Zeď – Slunce – Slunce - Wall–Sun–Sun prime

v teorie čísel, a Zeď – Slunce – Slunce nebo Fibonacci – Wieferich prime je určitý druh prvočíslo o kterém se předpokládá, že existuje, i když žádný není znám.

Definice

Nechat ${ displaystyle p}$ být prvočíslo. Když každý termín v pořadí Fibonacciho čísla ${ displaystyle F_ {n}}$ je snížena modulo ${ displaystyle p}$, výsledkem je a periodická posloupnost Délka (minimální) periody této sekvence se nazývá Pisanské období a označil ${ displaystyle pi (p)}$. Od té doby ${ displaystyle F_ {0} = 0}$, z toho vyplývá, že p rozděluje ${ displaystyle F _ { pi (p)}}$. Prime p takhle p² rozděluje ${ displaystyle F _ { pi (p)}}$ se nazývá a Zeď – Slunce – Slunce.

Ekvivalentní definice

Li ${ displaystyle alpha (m)}$ označuje hodnost zjevení modulo ${ displaystyle m}$ (tj., ${ displaystyle alpha (m)}$ je nejmenší kladný index ${ displaystyle m}$ takhle ${ displaystyle m}$ rozděluje ${ displaystyle F _ { alpha (m)}}$), pak může být zeď-slunce – slunce prvočíselně definována jako prvočíslo ${ displaystyle p}$ takhle ${ displaystyle p ^ {2}}$ rozděluje ${ displaystyle F _ { alpha (p)}}$.

Za nejlepší p ≠ 2, 5, stupeň zjevení ${ displaystyle alpha (p)}$ je známo, že rozděluje ${ displaystyle p- left ({ tfrac {p} {5}} right)}$, Kde Legendární symbol ${ displaystyle textstyle left ({ frac {p} {5}} right)}$ má hodnoty

${ displaystyle left ({ frac {p} {5}} right) = { begin {cases} 1 & { text {if}} p equiv pm 1 { pmod {5}}; -1 & { text {if}} p equiv pm 2 { pmod {5}}. End {cases}}}$

Toto pozorování vede k ekvivalentní charakterizaci prvočísel Wall – Sun – Sun jako prvočísel ${ displaystyle p}$ takhle ${ displaystyle p ^ {2}}$ rozdělí číslo Fibonacci ${ displaystyle F_ {p- left ({ frac {p} {5}} right)}}$.^[1]

Prime ${ displaystyle p}$ je Wall-Sun – Sun prime právě tehdy ${ displaystyle pi (p ^ {2}) = pi (p)}$.

Prime ${ displaystyle p}$ je Wall-Sun – Sun prime právě tehdy ${ displaystyle L_ {p} equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}}$, kde ${ displaystyle L_ {p}}$ je ${ displaystyle p}$-th Lucasovo číslo.^[2]:42

McIntosh a Roettger zavádějí několik ekvivalentních charakterizací Lucas – Wieferich připravuje.^[3] Zejména nechte ${ displaystyle epsilon = left ({ tfrac {p} {5}} right)}$; pak následující jsou ekvivalentní:

• ${ displaystyle F_ {p- epsilon} equiv 0 { pmod {p ^ {2}}}}$
• ${ displaystyle L_ {p- epsilon} equiv 2 epsilon { pmod {p ^ {4}}}}$
• ${ displaystyle L_ {p- epsilon} equiv 2 epsilon { pmod {p ^ {3}}}}$
• ${ displaystyle F_ {p} equiv epsilon { pmod {p ^ {2}}}}$
• ${ displaystyle L_ {p} equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}}$

Existence

Nevyřešený problém v matematice: Existují nějaké zdi – slunce – sluneční prvočísla? Pokud ano, je jich nekonečné množství? (více nevyřešených úloh z matematiky)

Ve studii o Pisanově době ${ displaystyle k (p)}$, Donald Dines Wall zjistil, že neexistují žádné prvočísla Zeď – Slunce – Slunce menší než ${ displaystyle 10 000}$. V roce 1960 napsal:^[4]

Nejvíce zmatený problém, se kterým jsme se v této studii setkali, se týká hypotézy ${ displaystyle k (p ^ {2}) neq k (p)}$. Provedli jsme test na digitálním počítači, který to ukazuje ${ displaystyle k (p ^ {2}) neq k (p)}$ pro všechny ${ displaystyle p}$ až do ${ displaystyle 10 000}$; to však nemůžeme dokázat ${ displaystyle k (p ^ {2}) = k (p)}$ je nemožné. Otázka úzce souvisí s jinou, “může řada ${ displaystyle x}$ mít stejné pořadí mod ${ displaystyle p}$ a mod ${ displaystyle p ^ {2}}$? “, pro které vzácné případy dávají kladnou odpověď (např. ${ displaystyle x = 3, p = 11}$; ${ displaystyle x = 2, p = 1093}$); proto by se dalo předpokládat, že rovnost může platit pro některé výjimečné ${ displaystyle p}$.

Od té doby se předpokládalo, že existuje nekonečně mnoho prvenství zeď – slunce – slunce.^[5] Od března 2020 nejsou známa žádná prvočísla Wall – Sun – Sun.^{[Aktualizace]}.

V roce 2007 Richard J. McIntosh a Eric L. Roettger ukázali, že pokud existují, musí být> 2×10¹⁴.^[3]Dorais a Klyve rozšířili tento rozsah na 9,7×10¹⁴ aniž by našel takovou špičku.^[6]

V prosinci 2011 zahájila další vyhledávání PrimeGrid projekt^[7], nicméně v květnu 2017 byla pozastavena.^[8]

Dějiny

Wall – Sun – Sun prvočísla jsou pojmenována po Donald Dines Wall,^[4][9] Zhi Hong Sun a Zhi Wei Sun; Z. H. Sun a Z. W. Sun v roce 1992 prokázali, že pokud dojde k prvnímu případu Fermatova poslední věta byla falešná pro určité prvočíslo p, pak p by muselo být vrcholem Zeď – Slunce – Slunce.^[10] Výsledkem je, že před Andrew Wiles „důkazem Fermatovy poslední věty bylo hledání prvočísel Wall – Sun – Sun také hledáním potenciálu protiklad tomuto staletému dohad.

Zobecnění

A tribonacci – Wieferich prime je prime p uspokojující h(p) = h(p²), kde h je nejméně kladné celé číslo uspokojující [T_h,T_h+1,T_h+2] ≡ [T₀, T₁, T₂] (mod m) a T_n označuje n-th číslo tribonacci. Žádný tribonacci – Wieferich prime neexistuje pod 10¹¹.^[11]

A Pell – Wieferich prime je prime p uspokojující p² rozděluje P_p−1, když p shodné s 1 nebo 7 (mod 8), nebo p² rozděluje P_p+1, když p shodné s 3 nebo 5 (mod 8), kde P_n označuje n-th Pell číslo. Například 13, 31 a 1546463 jsou Pell – Wieferichovy prvočísla a žádné další pod 10⁹ (sekvence A238736 v OEIS ). Ve skutečnosti jsou prvočísla Pell – Wieferich prvočísla 2 – zeď – slunce – slunce.

Near-Wall – Sun – Sun připravuje

Prime p takhle ${ displaystyle F_ {p- left ({ frac {p} {5}} right)} equiv Ap { pmod {p ^ {2}}}}$ s malými |A| je nazýván near-Wall – Sun – Sun prime.^[3] Near-Wall – Sun – Sun připravuje A = 0 by bylo prvočíslo zeď – slunce – slunce.

Zeď – Slunce – Slunce připravuje diskriminační D

Ze zdi – slunce – slunce lze uvažovat prvočísla pole ${ displaystyle Q _ { sqrt {D}}}$ s diskriminující DU konvenčních prvočísel Wall – Sun – Sun D = 5. Obecně platí, že a Lucas – Wieferich prime p spojený s (P, Q) je Wieferichovým základem Q a zeď – slunce – slunce je diskriminační D = P² – 4Q.^[1] V této definici je hlavní p by měly být liché a neměly by se dělit D.

Předpokládá se, že pro každé přirozené číslo D, existuje nekonečně mnoho prvočísel Wall – Sun – Sun s diskriminací D.

Případ ${ displaystyle (P, Q) = (k, -1)}$ odpovídá k-Wall – Sun – Sun připraví, pro které představují speciální případ Wall – Sun – Sun prvočísla k = 1. The k-Wall – Sun – Sun prvočísla lze explicitně definovat jako prvočísla p takhle p² rozděluje k-Fibonacciho číslo ${ displaystyle F_ {k} ( pi _ {k} (p))}$, kde F_k(n) = U_n(k, -1) je a Lucasova sekvence prvního druhu s diskriminační D = k² + 4 a ${ displaystyle pi _ {k} (p)}$ je Pisanské období roku k-Fibonacciho čísla modulo p.^[12] Za nejlepší p ≠ 2 a nedělí se D, tato podmínka je ekvivalentní jedné z následujících.

• p² rozděluje ${ displaystyle F_ {k} left (p- left ({ tfrac {D} {p}} right) right)}$, kde ${ displaystyle left ({ tfrac {D} {p}} right)}$ je Symbol Kronecker;
• PROTI_p(k, −1) ≡ k (mod p²), kde PROTI_n(k, -1) je Lucasova sekvence druhého druhu.

Nejmenší k-Wall – Sun – Sun připravuje pro k = 2, 3, ... jsou

13, 241, 2, 3, 191, 5, 2, 3, 2683, ... (sekvence A271782 v OEIS )

Viz také

• Wieferich prime
• Wolstenholme prime
• Wilson připravit
• PrimeGrid
• Fibonacci prime
• Pisanské období
• Tabulka shody

Reference

Další čtení

• Crandall, Richard E .; Pomerance, Carl (2001). Prvočísla: Výpočetní perspektiva. Springer. str.29. ISBN  0-387-94777-9.
• Saha, Arpan; Karthik, C. S. (2011). „Několik ekvivalentů hypotetické domněnky Wall – Sun – Sun”. arXiv:1102.1636 [math.NT ].

externí odkazy

• Chris Caldwell, Hlavní glosář: Wall – Sun – Sun prime na Prime Stránky.
• Weisstein, Eric W. „Zeď – Sun – Sun Prime“. MathWorld.
• Richard McIntosh, Stav hledání prvočísel Wall – Sun – Sun (říjen 2003)
• OEIS sekvence A000129 (prvočísla p, která rozdělují jejich Pell kvocienty, kde Pell kvocient p je A000129 (p - (2 / p)) / p a (2 / p) je Jacobiho symbol)