentagon (první diagonální / boční), poměr stříbra je připojen k osmiúhelník (druhá úhlopříčka / strana). Protože je zlatý řez spojen s Fibonacciho čísla, poměr stříbra je připojen k Pell čísla a poměr bronzu je spojen s OEIS: A006190. Každé číslo Fibonacciho je součtem předchozího čísla krát jedna plus číslo před tím, každé číslo Pell je součtem předchozího čísla krát dva a jednoho před tím, a každé „bronzové číslo Fibonacciho“ je součtem předchozího čísla krát tři plus číslo před tím. Vezmeme-li po sobě jdoucí čísla Fibonacci jako poměry, tyto poměry se blíží zlaté střední hodnotě, poměry počtu Pell se blíží stříbrné střední hodnotě a poměry „bronzového Fibonacciho čísla“ se blíží bronzové střední hodnotě.

Vlastnosti

Tato sekce ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tuto sekci podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Kovový průměr"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Pokud jeden odstraní největší možný čtverec z konce zlatého obdélníku, zůstane mu zlatý obdélník. Pokud jeden odstraní ze stříbra dva, jeden zůstane se stříbrem. Pokud jeden odstraní tři z bronzu, jeden zůstane s bronzem.

Poměry zlata, stříbra a bronzu v příslušných obdélnících.

Tyto vlastnosti jsou platné pouze pro celá čísla m, pro neintegrátory jsou vlastnosti podobné, ale mírně odlišné.

Výše uvedená vlastnost pro mocniny stříbrného poměru je důsledkem vlastnosti mocností stříbrných prostředků. Pro stříbrný průměr S z m, lze nemovitost zobecnit jako

${ displaystyle S_ {m} ^ {n} = K_ {n} S_ {m} + K _ {(n-1)}}$

kde

${ displaystyle K_ {n} = mK _ {(n-1)} + K _ {(n-2)}.}$

Použití počátečních podmínek K.₀ = 1 a K.₁ = m, stane se tato relace opakování

${ displaystyle K_ {n} = { frac {S_ {m} ^ {n + 1} - { left (m-S_ {m} right)} ^ {n + 1}} { sqrt {m ^ {2} +4}}}.}$

Síly stříbrných prostředků mají další zajímavé vlastnosti:

Li n je kladné sudé celé číslo:

${ displaystyle {S_ {m} ^ {n} - left lfloor S_ {m} ^ {n} right rfloor} = 1-S_ {m} ^ {- n}.}$

Dodatečně,

${ displaystyle {1 over {S_ {m} ^ {4} - left lfloor S_ {m} ^ {4} right rfloor}} + left lfloor S_ {m} ^ {4} -1 right rfloor = S _ { left (m ^ {4} + 4m ^ {2} +1 right)}}$

${ displaystyle {1 over {S_ {m} ^ {6} - left lfloor S_ {m} ^ {6} right rfloor}} + left lfloor S_ {m} ^ {6} -1 right rfloor = S _ { left (m ^ {6} + 6m ^ {4} + 9m ^ {2} +1 right)}.}$

Zlatý trojúhelník. Poměr a: b je ekvivalentní zlatému řezu φ. Ve stříbrném trojúhelníku by to odpovídalo δ_S.

Taky,

${ displaystyle S_ {m} ^ {3} = S _ { vlevo (m ^ {3} + 3m vpravo)}}$

${ displaystyle S_ {m} ^ {5} = S _ { vlevo (m ^ {5} + 5m ^ {3} + 5m vpravo)}}$

${ displaystyle S_ {m} ^ {7} = S _ { vlevo (m ^ {7} + 7m ^ {5} + 14m ^ {3} + 7m vpravo)}}$

${ displaystyle S_ {m} ^ {9} = S _ { vlevo (m ^ {9} + 9m ^ {7} + 27m ^ {5} + 30m ^ {3} + 9m doprava)}}$

${ displaystyle S_ {m} ^ {11} = S _ { vlevo (m ^ {11} + 11m ^ {9} + 44m ^ {7} + 77m ^ {5} + 55m ^ {3} + 11m doprava )}.}$

Obecně:

${ displaystyle S_ {m} ^ {2n + 1} = S _ { sum _ {k = 0} ^ {n} {{2n + 1} nad {2k + 1}} {{n + k} zvolit {2k}} m ^ {2k + 1}}.}$

Stříbrný průměr S z m má také vlastnost, že

${ displaystyle { frac {1} {S_ {m}}} = S_ {m} -m}$

což znamená, že inverzní hodnota stříbrného průměru má stejnou desetinnou část jako odpovídající stříbrný průměr.

${ displaystyle S_ {m} = a + b}$

kde A je celočíselná část S a b je desetinná část S, pak platí následující vlastnost:

${ displaystyle S_ {m} ^ {2} = a ^ {2} + mb + 1.}$

Protože (pro všechny m větší než 0), celočíselná část S_m = m, A = m. Pro m> 1, pak máme

${ displaystyle S_ {m} ^ {2} = ma + mb + 1}$

${ displaystyle S_ {m} ^ {2} = m (a + b) +1}$

${ displaystyle S_ {m} ^ {2} = m vlevo (S_ {m} vpravo) +1.}$

Proto je stříbrná střední hodnota m řešením rovnice

${ displaystyle x ^ {2} -mx-1 = 0.}$

Může být také užitečné poznamenat, že stříbro znamená S z -m je inverzní hodnota stříbrného průměru S z m

${ displaystyle { frac {1} {S_ {m}}} = S _ {(- m)} = S_ {m} -m.}$

Dalšího zajímavého výsledku lze dosáhnout mírnou změnou vzorce střední hodnoty stříbra. Pokud vezmeme v úvahu číslo

${ displaystyle { frac {n + { sqrt {n ^ {2} + 4c}}} {2}} = R}$

pak jsou splněny následující vlastnosti:

${ displaystyle R- lfloor R rfloor = { frac {c} {R}}}$ -li C je skutečný,

${ displaystyle left ({1 over R} right) c = R- lfloor operatorname {Re} (R) rfloor}$ -li C je násobkem i.

Stříbrný průměr m je také dán integrálem

${ displaystyle S_ {m} = int _ {0} ^ {m} { vlevo ({x nad {2 { sqrt {x ^ {2} +4}}}} + {{m + 2} přes {2m}} vpravo)} , dx.}$

Další zajímavá forma kovového průměru je dána vztahem

${ displaystyle { frac {n + { sqrt {n ^ {2} +4}}} {2}} = e ^ { operatorname {arsinh (n / 2)}}}$

Trigonometrické výrazy

N	Trigonometrický výraz	Přidružený pravidelný mnohoúhelník
1	${ displaystyle 2 cos { frac { pi} {5}}}$	Pentagon
2	${ displaystyle tan { frac {3 pi} {8}}}$	Osmiúhelník
3	${ displaystyle 2 cos { frac { pi} {13}} vlevo ( sin { frac {2 pi} {13}} csc { frac {3 pi} {13}} + 1 že jo)}$	Tridecagon
4	${ displaystyle 8 cos ^ {3} { frac { pi} {5}}}$	Pentagon
5	${ displaystyle { frac { sin { frac {19 pi} {29}} - { frac {1} {2}} csc { frac {19 pi} {29}} ( cos { frac {25 pi} {29}} + 1) - sin { frac {25 pi} {29}} sin { frac {3 pi} {29}} csc { frac {20 pi} {29}}} { sin { frac {25 pi} {29}} sin { frac {5 pi} {29}} csc { frac {21 pi} {29} } - sin { frac {16 pi} {29}} sin { frac { pi} {29}} csc { frac {7 pi} {29}}}}}$	29-gon
6	${ displaystyle { frac { sin { frac {21 pi} {40}}} { sin { frac {7 pi} {8}} - sin { frac {5 pi} {8 }} sin { frac { pi} {40}} csc { frac {11 pi} {40}} - sin { frac {19 pi} {20}} sin { frac { 9 pi} {40}} csc { frac {7 pi} {10}}}}}$	40-gon
7
8	${ displaystyle { frac { sin { frac {6 pi} {17}} sin { frac {7 pi} {17}} sin { frac {3 pi} {17}} sin { frac {12 pi} {17}}} { sin { frac { pi} {17}} sin { frac {9 pi} {17}} sin { frac {4 pi} {17}} sin { frac {2 pi} {17}}}}}$	Heptadekagon
9

^[5]

Viz také

• Konstantní
• Znamenat
• Poměr
• Plastové číslo

Poznámky

Reference

Další čtení

• Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). Matematika harmonie: Od Euklida po současnou matematiku a informatiku, str. 228, 231. World Scientific. ISBN  9789812775832.

externí odkazy

• Stakhov, Alexey. "Matematika harmonie: Vyjasnění původu a vývoje matematiky ", PeaceFromHarmony.org.
• Cristina-Elena Hrețcanu a Mircea Crasmareanu (2013). "Kovové konstrukce na Riemannově rozdělovači ", Revista de la Unión Matemática Argentina.
• Rakočević, Miloje M. "Další zobecnění zlatého průměru ve vztahu k Eulerově „božské“ rovnici ", Arxiv.org.