Zvykové číslo - Thabit number

v teorie čísel, a Zvykové číslo, Thâbit ibn Kurrah číslonebo Číslo 321 je celé číslo formuláře ${ displaystyle 3 cdot 2 ^ {n} -1}$ pro nezáporné celé číslo n.

Prvních několik Thabit čísel je:

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, ... (sekvence A055010 v OEIS )

9. století matematik, lékař, astronom a překladatel Thābit ibn Qurra je připočítán jako první, kdo studoval tato čísla a jejich vztah k přátelská čísla.^[1]

Vlastnosti

Binární reprezentace Thabitového čísla 3 · 2ⁿ-1 je n+2 číslice, skládající se z „10“, za nimiž následuje n 1 s.

Prvních pár Thabit čísel, která jsou primární (Zvyk připraví nebo 321 prvočísel):

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (sekvence A007505 v OEIS )

Od října 2015^{[Aktualizace]}, je známo 62 prvotřídních Thabit čísel. Jejich n hodnoty jsou:^[2][3][4]

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, ... (sekvence A002235 v OEIS )

Prvočísla pro n≥ 234760 bylo nalezeno distribuované výpočty projekt 321 vyhledávání.^[5] Největší z nich, 3 · 2^11895718−1, má 3580969 číslic a bylo nalezeno v červnu 2015.

V roce 2008, Primegrid převzal hledání Thabitových prvočísel.^[6] Stále hledá a již našel všechny aktuálně známé Thabitové prvočísla s n ≥ 4235414.^[7] Hledá také prvočísla formy 3 · 2ⁿ+1, takové prvočísla se nazývají Zvyklá prvočísla druhého druhu nebo 321 prvočísel druhého druhu.

Prvních několik Thabitových čísel druhého druhu je:

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (sekvence A181565 v OEIS )

Prvních několik Thabitových prvočísel druhého druhu je:

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (sekvence A039687 v OEIS )

Jejich n hodnoty jsou:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 70336, 7033 (sekvence A002253 v OEIS )

Spojení s přátelskými čísly

Když obojí n a n−1 výtěžek Thabitových prvočísel (prvního druhu) a ${ displaystyle 9 cdot 2 ^ {2n-1} -1}$ je také prime, pár přátelská čísla lze vypočítat takto:

${ displaystyle 2 ^ {n} (3 cdot 2 ^ {n-1} -1) (3 cdot 2 ^ {n} -1)}$ a ${ displaystyle 2 ^ {n} (9 cdot 2 ^ {2n-1} -1).}$

Například, n = 2 dává Thabit prime 11 a n−1 = 1 dává Thabit prime 5 a náš třetí člen je 71. Pak 2²= 4, vynásobeno 5 a 11 výsledků v 220, jejíž dělitelé tvoří celkem 284 a čtyřikrát 71 je 284, jejichž dělitele je až 220.

Jediný známý n splňující tyto podmínky jsou 2, 4 a 7, což odpovídá Thabitovým prvočíslům 11, 47 a 383 daným n, Thabit připravuje 5, 23 a 191 daných n−1 a naše třetí termíny jsou 71, 1151 a 73727. (Odpovídající přátelské páry jsou (220, 284), (17296, 18416) a (9363584, 9437056))

Zobecnění

Pro celé číslo b ≥ 2, a Thabitová číselná základna b je číslo formuláře (b+1)·bⁿ - 1 pro nezáporné celé číslo n. Také pro celé číslo b ≥ 2, a Thabitové číslo základny druhého druhu b je číslo formuláře (b+1)·bⁿ + 1 pro nezáporné celé číslo n.

Williamsova čísla jsou také zevšeobecněním thabitových čísel. Pro celé číslo b ≥ 2, a Williamsova číselná základna b je číslo formuláře (b−1)·bⁿ - 1 pro nezáporné celé číslo n.^[8] Také pro celé číslo b ≥ 2, a Williamsovo číslo druhého druhu základny b je číslo formuláře (b−1)·bⁿ + 1 pro nezáporné celé číslo n.

Pro celé číslo b ≥ 2, a Zvyklá základní základna b je Thabitová číselná základna b to je také hlavní. Podobně pro celé číslo b ≥ 2, a Williams hlavní základna b je Williamsova číselná základna b to je také hlavní.

Každý prime p je Thabit prime základny prvního druhu p, Williamsova základna prvního druhu p+2 a Williamsova základna druhého druhu p; -li p ≥ 5, pak p je také Thabit prime základny druhého druhu p−2.

Je to domněnka, že pro každé celé číslo b ≥ 2, existuje nekonečně mnoho Thabitových prvočísel základny prvního druhu b, nekonečně mnoho Williamsových prvočísel základny prvního druhu ba nekonečně mnoho Williamsových prvočísel základny druhého druhu b; také pro každé celé číslo b ≥ 2 to není shodný na 1 modulo 3, existuje nekonečně mnoho Thabitových prvočísel základny druhého druhu b. (Pokud základna b je shodný s 1 modulo 3, pak se všemi Thabit čísly základny druhého druhu b jsou dělitelné 3 (a od 3 větší než 3) b ≥ 2), takže neexistují žádné Thabitové prvočísla základny druhého druhu b.)

Exponent Thabitových prvočísel druhého druhu se nemůže shodovat s 1 modem 3 (kromě samotného 1), exponent Williamsových prvočísel prvního druhu se nemůže shodovat se 4 mody 6 a exponent Williamsových prvočísel druhého druhu se nemůže shodovat s 1 mod 6 (kromě 1 samotného), protože odpovídající polynom k b je redukovatelný polynom. (Li n ≡ 1 mod 3, poté (b+1)·bⁿ + 1 je dělitelné b² + b + 1; -li n ≡ 4 mod 6, poté (b−1)·bⁿ - 1 je dělitelné b² − b + 1; a pokud n ≡ 1 mod 6, poté (b−1)·bⁿ + 1 je dělitelné b² − b + 1) Jinak odpovídající polynom k b je neredukovatelný polynom, takže když Bunyakovsky dohad je pravda, pak existuje nekonečně mnoho základen b takové, že odpovídající číslo (pro pevný exponent n splňující podmínku) je prvočíslo. (((b+1)·bⁿ - 1 je ireducibilní pro všechna nezáporná celá čísla n, takže pokud je Bunyakovského domněnka pravdivá, pak existuje nekonečně mnoho základen b takové, že odpovídající číslo (pro pevný exponent n) je hlavní)

Nejméně k ≥ 1 takový, že (n+1)·n^k - 1 je prime jsou: (začněte s n = 2)

1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 1483, 1, 1, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 3, 36, 1, 10, 8, 3, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1704, 1, 3, 9, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 24, 25, 1, ...

Nejméně k ≥ 1 takový, že (n+1)·n^k + 1 je prime jsou: (začněte n = 2, 0, pokud neexistuje k existuje)

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 9, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 0, 2, 3, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 6, 0, 1, 183, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 21, 0, 1, 185, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 120, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 8, 0, 5, 9, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 9, 14, 0, 3, 1, 0, ...

Nejméně k ≥ 1 takový, že (n−1)·n^k - 1 je prime jsou: (začněte s n = 2)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, ...

Nejméně k ≥ 1 takový, že (n−1)·n^k + 1 je prime jsou: (začněte n = 2)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, ...

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Thâbit ibn Kurrah Number“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Thâbit ibn Kurrah Prime“. MathWorld.
• Chris Caldwell, Největší databáze známých prvočísel na Prvních stránkách
• Thabit prime prvního druhu základny 2: (2 + 1) · 2^11895718 − 1
• Thabit prime druhého druhu základny 2: (2 + 1) · 2^10829346 + 1
• Williamsova základna prvního druhu 2: (2−1) · 2^74207281 − 1
• Williamsova základna prvního druhu 3: (3−1) · 3^1360104 − 1
• Williamsova základna druhého druhu 3: (3−1) · 3^1175232 + 1
• Williamsova základna prvního druhu 10: (10-1) · 10³⁸³⁶⁴³ − 1
• Williamsova základna prvního druhu 113: (113-1) · 113²⁸⁶⁶⁴³ − 1
• Seznam Williamsových prvočísel
• 321 Prime Search od PrimeGrid, o objevu Thabit prime první základny prvního druhu 2: (2 + 1) · 2^6090515 − 1